浙教版2023-2024学年七年级下册第4章《因式分解》单元测试卷
满分120分 时间100分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）
A．（1﹣x）2＝1﹣2x+x2 B．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2
2．下列多项式中，能分解因式的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2﹣4a﹣4 D．a2+ab+b2
3．多项式3m2+6mn的公因式是（ ）
A．3 B．m C．3m D．3n
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．3x3+2x2+x＝x（3x2+2x）
B．9m2﹣1＝（9m+1）（9m﹣1）
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2
D．am﹣bm+2b﹣2a＝（m﹣2）（a﹣b）
5．下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣3x B．x2+4x+4 C．m2﹣n2 D．a2+4b2
6．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式正确的是（ ）
A．（a﹣2）（m2+m ） B．m（a﹣2）（m﹣1）
C．m（a﹣2）（m+1） D．m（2﹣a）（m﹣1）
7．多项式8x2n﹣4x（n是正整数）中各项的公因式是（ ）
A．4x B．2x2﹣1 C．4xn﹣1 D．2xn﹣1
8．若x2+（k﹣2）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0
9．若x2+kx﹣15能分解为（x+5）（x﹣3），则k的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
10．若2m﹣n＝2，﹣6m﹣3n＝﹣9，则4m2﹣n2的值为（ ）
A．﹣18 B．﹣6 C．6 D．18
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．分解因式：b2﹣1＝ ．
12．分解因式：﹣3m2+12m﹣12＝ ．
13．多项式9x3y2﹣12x2y3中各项的公因式是 ．
14．在实数范围内因式分解x2﹣3＝ ．
15．若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 ．
16．已知ab＝2，a﹣b＝1012，则a2b﹣ab2的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）分解因式：
（1）9x2﹣1；
（2）mx2﹣4mx+4m．
18．（8分）分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
19．（8分）已知6x﹣3y﹣1＝0，xy＝2，求2x4y3﹣x3y4的值．
20．（10分）请看下面的问题：把x4+4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲 热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲 热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲 热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）4x4+y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
21．（10分）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
【验证】（2+1）2﹣（2﹣1）2＝ ；
【证明】设两个正整数为m，n，请验证“发现”中的结论正确；
【拓展】已知（x+y）2＝100，xy＝24，求（x﹣y）2的值．
22．（10分）阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．
此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题．
（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣4a﹣12；
（2）19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把x4+4分解因式”这个问题：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．请你把x4+64y4因式分解；
（3）若2m2﹣4mn+3n2﹣8n+16＝0，求m和n的值．
23．（12分）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①ax+by+bx+ay
＝（ax+bx）+（ay+by）
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；
（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
参考答案
一．选择题
1．解：A．（1﹣x）2＝1﹣2x+x2，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a），符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．解：A、﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），故A符合题意；
B、﹣a2﹣b2＝﹣（a2+b2），没把多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、不能把多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
