高一下期期中考试数学试卷
满分：150分;考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A D B B C C
二 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9 10 11
ACD AC ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填在答题卡对应题号后的横线上）
12． 13. 30 14. 2
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15. (本小题13分) 【答案】(1) (2)
【详解】（1）由，得．
，
（3分）
． （6分）
（2）由，得， （8分）
由，得， （10分）
． （12分）
又
（13分）
16. (本小题15分) 【答案】 (1) (2)
（1）由已知可得， （2分）
. （4分）
又向量与垂直，
所以，，即，
解得. （7分）
（2）由已知可得，. （9分）
又与向量平行，， （11分）
所以有， （13分）
整理可得，，解得. （15分）
17. (本小题15分) 【答案】(1) (2) （3）
【详解】（1）， （3分）
的最小正周期. （5分）
（2）当时，， （7分）
当，即时，取得最小值，，
即实数的取值范围为. （10分）
（3）由题意 （12分）
因为，所以 （13分）
因为函数有且仅有5个零点，所以，故 （15分）
18. (本小题17分)
【答案】(1) (2) (3) 充要条件为
（3分）
（5分）
（2）因，由共线定理，存在唯一的实数，有 （7分）
则，故，所以 （10分）
（3）不正确 (12分)
证明：因为，所以，即，则有
（17分）
19. (本小题17分)
【答案】(1) (2)长的最小值为，的最大值
【详解】（1）由正弦定理，得，即， （2分）
故， （3分）
因为，所以，
所以 （5分）
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得， （7分）
由于，所以 （8分）
，
当且仅当时，等号取得到，所以； （11分）
②因为为角的角平分线，所以， （12分）
由于，
所以，
由于,所以，
由于， （14分）
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故， （17分）秘密★启用前
阆中中学校2024年春高2023级期中学习质量检测
数 学 试 题
（满分：150分 时间：120分钟 ）
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 表示向东走了10 km， 表示向南走了5 km，则 所表示的意义为（ ）
A. 向东南走了 km B. 向西南走了 km
C. 向东南走了 km D. 向西南走了 km
如图，在中，，则（ ）
A. B．
C． D．
4. 在中，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6. 若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
7. 的内角的对边分别为．已知 ，
，则为（ ）
A． B． C.2 D．
阆中熊猫乐园承载着许多人的回忆，将乐园的摩天轮图（1）所示抽象成图（2）所
示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆
时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：
米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的
关系为．则摩天轮转动8分钟后，求点
距离地面的高度（ ）
A.50米 B. 60米 C. 65米 D. 75米
二 多项选择题。（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
下列各式中值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，若，则是等腰或直角三角形
B. 已知向量，若与夹角为锐角，则
C.
D. 若平面向量两两的夹角相等，且，则5
11. 中，内角，， 的对边分别为，，，为的面积，且，
，下列选项正确的是（ ）
B．若，则只有一解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为锐角三角形，则的面积的取值范围
第Ⅱ卷（非选择题 92分）
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填在答题卡对应题号后的横
线上）
12．已知，则= .
13. 万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边。白塔作为阆中市的标志性建
筑之一。当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌。感觉
人仿佛在凌空飞翔。现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的
白塔高，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点
与.现测得米，在
点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为 米.
已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小
值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(本小题13分)已知，．
(1) 求；
(2) 若，且，求．
16. (本小题15分)已知向量
(1) 若向量与垂直，求实数k的值；
(2) 若向量，且与向量平行，求实数k的值.
17. (本小题15分)已知函数．
(1) 求函数的最小正周期；
(2) 若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3) 将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单
位，得到函数的图像.若，函数有且仅有5个零点，求实数
的取值范围.
18. (本小题17分)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与
轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫
做向量在坐标系中的坐标. 设，
(1) 求的模长；
(2) 设，若，求实数的值；
(3) 若,，有同学认为“”的充要条
件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，
请说明理由.
19. (本小题17分)已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1) 求；
(2) 若的面积为；
①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值．
