2023年广东省茂名市茂南区愉园中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在3、0、、这四个数中，无理数是（ ）
A．3 B．0 C． D．
2．（3分）为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为（ ）
A．3.259×109 B．3259×108
C．3.259×1011 D．0.3259×1012
3．（3分）已知立方体如图，过点A与平面CB′平行的棱的条数有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（3分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：38，39，35，37，则这组数据的中位数是（ ）
A．37 B．37.5 C．38 D．39
5．（3分）已知x＝1是方程2x+a＝﹣3的解，那么a的值是（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
6．（3分）若在实数范围内有意义，则x的值不可能为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
7．（3分）A（﹣3，4）和B（4，﹣1）是平面直角坐标系中的两点，则由A点移到B点的路线可能是（ ）
A．先向上平移5个单位长度，再向右平移7个单位长度
B．先向上平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度
C．先向左平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．先向右平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度
8．（3分）函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b＞0的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＜0 C．x＜3 D．x＞3
9．（3分）如图，在△ABC中，以边BC为直径作⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．若D为AC的中点，BE＝3DE，BC＝10，则CD的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
10．（3分）若二次函数y＝ax2+4x+a的最小值是3，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣1或3 C．3 D．4或﹣1
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：4a2+a＝ ．
12．（3分）一个仅装有球的不透明布袋里只有8个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则n＝ ．
13．（3分）如图，BE是△ABC的中线，G是BE上一点，且BG＝2GE，GH∥AC，交边BC于点H，若GH＝2，则AC＝ ．
14．（3分）反比例函数y＝图象与正比例函数y＝kx图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为 ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF、DE、DF，M是EF的中点，连接MC、BD，EF与BD和DC分别相交于点G和N，则下列四个结论：①△FGD∽△BGE；②若 BF＝4，则；③∠CME＝∠CDE；④DG2＝GN GE，其中正确的是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程组：．
17．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，过点D作DH⊥AB，垂足为H，若BD＝AD＝4，求△BDH的面积．
18．（8分）先化简，再从不等式组0≤x＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
19．（9分）为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题．
（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是 ．
（2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．
20．（9分）如图，堤坝斜坡AB长为10m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高25m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．（sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m）
21．（9分）2023年是中国农历癸卯兔年．春节前，某商场进货员打算进货“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了4元．
（1）“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶共200个，“吉祥兔”售价定价为70元，“如意兔”售价为60元，若总利润不低于4480元，问最少购进多少个“吉祥兔”？
22．（12分）如图1，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P．
（1）求证：PC2＝PA PB．
（2）如图2，Q是射线AB上一点，连接CQ，且，CD＝8，，求证：直线CQ是⊙O的切线．
23．（12分）定义：若二次函数图象与一次函数图象交于两点，且其中一个交点是二次函数的顶点，则称这两点间的线段为此二次函数与一次函数的“顶点截线段”．
