2023-2024学年山东省临沂外国语学校九年级（下）调研数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数、、、中，最大的数是( )
A. B. C. D.
2.的算术平方根是( )
A. B. C. D.
3.年月日时分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次将数据亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.化简的结果是( )
A. B. C. D.
7.一元二次方程配方后可化为( )
A. B. C. D.
8.如图，公园里的方桌旁有个圆凳，甲、乙、丙、丁人随机坐到这个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9.在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10.如图，边长为的正方形放置在平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴正半轴上，当直线中的系数从开始逐渐变大时，直线在正方形上扫过的面积记为则关于的函数图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算： ______； ______； ______．
12.要使代数式有意义，则的取值范围是______．
13.一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是______．
14.已知关于的分式方程无解，则的值为 ．
15.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第个图形有颗棋子，第个图形一共有颗棋子，第个图形一共有颗棋子，，则第个图形中棋子的颗数为______．
16.利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法如图，点、点是矩形对角线上的两点，四边形和四边形是两个全等的正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若矩形的周长是，面积是，则 ______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式组，并写出它的所有整数解．
18.本小题分
化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学 解：原式
乙同学 解：原式
甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______；填序号
等式的基本性质；分式的基本性质；乘法分配律；
请选择一种解法，写出完整的解答过程．
19.本小题分
书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元．
求毛笔和宣纸的单价；
计划用不多于元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计，则学校最多可以购买多少支毛笔？
20.本小题分
如图，直线：的图象与反比例函数：的图象交于点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，的图象经过线段的中点．
求的值与的值；
求平行四边形的面积；
若点是反比例函数图象上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，使得四边形是矩形若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
如图，为等边三角形，为平面内任意一点，连接．
如图，在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接，，直接写出与的数量关系为______；直线与所夹锐角为______度
如图，为外一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，取，的中点，，连接，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由．
如图，在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接交于，为边的中点，连接，猜想与存在的关系，并证明你的猜想．
22.本小题分
抛物线与轴交于点，顶点为．
若抛物线过点，求抛物线顶点和点坐标；
如图，在的条件下，连接，点为线段下方抛物线上一点，求面积的最大值；
已知点，，若线段与抛物线恰有一个交点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
最大的数是，
故选：．
先求出的近似值，然后根据正负数的大小比较即可．
本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根依此即可求解．
【解答】
解：的算术平方根是．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：亿，
故选：．
运用科学记数法进行变形、求解．
此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4.【答案】
【解析】解：由有理数、在数轴上的位置可得，，，，
，，，
因此，、不符合题意，符合题意，
故选：。
根据有理数、在数轴上的位置，可以得出为负数，为正数，且的绝对值较大，然后利用相反数、绝对值的意义进行判断。
考查数轴表示数、绝对值、相反数、有理数的乘法的法则等知识，根据点在数轴的位置，确定有理数的大小，绝对值的大小是解决问题的关键。
5.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键，先将分子因式分解，再将除法转化为乘法后约分即可．
【解答】
解：原式，
故选D．
7.【答案】
【解析】解：，
移项得：，
配方得：，
即：，
故选：．
根据题意先将常数移项到等号右侧，再进行配方即可．
本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
8.【答案】
【解析】解：如图，设甲坐在圆凳上，把其它三个圆凳分别记为、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有种，
甲坐在乙对面的概率为，
故选：．
设甲坐在最上面的圆凳，把其它三个圆凳分别记为、、，画树状图，共有种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】
【解析】解：当时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故C错误，B正确；
