2024年湖南省株洲市石峰区中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中，成反比例函数关系的是( )
A. 圆的面积与它的半径之间的关系
B. 用频率估计概率时，概率与频率的关系
C. 电压一定时，电流与电阻之间的关系
D. 小明的身高与年龄之间的关系
2.关于反比例函数的图象及性质说法正确的是( )
A. 函数图象分别位于第二、四象限 B. 函数图象经过点
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，
3.某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率单位：与做功的时间单位：存在反比例函数关系如表是他们实验的几组数据：
单位：
单位：
则功率与做功的时间之间的函数关系式是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，若反比例函数的图象恰好经过线段的中点，则的值是( )
A. B. C. D.
5.函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
6.已知反比例函数的图象经过，，中的两点，则反比例函数的解析式为( )
A. B. C. D.
7.如果，，三点都在反比例函数的图象上，其中，那么，与的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象有一个交点，则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，矩形的顶点和对称中心在反比例函数，若矩形的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点连接并延长交反比例函数于另一点，过点作轴的平行线交直线于点，连接，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若函数是关于的反比例函数，则 ______．
12.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，为的中点，连接，，若的面积为，则的值为______．
13.如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量万册与它的使用时间年的关系图，点在图象上，则当年时， ______万册．
14.反比例函数的图象与直线相交于，两点，则的值是______．
15.如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴正半轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，已知：：，则的值为______．
16.已知直线：与双曲线交于点，
若，则 ______；
若时，，则 ______， ______填“”“”或“”．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知反比例函数，且当时，．
求的值；
在图中画出该函数图象．
18.本小题分
某课外小组做气体实验时，对一定质量气体的压强单位：和体积单位：进行了测量，测量结果如图所示．
求函数解析式；
当气体体积为时，压强是多少？
19.本小题分
如图，直线与反比例函数的图象交于，两点．
求，的值；
根据函数图象，求当时，的取值范围．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，双曲线分别与直线和交于，两点，点的坐标为，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．
求双曲线的解析式；
若双曲线与两条直线围成的区域不含边界上的点为，试求区域内的整点个数．
21.本小题分
小明学习正比例函数和反比例函数时，见到如下“叠合”函数，其中函数图象经过，两点，请帮小明完成以下问题：
求该“叠合”函数的表达式；
如图是该函数图象的一部分，完成表格中的数据，并补全关于的函数图象；
______ ______ ______ ______ ______
下列结论：该函数图象关于直线对称；该函数图象关于直线对称；当时，随的增大而增大；当函数值时，的取值范围是或其中结论正确的是______填序号．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，顶点在轴上，延长至点使，过点作交轴于点，反比例函数经过点交于点，反比例函数经过点．
求反比例函数，的解析式；
连接，，计算的面积．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，，点是边上的动点不与，重合，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接，，．
若点的横坐标为．
求的值；
点在轴上，当的面积等于的面积时，试求点的坐标；
延长交轴于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、圆的面积与半径的关系，即，是二次函数关系，故不符合题意；
B、用频率估计概率时，概率与频率的关系为，不是反比例函数关系，故不符合题意；
C、电压一定时，电流与电阻之间的关系为，电流与电阻之间的关系是反比例函数关系，故符合题意；
D、小明的身高与年龄之间没有特定关系，故不符合题意；
故选：．
根据题意写出关系式，根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查的是反比例函数的定义，形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．
2.【答案】
【解析】解：、，则图象位于第一、三象限，故不符合题意；
B、当时，，所以图象经过点，故不符合题意；
C、当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故不符合题意；
D、当时，图象在第三象限，随的增大而减小，
当时，，当时，，
当时，，故符合题意．
故选：．
根据反比例函数图象和性质即可逐一分析即可．
本题考查反比例函数的图象和性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：设功率单位：与做功的时间单位：的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得：，
功率单位：与做功的时间单位：的函数解析式为．
故选：．
先设出与的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可．
本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
4.【答案】
【解析】解：点，的坐标分别为，，为的中点时，
点的坐标为，即，
，
，
故选：．
先计算出的坐标，再利用待定系数法即可求出答案．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出的中点的坐标．
5.【答案】
【解析】解：由解析式可得：抛物线对称轴；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得，则抛物线开口方向应该向下，故A不符合题意；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则抛物线开口方向应该向上，故B不符合题意；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则抛物线开口方向应该向上，故C不符合题意；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则抛物线开口方向应该向上，与轴的交点在轴的负半轴上，故D符合题意．
故选：．
本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：先根据图象的特点判断取值是否矛盾；根据二次函数图象判断抛物线与轴的交点是否符合要求．
6.【答案】
【解析】解：把，，分别代入得，
，，，
反比例函数经过，两点，
故选：．
