开封五校2023～2024学年下学期期中联考
高一数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章～第八章第4节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．化简（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形ABCD的直观图面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（ ）
A． B．
C． D．
7．若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（ ）
A．z的虚部为 B．z是纯虚数
C．z的模是 D．z在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．为偶函数 D．是周期函数
11．如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，则（ ）
A．与不能构成一组基底 B．
C．在上的投影向量的模为 D．的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若是幂函数，则______．
13．已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足，则O是的______心．（填“重”或“垂”或“内”或“外”）．
14．在三棱锥中，已知平面OAB，，，PA与平面OAB所成的角______为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则______．（用角度表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，已知在正四棱锥中，，．
（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积．
16．（本小题满分15分）
已知向量，，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若向量满足且，求向量的坐标．
17．（本小题满分15分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求和a的值；
（2）求的面积．
18．（本小题满分17分）
如图，在梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，．
（1）若，试确定点P在线段DC上的位置；
（2）若，当为何值时，最小？
19．（本小题满分17分）
已知是偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明：在上单调递增；
（3）若锐角满足，证明：．
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参考答案、提示及评分细则
1．B ．故选B．
2．C ．故选C．
3．B 原不等式即为，解得，故原不等式的解集为．故选B．
4．B 对于A，是单调递减函数，故A不正确；
对于B，，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，函数单调递减，故C不正确；
对于D，，由向右平移1个单位变换得到，所以在区间和上单调递增，故D不正确，故选B．
5．D 由题意知，四边形ABCD的面积为，所以直观图的面积为，故选D．
6．D 由图知，，则．由图可得，在处取最大值，又因为图象经过，故，所以，，故，．又因为，所以，函数又经过，故，得．所以函数的表达式为．故选D．
7．A ∵两个向量，的夹角是，是单位向量，，∴．∵，∴，∴．设向量与的夹角为，，则，∴．故选A．
8．C 取BD中点G，连接AG，CG，在AG和CG上分别作点E和点F，
使得，，过点E和点F分别作垂直平面ABD和平面BCD的直线交于点H，易得点H是该三棱锥外接球的球心，因为，所以，，在中，由余弦定理得，故，在中，，，所以，在中，，故外接球的半径，外接球的表面积，故选C．
9．AC 对于A，由虚部定义知z的虚部为，故A正确；对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误．故选AC．
10．BCD 对于A，的最小正周期为，A正确；
对于B，当时，，所以函数的图象不关于点对称，B错误；
对于C，易知函数的定义域为R，又，所以函数不是偶函数，C错误；
对于D，的大致图象如下：
易知不是周期函数，D错误，故选BCD．
11．AD 对于A，连接AF，∵，∴，∵，∴，∴，以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，∴，，∴，∴与平行，不能构成一组基底，故A正确；
对于B，∵，∴，，，∴，故B错误；
对于C，∵，，，∴在向量上的投影向量的模长为，故C错误；
对于D，取AB的中点M，则，，∴，，两式相减得，∴当点P与点E或F重合时，最大，最大值为，∴的最大值为，当点P与点M重合时，最小为0，∴的最小值为，∴的取值范围为，故D正确，故选AD．
12．1 由于函数是幂函数，所以，，则，．
13．垂 因为，同理，，故O为的垂心．
14．90° 由题意得，是直角三角形，，所以，是直角三角形，，所以，因为在中，，所以．
15．（1）易知该四棱锥的侧面积为四个全等三角形的面积的和，
侧面三角形的高为，
所以四棱锥的表面积为．
（2）连接AC、BD，交于点O，连接SO，则SO为棱锥的高，
所以，
，
故四棱锥的体积．
16．解：（1）由，，得，
所以，，
由，得，解得．
（2）设，所以，
，
由，得，
所以，①
由，得，所以，则，②
由①②得，，故．
17．解：（1）在中，由，可得．
又由及，，可得．
由余弦定理得，得，
因为，故解得．
所以，．
（2）由（1）知，，
所以的面积．
18．解：（1）过C作交AD于F，如图，
因为，所以，，
则四边形ABCF是平行四边形，故，即F是AD的中点，
所以．
因为，所以，
所以．
又因为，所以，解得，
所以P在线段DC上靠近D点的四等分点处．
（2）因为，，，
所以，
所以当，即时，取得最小值．
所以的最小值为，此时．
19．（1）易知的定义域为R，对，都有．
因为是偶函数，
所以
，
所以．
（2）证明：因为，所以．
设，则，
，
因为，所以，，，
所以，
所以，，，
又，所以，，
所以在上单调递增．
（3）证明：因为是偶函数，所以，
因为为锐角，所以，，
因为在上单调递增
所以，
所以，，
所以．