D、不能把多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：A．
3．解：多项式3m2+6mn的公因式是3m，
故选：C．
4．解：3x3+2x2+x＝x（3x2+2x+1），故A不符合题意；
9m2﹣1＝（3m+1）（3m﹣1），故B不符合题意；
x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，故C不符合题意；
am﹣bm+2b﹣2a＝（m﹣2）（a﹣b），故D符合题意；
故选：D．
5．解：A、x2﹣3x＝x（x﹣3），应用提公因式法分解因式，所以本选项不符合题意；
B、x2+4x+4＝（x+2）2是用完全平方公式进行因式分解，所以本选项不符合题意；
C、m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）能用平方差公式进行因式分解，所以本选项符合题意；
D、a2+4b2，不能进行因式分解，所以本选项不符合题意．
故选：C．
6．解：m2（a﹣2）+m（2﹣a）
＝m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）
＝m（a﹣2）（m﹣1）．
故选：B．
7．解：∵8x2n﹣4x＝4x 2x2n﹣1﹣4x，
∴8x2n﹣4x中各项的公因式是4x，
故选：A．
8．解：∵x2+（k﹣2）x+9＝x2+（k﹣2）x+32，
而x2+（k﹣2）x+9能用完全平方公式因式分解，
∴x2+（k﹣2）x+32＝（x+3）2或x2+（k﹣2）x+32＝（x﹣3）2，
∴k﹣2＝6或k﹣2＝﹣6，
解得k＝8或﹣4．
故选：B．
9．解：根据题意得：x2+kx﹣15＝（x+5）（x﹣3）＝x2+2x﹣15，
则k＝2．
故选：B．
10．解：根据题意，∵2m﹣n＝2，﹣6m﹣3n＝﹣9
∴2m﹣n＝2，2m+n＝3，
∴4m2﹣n2
＝（2m+n）（2m﹣n）
＝3×2
＝6，
故选：C．
二．填空题
11．解：b2﹣1＝（b+1）（b﹣1）．
故答案为：（b+1）（b﹣1）．
12．解：﹣3m2+12m﹣12
＝﹣3（m2﹣4m+4）
＝﹣3（m﹣2）2，
故答案为：﹣3（m﹣2）2．
13．解：9x3y2+12x2y3中各项的公因式是：3y2x2．
故答案为：3y2x2．
14．解：．
故答案为：．
15．解：设该多项式的另一个因式是x+n．
得（x+2）（x+n）＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝﹣2，
解得n＝﹣4，
∴m＝2n＝2×（﹣4）＝﹣8，
故答案为：﹣8．
16．解：a2b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝2×1012
＝2024
故答案为：2024．
三．解答题
17．解：（1）9x2﹣1＝（3x+1）（3x﹣1）；
（2）mx2﹣4mx+4m
＝m（x2﹣4x+4）
＝m（x﹣2）2．
18．解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）
＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（a+b）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）]
＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）
＝﹣2xy（x+y）．
19．解：∵6x﹣3y﹣1＝0，xy＝2，
∴2x﹣y＝，
∴当2x﹣y＝，xy＝2时，
原式＝（xy）3 （2x﹣y）
＝23×
＝．
20．解：（1）原式＝4x4+y4+4x2y2﹣4x2y2＝（2x2+y2）2﹣4x2y2＝（2x2+y2+2xy）（2x2+y2﹣2xy）；
（2）原式＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab＝（x﹣a）2﹣（a+b）2＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．
21．解：【验证】（2+1）2﹣（2﹣1）2＝32﹣12＝8＝4×2；
【证明】∵（m+n）2﹣（m﹣n）2
＝[（m+n）+（m﹣n）] [（m+n）﹣（m﹣n）]
＝2m×2n
＝4mn，
∵m，n是正整数，
∴（m+n）2﹣（m﹣n）2是4的倍数
即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数；
【拓展】根据【发现】得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
又∵（x+y）2＝100，xy＝24，
∴100﹣（x﹣y）2＝4×24，
∵（x﹣y）2＝100﹣4×24＝4，
22．解：（1）a2﹣4a﹣12
＝a2﹣4a+4﹣4﹣12
＝（x﹣2）2﹣16
＝（x+2）（x﹣6）；
（2）x4+64y4
＝x4+16x2y2+64y4﹣16x2y2
＝（x2+8y2）2﹣16x2y2
＝（x2+4xy+8y2）（x2﹣4xy+8y2）；
（3）∵2m2﹣4mn+3n2﹣8n+16＝0，
∴2m2﹣4mn+2n2+n2﹣8n+16＝0，
∴2（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m＝n，n＝4，
∴m＝4，n＝4．
23．解：（1）a2﹣b2+a﹣b
＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+1）；
（2）a2+4ab﹣5b2＝（a+5b）（a﹣b）；
（3）x2﹣6x+1
＝x2﹣6x+9﹣8
＝（x﹣3）2﹣8
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，
∴当x＝3时，取最小值为﹣8．
