2023学年浙江义乌佛堂中学3月份八年级下数学校本作业检查
考试时间：110分钟满分120分
一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（）
A. B.
C D.
3. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，55， 60，若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，统计量变小的是（ ）
A方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
4. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（）
A. B. C. 1 D.
5. 如图，矩形内有两个相邻白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 4 D. 6
6. 小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 小李解方程的过程正确 B. 也是该方程的一个解
C. 小李解方程的方法是配方法 D. 解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误
7. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A. B. C. 且 D. 且
8. 12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A. B. =3.2
C. D.
9. 在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ ）
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
10. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 9
二．填空题(本题有6小题 ,共24分)
11. 要使代数式有意义，则的取值范围是________．
12. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数k的值为______．
13. 某银行需要招聘一名大堂经理，应聘者王琳三项指标得分如下表，若从左至右依次赋予2∶3∶5的权重，则她的最终成绩为______分．
应聘者 信息处理 人际沟通 理解判断
王琳
14. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，则小路的宽为_______．
15. 一个等腰三角形底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是_____．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
三．解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 化简或计算：
（1）；
（2）．
18解方程：
（1）；
（2）．
19. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 6 3.76
乙组 7
（1）填空：________，________，________；
（2）求乙组的值；
（3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选________组．
20. 已知关于的方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为5，求的值．
21. 阅读材料：
在解决问题“已知，求的值”时，小红是这样分析与解答的：
，
，即．
．请你根据小红的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若，求的值．
22. 如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；
（1）为了使这个长方形的面积为96平方米，求边为多少米？
（2）用这些篱笆，能使围成的长方形面积是110平方米吗？说明理由．
23. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 ；（填序号）
①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
24. 【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数的最大值为________．
（2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）．
通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
（3）设a，b，c是非负实数，求的最小值．2023学年浙江义乌佛堂中学3月份八年级下数学校本作业检查
考试时间：110分钟满分120分
一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意依据一元二次方程必须满足的四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行验证即可．
解：A、方程是分式方程，选项错误，不符合题意；
B、形式是一元二次方程，二次项系数没有标注不等于0，选项错误，不符合题意；
C、符合一元二次方程定义．正确，符合题意．
D、含有两个未知数，选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的识别，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，利用算术平方根的定义对A和C进行判断，利用二次根式的加法对B进行判断，利用二次根式的除法对D进行判断．
解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
3. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，55， 60，若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，统计量变小的是（ ）
A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中位数，平均数，标准差．求出两次的平均数，方差，标准差，据此即可求解．
捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，故C选项不符合题意；
变化前后都是50出现的次数最多，故众数都是50不变，
原来的平均数为，
方差，，
现在的平均数为，
方差，
∴平均数增大，方差变小，
故选：A．
4. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a 1）和（a 2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
解：由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1-＝a 1＋（a 2）＝2a 3．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a 1＞0，a 2＜0是解题关键．
5. 如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大矩形面积正方形面积，本题得以解决．
由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴题图中阴影部分的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
6. 小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 小李解方程的过程正确 B. 也是该方程的一个解
C. 小李解方程的方法是配方法 D. 解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，根据因式分解的步骤解方程后再判断即可．
，
，
∴或，
∴或；
故小李解方程的过程错误，A选项不符合题意；
也是该方程的一个解，B选项符合题意；
小李解方程的方法不是配方法，是因式分解法，C选项错误；
解方程的过程是从第③步到第④步时出现错误，D选项错误．
故选：B．
7. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可．
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴且，
∵
∴且
解得
∴，
解得且，
故选C．
8. 12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A. B. =3.2
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平均增长率的计算，正确理解题是解题的关键．
根据题意，得，
故选A．
9. 在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ ）
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解．
解：如图2，
先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：
39+（）2×4＝39+25＝64，
∴该方程的正数解为