当时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A、D错误；
故选：．
分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．
本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：当，；
它的函数图象为抛物线的一部分，开口向上；
当，，
它的函数图象为抛物线的一部分，开口向下；
当，；
它的函数图象为射线；
所以选项正确．
故选：．
当；；时，分别求出，然后根据求得的解析式得到对应的函数图象即可找到正确选项．
本题考查了运用分类的思想求动点的函数图象的问题：分别求出每个时段的函数关系式，然后根据自变量和函数解析式作出相应的图象．
11.【答案】
【解析】解：
；
；
．
故答案为：，，．
对于，把二次根式化为最简二次根式，然后合并；对于，先根据二次根式的除法法则运算，然后化简即可；利用平方差公式计算
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
12.【答案】且
【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】
【解析】解：设这个多边形是边形．
则，
解得，
故答案为：．
结合多边形的内角和公式与外角和的关系寻求等量关系，构建方程即可求解．
本题考查多边形的内角和与外角和，解题关键是记住内角和的公式与外角和的性质．
14.【答案】或
【解析】解：，
去分母得：，
，
当，即时，整式方程无解，分式方程也无解；
当，即时，整式方程有唯一解，但是或分式方程无解，
当时，，
当时不存在．
或时分式方程无解．
故答案为：或．
首先去掉分母，然后讨论整式方程无解条件，接着讨论整式方程有解但是分式方程无解条件，由此求出的值．
本题主要考查了分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；整式方程有解但是分式方程产生增根．
15.【答案】
【解析】解：第个图形有颗棋子，即，
第个图形一共有颗棋子，即，
第个图形一共有颗棋子，即
，
第个图形中棋子的颗数为：颗，
故答案为：．
由题意可知，最里面的棋子的个数是，由内到外依此比里面一层多个棋子，由此规律计算出棋子个数即可．
本题考查的是图形的变化规律，从题目中找出棋子的变化规律是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：矩形的周长是，面积是，
，，
，
由图得：，
，
解得：．
故答案为：．
由长方形的周长与面积，可得，，由图可知，长方形的长为，再利用等积即可求解．
本题主要考查全等图形，解答的关键是明确图与图的面积相等．
17.【答案】解：，
解不等式，得；
解不等式，得，
这个不等式组的解集是，
这个不等式组的整数解是、、．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：；；
若选择甲同学的解法：
若选择甲同学的解法：
；
若选择乙同学的解法：
．
根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：毛笔的单价为元，宣纸的单价为元；
设可以购买支毛笔，则购买宣纸的数量为张，
根据题意可得：，
解得：，
答：学校最多可以购买支毛笔．
【解析】设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，根据“购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设可以购买支毛笔，则购买宣纸的数量为张，根据中所求，结合计划用不多于元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计得出不等式求出答案．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】解：当时，，
即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即，；
由知，反比例函数的表达式为：，
设点，则点，
则点的坐标为：，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：，
即点，点，
则四边形的面积；
存在，理由：
设点，则，
过点作轴，交故点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，
则、为直角三角形，
是矩形，则，
，，
，
，即
，，，，
则，
联立并解得：，
即点的坐标为：或
【解析】用待定系数法即可求解；
设点，则点，得到点的坐标为：，求出，即可求解；
证明，得到，即，即可求解．
本题考查了反比例函数综合运用，涉及到解直角三角形、平行四边形和矩形的性质、面积的计算等，分类求解和数形结合是本题解题的关键．
21.【答案】，
的值不发生变化，理由如下：
如图中，连接、，
，都是等边三角形，，，
，，，
，，，
，，
∽，
；
，，理由如下：
如图，延长至，使，连接，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，
又为边的中点，
，．
【解析】解：为等边三角形，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
在和中
≌，
，，
，
直线与所夹锐角为，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
由“”可证≌，可得，，即可求解；
通过证明∽，利用相似比为，即可解决问题；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，可证，由三角形中位线可得结论．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
22.【答案】解：抛物线过点，
，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
，
抛物线顶点的坐标为；
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
过作轴交于，
设，则，
，
，
面积的最大值为；
令，则，
解得或，
点，
点在直线上，
如图，当，即时，，，
在右侧，且在的上方，
在右侧，线段与抛物线恰有一个交点，
；
当，即时，，
由图得，当时，线段与抛物线恰有一个交点，
；
当时，线段与抛物线恰有一个交点，
，
；
当即时，，，
点，，，
此时，线段与抛物线恰有一个交点，
，
综上所述，的取值范围为或或或．
【解析】将代入可得抛物线解析式为：，即可得抛物线的顶点坐标；
利用待定系数法求出直线的解析式为，过作轴交于，设，则，，则，根据二次函数的性质即可求解；
令，可得抛物线过点，可得点在直线上，分时，时，时，画出图象，结合图象列出不等式组，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．
第1页，共1页