在数学活动课上，老师展示图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4交于P，A两点，与y轴交于点B，且点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点（点P与点C，点D不重合），直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于D，C两点．老师要求同学们探究此情境下顶点截线段的长是否存在规律？
【形成猜想】
智慧小组同学分别画出点P的横坐标为1，2，3时的图象，并量出相应的“顶点截线段”长，发现它们的长度相等，进而形成猜想“顶点截线段”PA的长是定值．
【进行验证】
智慧小组同学通过计算求得点P的横坐标为1，2，3时“顶点截线段”PA的值，验证了他们的猜想．
（1）当点P的横坐标为2时，请你求出抛物线的解析式（化为一般式）及“顶点截线段”PA的长度．
【推理证明】
（2）智慧小组同学得到的猜想：二次函数y＝﹣x2+bx+c与一次函数y＝﹣x+4的“顶点截线段”PA的长度为定值，是否正确？请你判断，并说明理由．
【拓展延伸】
老师在同学们分析、探究后，提出下面问题：
（3）点Q为射线CD上一点（点Q与点C，点D不重合），且点Q为二次函数L1：y＝a1x2+b1x+c1与二次函数L2：y＝a2x2+b2x+c2的顶点，二次函数L1和L2与一次函数y＝﹣x+4的“顶点截线段”分别为线段QC，线段QD，二次函数L2的图象与x轴另一交点为点E，若a2＝3a1，求△CDE的面积．
2023年广东省茂名市茂南区愉园中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：是无理数，3、0、是有理数，
故选：D．
2． 解：3259亿＝325900000000＝3.259×1011．
故选：C．
3． 解：如图所示：过A点的棱共三条即AA′，AD，AB．其中AB与平面CB′垂直，故有两条棱与CB′平行．
故选：B．
4． 解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，37，38，39，
∴中位数为（37+38）÷2＝37.5．
故选：B．
5． 解：∵x＝1是方程2x+a＝﹣3的解，
∴2×1+a＝﹣3，
∴a＝﹣5．
故选：C．
6． 解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，
解得：x≥2，
∴A符合题意，B，C，D不符合题意；
故选：A．
7． 解：∵A（﹣3，4），B（4，﹣1），
∴由A点移到B点横坐标增加7个单位，纵坐标减少5个单位，
∴平移方式可能先向右平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度
或先向下平移5个单位长度，再向右平移7个单位长度．
故选：D．
8． 解：关于x的不等式ax+b＞0的解集为x＜3．
故选：C．
9． 解：连接BD、OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∵D为AC的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴BA＝BC＝10，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴AB∥OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠AED＝∠ODE＝90°，
∴∠DEB＝90°，
∵∠A＝∠BDE＝90°﹣∠ABD，BE＝3DE，
∴＝tanA＝tan∠BDE＝＝3，
∴DE＝3AE，
∴BE＝3×3AE＝9AE，
∴BA＝AE+BE＝AE+9AE＝10AE＝10，
∴AE＝1，DE＝3，
∴CD＝AD＝＝＝，
故选：C．
10． 解：∵二次函数y＝ax2+4x+a的最小值是3，
∴a＞0，
y最小值＝＝3，
整理，得a2﹣3a+4＝0，
解得a＝4或﹣1，
∵a＞0，
∴a＝4．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝a（4a+1）．
故答案为：a（4a+1）．
12． 解：根据题意，＝0.4，
解得n＝12，
经检验n＝12是方程的解．
∴n＝12．
故答案为：12．
13． 解：∵GH∥AC，
∴△BHG∽△BCE，
∴＝，
∵BG＝2GE，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝GH＝×2＝3，
∵BE是△ABC的中线，
∴AC＝2CE＝6．
故答案为：6．
14． 解：∵反比例函数y＝图象与正比例函数y＝kx图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，x1y1＝7，
∴x1y2+x2y1＝﹣x1 y1﹣x1y1＝﹣2x1y1＝﹣2×7＝﹣14．
故答案为：﹣14．
15． 解：∵四边形ABCD是正方形．
∴AD＝CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCE＝∠A＝90°，
∵AF＝CE，
∴△AFD＝△CED（SAS），
∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，
∴∠CDE+∠FDC＝∠ADF+∠FDC＝∠ADC＝90°，即∠EDF＝90°，
∵DE＝DF，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠DBC＝45°，
∴∠DFG＝∠CBG＝45°，
∵∠FGD＝∠BGE，
∴△FGD∽△BGE，故①正确；
连接DM、BM，过点M作MH⊥BC于点H，如图：
∵MH∥BF．
∴，
∵M是EF的中点，
∴EM＝MF，
∴＝1，
∴EH＝HB．
∴H是EB的中点，
∴MH是△BEF的中位线，
∴MH＝BF＝2，
∵M是EF的中点，
∴MD＝EF，BM＝EF，
∴MD＝MB．