﹣×2＝3．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程﹒
10. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】因式分解法可求，再根据，可得关于m的方程，解方程可求m的值．
解：∵，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解法—十字分解法，正确的计算是解决本题的关键．
二．填空题(本题有6小题 ,共24分)
11. 要使代数式有意义，则的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出，即可求解．
解：∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数k的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．将代入方程得关于的方程，求解即可．
解：关于的一元二次方程有一个根为1，
故将代入，得：，
解得：，
故答案为：1
13. 某银行需要招聘一名大堂经理，应聘者王琳三项指标得分如下表，若从左至右依次赋予2∶3∶5的权重，则她的最终成绩为______分．
应聘者 信息处理 人际沟通 理解判断
王琳
【答案】
【解析】
【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是根据加权平均数的定义列式计算即可．
解：王琳的最终成绩为：（分），
故答案为：．
14. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，则小路的宽为_______．
【答案】
【解析】
【分析】将小路进行平移，转化成规整的矩形，即可通过矩形面积公式进行求解，本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练应用平移的性质，将不规则图形转化成规则图形，再进行求解．
解：将图形通过平移变成规则的矩形，设小路的宽为米，
根据题意列式：
，
解得：或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
15. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是_____．
【答案】14
【解析】
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14，
故答案为14．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②是“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三．解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 化简或计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算；
（1）先化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【小问1】
原式
；
【小问2】
原式
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
（1）将看作一个整体，利用因式分解法即可解题．
（2）将方程两边同时加上7，用配方法即可解题．
【小问1】
解：，
，
，
或，
，；
【小问2】
解：，
，
，
，
，
，．
19. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 6 3.76
乙组 7
（1）填空：________，________，________；
（2）求乙组的值；
（3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选________组．
【答案】（1）6，7，7
（2）
（3）乙
【解析】
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．
（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据方差的计算公式计算即可得出答案；
（3）根据平均数，众数，中位数与方差的意义即可得出答案．
【小问1】
解：根据题意得：甲组位于正中间的两个数均为6，乙组中出现次数最多的是7，
∴；；
；
故答案为：6；7；7
【小问2】
解：
【小问3】
解：根据题意得：两组的平均数相同，乙组的中位数，众数均高于甲组，且乙组的方差小于甲组的，
∴乙组的成绩较好，
∴选乙组．
故答案为：乙
20. 已知关于的方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程有一根为5，求的值．
【答案】（1）见解析（2）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键．
（1）求出一元二次方程根的判别式，证明其大于0即可证明结论；
（2）把代入求出k即可．
【小问1】
证明：∵，
∴，
∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【小问2】
解：把代入得：
，
即，
解得：或．
21阅读材料：
在解决问题“已知，求的值”时，小红是这样分析与解答的：
，
，即．
．请你根据小红的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化以及利用整体思想求代数式的值，正确的化简是解题关键．
（1）分子、分母同时乘以，可实现分母有理化；
（2）分母有理化可得，根据材料可得；结合，利用整体思想即可求解．
【小问1】
解：；
【小问2】
解：，
∴，
∴，
即，
，
22. 如图，利用足够长一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；
（1）为了使这个长方形的面积为96平方米，求边为多少米？
（2）用这些篱笆，能使围成的长方形面积是110平方米吗？说明理由．
【答案】（1）4米或8米；（2）不能，见解析
【解析】
【分析】（1）设AB为x米，然后表示出BC的长为（36-3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可；
（2）把（1）中方程改为方程，再解方程，根据方程的解的情况来回答即可．
解：（1）设的长为米，
依题意的方程：，
解得：，，
答：当的长度为4米或8米时，长方形的面积为96平方米．
（2）假设长方形的面积是110平方米
依题意得：．即，
∵，
∴该一元二次方程无实数根，
∴假设不成立，
∴长方形的面积是不能为110平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．
23. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 ；（填序号）
①3x2+4x+5＝0；②5x2+13x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2+2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
【答案】（1）②；（2）；（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据a，b，c是Rt△ABC的三边长，分别列出等式然后判断直角是否为∠C，即可得出结果；
(2) 将x=-1代入“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0得：，根据△ABC的周长为2+2，得到，代入，求值即可；
(3) 计算 再利用可得出 即可得出结果．
解：（1）①3x2+4x+5＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形三边且b为直角边，
3x2+4x+5＝0不是“直系一元二次方程”；
②5x2+13x+12＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且c为直角边，
3x2+4x+5＝0是“直系一元二次方程”，
故答案为：②；
（2） x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，
代入x＝﹣1，得：，
又△ABC的周长为2+2，
，
；
（3）证：ax2+cx+b＝0，
该方程必有实数根．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，方程的解，一元二次方程根的判别式等知识，运用整体思想进行变形是解题的关键．
24. 【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数的最大值为________．
（2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）．
通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
（3）设a，b，c是非负实数，求的最小值．
【答案】（1）
（2）8
（3）2
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，不等式性质，熟练掌握完全平方公式和基本不等式的性质是解题的关键．
（1）变形得，则有，即可求解．．
（2）变形得，则有，，即可求解．
（3）变形得，则有，即，即可求解．
解：（1）∵，
∴，
∴y有最大值；
（2）∵，
∴，
∴y有最小值；
（3）∵，
∵a，b，c是非负实数，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
∴的最小值为2．
