泸县普通高中共同体2024年春期高2025届期中联合考试
数学试题
数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效．
3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效．
第一部分（选择题 共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合题目要求）
1．等差数列5，8，11，14，…的第11项为（ ）
A．29 B．32 C．35 D．37
2．已知直线与直线互相垂直，则m为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A，B，C，D四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有（ ）
A．60 B．48 C．54 D．64
4．函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ）
A．为函数的极大值点
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
5．设函数的导函数是．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知函数有唯一的极值点t，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9，下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．设函数，且，则
10．已知曲线，点为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则曲线C的离心率为
B．若，则曲线C的渐近线方程为
C．若曲线C是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上
D．若曲线C是圆，则的最大值为4
11．函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列的前n项和为，，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为
第二部分（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．展开式中的系数为______．
14．已知事件A与B相互独立，，，则______
15．已知直线，动直线l被圆截得弦长的最小值为______
16．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题10分）
已知函数
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最值．
18．（本小题12分）
某仓库有甲、乙两箱产品，其中甲箱中有4件正品和3件次品，乙箱中有5件正品和3件次品．
（1）从甲箱中任取2件产品，求事件A＝“这2件产品中至少有1件次品”的概率；
（2）从甲、乙两箱中各取1件产品，求事件B＝“这2件产品中恰好有1件次品”的概率．
19．（本小题12分）
已知等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和．
20．（本小题12分）
已知长方体中，棱，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F．
（1）求证：；
（2）求直线DE与平面所成角的正弦值．
21．（本小题12分）
已知椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点，记直线PA，PB的斜率分别为，，当最大时，求直线l的方程．
22．（本小题12分）
已知．
（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）当时，函数有两个零点，求b的取值范围．
泸县普通高中共同体2024年春期高二期中联合考试
数学试题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B D A C D A AD AC ABC ACD
二、填空题
13．15 14． 15． 16．
17．解：（1）∵，
∴，
令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在递减，在递增；
（2）由（1）在递减，在递增，
而，，，
故在上的最小值是，最大值是45．
18．（1）解：从甲箱中取2件产品的样本空间包含的样本点，
事件A数包含的样本点为；
所以从甲箱中任取2件产品，求这2件产品至少有1件次品的概率
为
（2）设事件＝“从甲箱中取1件产品是正品”，事件＝“从甲箱中取出1个产品是次品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是正品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是次品”，所以事件，又事件与事件、事件与事件相互独立，事件与互斥，
所以
（或者使用列举法，用古典概型公式求解也行）
19．解：（1）由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）可得，
可得
，
所以．
20．（1）证：以A为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
那么、、、、、、、，，，
设，则：，，∵，∴，
，∴，，∵，，
∴，，又，∴．
（利用定理证明或基底法同样给分）
（2）连接DF，∵，，，
∴，∴DF是DE在平面上的射影，
是DE与平面所成的角，设，
那么，，，∵
∴①∵，∴②
由①、②得，，，
在中，，．∴，
因此，DE与平面所成的角的正弦值是
21．解：（Ⅰ）由已知得．又，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）①当直线l的斜率为0时，则；
②当直线l的斜率不为0时，设，，直线l的方程为，
将代入，整理得．
则，．又，，
所以，
．
令，则
所以当且仅当，即时，取等号．
由①②得，直线l的方程为．
22．解：（1），又，所以
因为，
所以，
所以，故，
综上，．
（2）当时，，
当时，只有一个零点，故，
当时，，
ⅰ．当时，，令，
当时，；当时，．
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
又，，
又，所以，
故，
所以时函数有两个零点．
ⅱ．当时，今，解得，
若，所以，所以函数在R上单调递增，
不可能有两个零点．
若，即时，当时，，当时，，
当时，
所以函数在上单调递增，上单调递减，在上单调递增．
又，
，
故函数至多有一个零点，不符合题意．
若时，即，当时，，当时，
，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，，故函数至多有一个零点，不符合题意．
综上，b的取值范围是．
