2024新高考模拟预测卷（五）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。
一、选择题: 本题共 55270:uId:55270 8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）；
A． B． C． D．
2.设x∈R，则“1＜x＜3”是“x2+x﹣2＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. “不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离明年高考还有242天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（ ）天（参考数据：）
A. 200天 B. 210天 C. 220天 D. 230天
4．已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ）
①若，且，则；
②若相交且都在平面外，，则；
③若，则；
④若，且，则．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
7．设为抛物线的焦点，为上一点且在第一象限，在点处的切线交轴于，交轴于，若，则直线的斜率为（ ）
A. －2 B. C. D.
8.已知满足，若在区间内，关于的方程有4个根，则实数的取值范围是（ ）
A.或 B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，，，则（ ）
A. B. 的实部依次成等比数列
C. D. 的虚部依次成等差数列
10.已知，，且，则（ ）
A. ， B.
C. 最大值为4 D. 的最小值为12
11.已知定义在上的函数满足：，都有，且，，当时，有，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题 qprwyuo :fId: qprwyuo ：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是______.
13.已知中，，边上的高与边上的中线相等，则__________.
14.函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）如图，在中，，，且点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，，求的面积．
16.（本小题满分15分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节，己知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.
(1)若分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围．
17（本小题满分15分）如图，斜四棱柱的底面为等腰梯形，且，点在底面的射影点在四边形内部，且.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分17分）已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设和的面积分别为和，求的取值范围.
参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为.
19.（本小题满分17分）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.
2024新高考模拟预测卷（四）
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D A C A D A
二、多选题
题号 9 10 11
答案 ABC BCD ACD
三、填空题
12.6
13 .
14
15(1)，，则，，解得，，
，，在中，由正弦定理可知得.
由得，所以，得，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以，
16(1)设该生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A，则；
该考生报乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，.
(2)设该生报考甲大学通过的科目数为，根据题意可知，，则，报考乙大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3．
，，
，，
随机变量的分布列：
0 1 2 3
，
因为该考生更希望通过甲大学的笔试，，则，得：.
17（1）在等腰梯形中，，
过作交于，则四边形是菱形，
，是等边三角形，
，
，
又平面，
∴平面，又平面，
平面⊥平面.
（2）由（1）平面⊥平面，
∵平面平面，
∴点在底面的射影在上，且，又，
由（1）知.
以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，
则，设，，
则，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，解得，
令得，，故，
，解得：，
所以
18（1）由已知双曲线为焦点在轴上，中心为原点的双曲线，
设其方程为，
因为双曲线的离心率为2，
所以，，
又双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点坐标为，
所以，所以，
双曲线的标准方程为；
（2）知，，设，
所以，，
因为，的斜率之比为，即，
解得，所以点在直线上，
设，，，
则切线方程为：，
则切线方程为：，
因为点既在直线上又在直线上，
即：，，
所以直线的方程为：，化简可得，
所以直线过定点；
（3）由（2）得直线过定点，所以，，，
所以，点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，所以，，
因为，所以，，
若直线的斜率为，则直线与双曲线的左支的交点为与已知矛盾，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
直线与双曲线的交点坐标为，
故切线的方程为，切线的方程为，
此时点的坐标为，与点在第二象限矛盾，
设，
将代入双曲线中得
，由已知，
方程的判别式，
所以，，，
由已知，
所以，，
所以，，
化简可得，又，
所以或，
所以的取值范围为
所以
令，则，
所以
函数在上单调递增，
所以，
所以，的取值范围为.
19（1）当时，定义域为，
所以，
所以在定义域上单调递减，其单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）①由定义域为，
所以，
令，因为，，
设方程的两根分别为，，且，则，，
所以有两个零点，，且，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
又，故，则，
又因为，，且，
故有，由零点存在性定理可知，
在恰有一个零点，在也恰有一个零点，
易知是的零点，所以恰有三个零点；
②由①知，，则，
因为，所以，
所以要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故式成立，
所以．
