2023-2024学年河南省洛阳市洛宁县七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法一定正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若 ，则
2.在解方程时，去分母后正确的是( )
A. B.
C. D.
3.方程中有一个数字被墨水盖住了，查后面的答案，知道这个方程的解是，那么墨水盖住的数字是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.九章算术中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则可建立方程组为( )
A. B. C. D.
6.若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在数轴上表示不等式的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
8.不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是( )
A. B. C. D.
9.若关于，的方程组的解满足，则整数的最小值为( )
A. B. C. D.
10.不等式组有个整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.代数式与代数式的和为，则 ．
12.对任意四个有理数，，，定义新运算：，已知，则______．
13.当，满足关系______时，关于，的方程组的解互为相反数．
14.已知关于的不等式组其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为______．
15.如果不等式组的解集是，那么的值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共17分。
16.解方程：
17.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
解方程组；
．
19.本小题分
解下列不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
；
．
20.本小题分
马虎同学在解方程时，不小心把等式左边前面的“”当做“”进行求解，得到的结果为，求代数式的值．
21.本小题分
某玩具工厂出售一种玩具，其成本价每件元，如果直接由厂家门市部销售，每件产品售价为元，同时每月还要支出其他费用元；如果委托商场销售，那么出厂价为元．
求在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？
若每个月销售量达到件时，采用哪种销售方式获得利润较多？
22.本小题分
“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，本文学名著和本动漫书共需元，本文学名著比本动漫书多元注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样．
求每本文学名著和动漫书各多少元？
若学校要求购买动漫书比文学名著多本，总费用不超过元，请问最多可以购买文学名著多少本？
23.本小题分
阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题以下是他的解题过程：令，原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，原方程组的解为．
学以致用：
运用上述方法解下列方程组：．
拓展提升：
已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项，若，则，故A选项不符合题意；
选项，若，则，故B选项符合题意；
选项，若，则，故C选项不符合题意；
选项，若若 ，则，故D选项不符合题意．
故选：．
根据等式的性质判断即可．
本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：方程去分母，
方程两边都乘以得：，
故选：。
方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断。
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键。
3.【答案】
【解析】解：墨水盖住的部分用表示，把代入方程得：，
解得：．
故选：．
墨水盖住的部分用表示，把代入方程，即可得到一个关于的方程，即可求解．
本题考查了一元一次方程的解的定义，理解定义是关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，得，
，
，
故选：．
把方程组中的两个方程相加，即可整体求出的值．
本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，解二元一次方程组的基本解法有加减消元法和代入消元法．
5.【答案】
【解析】解：设甲的钱数为，乙的钱数为，
依题意，得：．
故选：．
设甲的钱数为，乙的钱数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
得：，即，
将代入得：，即，
将，代入得：，
解得：．
故选：．
【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．
将看做已知数求出与，代入中计算即可得到的值．
7.【答案】
【解析】解：根据不等式的解集表示的右边的部分，则可用数轴表示为：
故选A．
本题可根据不等式画出数轴，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．
本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
8.【答案】
【解析】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
故选：．
求出不等式组的解集，在数轴上表示出来即可．
此题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式组的解集熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
得：，
关于，的方程组的解满足，
，
解得：，
的最小整数解为，
故选：．
方程组中的两个方程相减得出，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于的不等式是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用不等式组的解得出关于的不等式是解题关键，属于中档题．
解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解有个整数解，可得答案．
【解答】
解：不等式组
由，解得，
由，解得，
故不等式组的解为，
因为关于的不等式组有个整数解，
所以，解得．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【解答】
解：根据题意得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案为：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查新定义问题，解一元一次方程的解法，解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为等．首先看清这种运算的规则，将转化为一元一次方程，通过去括号、移项、系数化为等过程，求得的值．
【解答】
解：由题意得：将可化为：，
去括号得：，
合并得：，
系数化为得：．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：关于，的方程组的解互为相反数，
，
，即，
得：，
当，满足时，关于，的方程组的解互为相反数，
故答案为．
根据方程组的解互为相反数，可得即，解此方程组消去，可得答案．
本题考查了二元一次方程组的解，将题目中的隐含条件“互为相反数”转化为是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，先根据题意得出不等式组的解集是解答此题的关键．
根据关于的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出的取值范围即可．
【解答】
解：，
关于的不等式组的解集为：，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由得：
由得：
故原不等式组的解集为：
又因为
所以有：，
解得：，
于是．
故答案为：．
先用含有、的代数式把每个不等式的解集表示出来，然后根据已告知的解集，进行比对，得到两个方程，解方程求出、．
本题既考查不等式的解法，又考查学生如何逆用不等式组的解集构造关于、的方程，从而求得、．
16.【答案】解：，
，
，
；
，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．
依次去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
18.【答案】解：，
得：，
得：，
得：，
把代入得：，
方程组的解为：；
，
得：，
把代入得：，
方程组的解为：．
【解析】把，，然后相加，消去，求出，再利用代入法求出即可；
直接用，消去，求出，再利用代入法求出即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法解方程组．
19.【答案】解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
其解集在数轴上表示为：
；
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
其解集在数轴上表示为：
．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
20.【答案】解：把代入方程得：，
解得：，
当时，．
【解析】把代入方程得出方程，求出，最后再代入求出即可．
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的方程是解此题的关键．
21.【答案】解：设每月销售件时，所得利润相同，根据题意可得：
，
解得：．
答：每月销售件时，所得利润相同；
当每月销售达件时，直接由厂家门市部出售的利润为：
元，
委托商店销售的利润为：元，
采用直接由厂家门市部出售的利润较多．
【解析】利用每件利润销量总利润，进而得出等式求解即可；
利用每月销售达件，分别得出利润，然后进行比较即可得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的应用，根据每件利润销量总利润得出等式是解题关键．
22.【答案】解：设每本文学名著元，每本动漫书元，
由题意得：，
解得：，
答：每本文学名著元，每本动漫书元；
设学校购买文学名著本，则购买动漫书本，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为，
答：最多可以购买文学名著本．
【解析】设每本文学名著元，每本动漫书元，由总价单价数量，结合“本文学名著和本动漫书共需元，本文学名著比本动漫书多元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
设学校购买文学名著本，则购买动漫书本，由总价单价数量，结合“总费用不超过元”，列出一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：令，．
原方程组化为，
解得：，
把代入，，得，
解得：，
原方程组的解为；
．
【解析】【分析】
本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组．
结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解；
结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为则有，求解即可．
【解答】
解：见答案；
在中，令，，
则可化为，
解为，
，
．
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