把，，代入数求得的值，即可得到结论．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：反比例函数中，，
函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，
，，在第二象限，点在第四象限，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由平移可得直线的解析式为：，
令，
整理得，，
直线与反比例函数的图象有一个交点，
，
解得或舍．
的值为．
故选：．
根据题意可得出直线的解析式，联立，得出一元二次方程，令，即可得出的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等相关知识，得出关于的一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】设，
，
矩形的面积为，
，
矩形对称中心的坐标为：
矩形对称中心的坐标为：，即
对称中心在的图象上，
，
，
，
不符合题意，舍去或，
故选：．
设点的坐标为则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：，即，进而可得出的长度．然后将坐标代入函数解析式即可求出的值．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象交于点与点，
，
，，
，
把、的坐标代入得，
解得，
直线为，
，
，
轴，
，
，
故选：．
利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可求得点的坐标，进一步求得直线的解析式，利用反比例函数的中心对称性求得的坐标，即可求得点的坐标，从而求得的长度．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，求得直线的解析式以及点的坐标是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据反比例函数的定义，得，且，
解得或舍去，
．
故答案为：．
根据反比例函数的定义作答即可．
本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
，
又丨丨，且反比例函数图象在第二象限，
．
故答案为：．
根据反比例函数值的几何意义解答即可．
本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．
13.【答案】
【解析】解：由图象可知，一台印刷机每年可印刷的书本数量万册与它的使用时间年成反比例函数，
设函数解析式为：，
将代入所设解析式得：
，解得：，
反比例函数解析式为：，
当时，万册，
故答案为：．
根据图象推断为反比例函数，待定系数法求出反比例函数解析式，将代入解析式求出值即可．
本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，两点关于原点对称，
，，
把代入反比例函数解析式得：，
．
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握得到坐标特征是关键．
15.【答案】
【解析】解：直线与反比例函数的图象交于点，与轴正半轴交于点，
，
：：，
，即，
当时，，
，
点在反比例函数图象上，
．
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
16.【答案】
【解析】解：由可知，，点，在反比例函数图象上，
，，
，
故答案为：．
反比例函数图象在第二、四象限，且时，，
点，在不同的象限，
设在第二象限，在第四象限，则，，，且丨丨丨丨，丨丨丨丨，
直线经过第一、二、四象限，
，．
故答案为：；．
根据题意可知，将点、坐标代入反比例函数解析式即可得到结果；
根据题意得到点，在不同的象限，设在第二象限，在第四象限，则，，，且丨丨丨丨，丨丨丨丨，则直线经过第一、二、四象限，据此得到结果．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
17.【答案】解：把，代入得，，
解得；
由知反比例函数的解析式为，
当，，，，，时，，，，，，，
描点，连线，则该函数图象如图所示．
【解析】将，代入解析式求解．
根据函数解析式及表格作图．
本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法，熟练掌握反比例函数图象的画法是关键．
18.【答案】解：设函数的解析式为，
将点的坐标代入上式得：，
解得，
；
当时，
，
当气体体积为时，压强是．
【解析】用待定系数法可得反比例函数的解析式；
结合，令，求出的值即可．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出反比例函数的解析式．
19.【答案】解：将点代入反比例函数中得，
解得，
，将点坐标代入直线解析式得：，
解得：．
由可知，反比例函数解析式为：，一次函数解析式：，
令，解得或．
，
根据图像可知当时，的取值范围为：或．
【解析】将点代入反比例函数求出，将，将点坐标代入直线解析式求出值即可；
根据图像直接写出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
20.【答案】解：点在双曲线上，
，
双曲线的解析式为；
双曲线与直线交于，
当时，，
，
在区域内的取值范围为，
在一次函数中，当时，，
在反比例函数中当时，，
在区域内的取值范围为，
整点有，，
区域内的整点个数为．
【解析】把点代入得到，于是得到双曲线的解析式为；
由双曲线与直线交于，得到，求得在区域内的取值范围为，得到在区域内的取值范围为，于是得到结论．
本题考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，理解“整点坐标”的实际意义是正确解答的前提．
21.【答案】
【解析】解：把，代入，
得，解得，
该“叠合”函数的表达式为；
完成表格中的数据如下：
补全关于的函数图象如图：
；
观察图象：
该函数图象关于直线对称，错误；
该函数图象关于直线对称，错误；
当时，随的增大而增大，正确；
当函数值时，的取值范围是或，正确．
故答案为：．
把，两点代入，利用待定系数法即可求解；
利用解析式计算填表即可，然后描点、连线画出函数的图象；
利用函数的图象判断即可．
本题主要考查待定系数法求函数的解析式，叠合”函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：过点作，垂足为，如图：
等边的边长为，
，，
，
，
，
把点，分别代入和得：，，
解得，；
，；
连接，如图：
，，
，，
，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得或舍去，
，
，
的面积为．
【解析】过点作，垂足为，由等边的边长为，可得，，，而，知，即可得，；
连接，由，，得，，，求出直线解析式为，联立，解得，故．
本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，三角形面积等，解题的关键是掌握待定系数法，能求出点的坐标．
23.【答案】解：四边形是矩形，
，
，点的横坐标为，
，
反比例函数的图象经过点，
；
，，
，
，都在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
点在轴上，
设，
，
解得：，
或；
连接，四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：，，
设的函数解析式为：，
则，
解得，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】根据矩形的性质得到，求得，把代入即可得到结论；
由，都在反比例函数的图象上，得到，根据三角形的面积公式得到，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
连接，根据题意得到，，设的函数解析式为，解方程得到，求得，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．
第1页，共1页