在△DCM与△BCM中，
，
∴△DCM≌△BCM（SSS），
∴∠BCM＝∠DCM＝∠BCD＝45°，
∴∠HMC＝∠MCH＝45°，
∴CM＝MH＝2，
由于无法判断CM＝CE，故②说法错误；
∵∠MCN+∠CNM+∠CMN＝180°，∠DEN+∠DNE+∠EDN＝180°，
∵∠MCN＝∠DEN＝45°，∠MNC＝∠DNE
∴∠CME＝∠CDE，故③正确；
∵∠GDN＝∠DEG＝45°，∠DGN＝∠EGD，
∴△DGN∽△EGD，
∴，
∴DG2＝GN GE，故④正确；
综上，正确的是①③④，
故答案为：①③④．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：①+②，得3x＝9，
解，得x＝3．（2分）
把x＝3代入②，得y＝1．（4分）
∴原方程组的解为．（5分）
17． 解：（1）如图，AD即为所求；
（2）∵BD＝AD＝4，DH⊥AB，
∴∠B＝∠BAD，
由（1）作图可知：AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD，
∵∠ACB＝90°．
∴∠B+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵BD＝4，DH⊥AB，
∴DH＝BD＝2，
∴BH＝DH＝2，
∴△BDH的面积＝BH DH＝2×2＝2．
18． 解：原式＝（+）
＝
＝，
由题意得：x﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠1和2，
在0≤x＜3中，x的整数解为0，1，2，
当x＝0时，原式＝﹣1．
19． 解：（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有4种，
∴小张和小李选择相同主题的概率为．
20． 解：过B作BH⊥AE于H，
∵坡度i为1：0.75，
∴设BH＝4x m，AH＝3x m，
∴AB＝＝5x＝10m，
∴x＝2，
∴AH＝6m，BH＝8m，
过B作BF⊥CE于F，
则EF＝BH＝8，BF＝EH，
设DF＝a m，
∵α＝26°35′．
∴BF＝＝＝2a，
∴AE＝6+2a，
∵坡度i为1：0.75，
∴CE：AE＝（25+a+8）：（6+2a）＝1：0.75，
∴a＝15，
∴DF＝15（米），
∴DE＝DF+EF＝15+8＝23（米），
答：堤坝高为8米，山高DE为23米．
21． 解：（1）设每件“如意兔”的进价是x元，则每件“吉祥兔”的进价是（x+4）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+4＝40+4＝44．
答：每件“吉祥兔”的进价是44元，每件“如意兔”的进价是40元；
（2）设购进m个“吉祥兔”，则购进（200﹣m）个“如意兔”，
根据题意得：（70﹣44）m+（60﹣40）（200﹣m）≥4480，
解得：m≥80，
∴m的最小值为80．
答：最少购进80个“吉祥兔”．
22． （1）证明：如图1，连接AC、BD，
∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，
∴△APC∽△DPB，
∴＝，
∴PC PD＝PA PB，
∵AB是直径，且弦CD⊥AB于点P，
∴PC＝PD，
∴PC2＝PA PB．
（2）证明：如图2，连接OC，
∵AB＝4，CD＝8，
∴OC＝OA＝OB＝AB＝2，PC＝PD＝CD＝4，
∴PA PB＝PC2＝42＝16，
∴（2+OP）（2﹣OP）＝16，
解得OP＝2或OP＝0（不符合题意，舍去），
设OQ＝5m，
∵＝，
∴PQ＝4m，
∴OP＝OQ﹣PQ＝5m﹣4m＝m＝2，
∴OQ＝5×2＝10，PQ＝4×2＝8，
∴CQ2＝PQ2+PC2＝82+42＝80，
∵OC2＝（2）2＝20，OQ2＝102＝100，
∴OC2+CQ2＝OQ2＝100，
∴△OCQ是直角三角形，且∠OCQ＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CQ⊥OC，
∴直线CQ是⊙O的切线．
23． 解：（1）由题意得，点P（2，2.5），
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+2.5＝﹣x2+4x﹣1.5，
联立上式和y＝﹣x+4得：﹣x+4＝﹣x2+4x﹣1.5，
解得：x＝2或，
则|xA﹣xP|＝，
由直线AP的表达式知，tan∠CDO＝，则cos∠COD＝，
设AP和水平线的夹角为α，则cosα＝，
则AP＝＝×＝；
（2）为定值，理由：
设点P（t，﹣t+4），
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣t）2﹣t+4，
联立上式和y＝﹣x+4得：﹣x+4＝﹣（x﹣t）2﹣t+4，
整理得：4x2﹣（8t+3）x+4t2+3t＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝，
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝，
即|xP﹣xA|＝，
由（1）知，AP＝为定值；
（3）由题意画图如下：
设a2＝3a1＝a，点Q（t，﹣t+4），
则L1的表达式为：y＝a（x﹣t）2﹣t+4，
将点C（0，4）代入上式得：4＝a（0﹣t）2﹣t+4，
则at2＝t，
∵t≠0，则at＝；
则L2的表达式为：y＝3a（x﹣t）2﹣t+4，
将点D（，0）代入上式得：
0＝3a（﹣t）2﹣t+4，
则3a（﹣t）2﹣t+4＝0，
则3at2+a﹣32at﹣t+4＝0，
将at＝代入上式得：
t+﹣20＝0，
即9t﹣512×﹣120＝0，
即9t﹣﹣120＝0，
即9t+512a﹣120＝0，
即3t2﹣40t+128＝0，
解得：t＝8（负值已舍去），
则xQ﹣xD＝8﹣＝，则DE＝，
则△CDE的面积＝DE×CO＝4×＝．
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