西安市第一中学高2024届高三年级第二次模拟考试
数学（文科）试题
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 复数，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的模长计算公式可得答案.
【详解】，
，
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简集合B，根据并集运算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查了集合并集运算，属于容易题.
3. 在“双11”促销活动中，某网店在11月11日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为42万元，则9时到11时的销售额为（ ）
A. 9万元 B. 18万元 C. 24万元 D. 30万元
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率分布直方图，利用频率比与销售额的比相等，即可求出对应的值．
【详解】解：根据频率分布直方图知，12时到14时的频率为0.35，9时到11时的频率为，
所以9时到11时的销售额为：（万元）．
故选：D
4. 角的终边经过点，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．
【详解】解：角终边上一点，，，
则，
故选：．
5. 设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可．
【详解】依题意设，则，，，
所以，
则，故A，C错误；
则，故B错误；
则，故D正确.
故选：D.
6. 已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③
C. ①④ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】设出公差为，列出方程组，求出首项和公差，根据判断①正确，
写出，解不等式求出成立的的最大值是9，②正确；
根据与，得到当时，取得最大值，③正确；
利用通项公式求出的值，得到④错误.
【详解】设等差数列的公差为，
故，解得：，
由于，故是递减数列，①正确；
，令，
解得：，且，
故使成立的的最大值是9，②正确；
，
当时，，当时，，
故当时，取得最大值，③正确；
，④错误.
故选：D
7. 曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A. (1, 0) B. (2, 8)
C. (1, 0)和(-1, -4) D. (2, 8)和(-1, -4)
【答案】C
【解析】
【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】依题意,令，解得
故点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，
故选：C
【点睛】本题考查导数的几何意义，直线斜率与平行的关系，属于基础题
8. 设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特称名为假命题可得，对恒成立，令，利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论.
【详解】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立，
则，对恒成立，
令，则二次函数的对称轴为直线，
要使得，恒成立，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
9. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，则．
其中正确命题的序号是（ ）．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】选项①两线垂直同一平面，所以两条线平行；选项②根据线面垂直和面面平行的传递性可判断；选项③由线面垂直的性质定理可判断；选项④可能垂直可判断.
【详解】解：对于①，由且成立，m，n可能平行，异面或者相交，故①错误；
对于②，因为且，所以，
结合，可得，故②正确；
对于③，若，，由线面垂直的性质定理可知：，故③正确；
对于④，若，，也可能相交，故④错误.
故选：B．
10. 已知直线与双曲线相交于不同的两点，，，为双曲线的左右焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义和题目条件可得，. 在中，点是的中点因此，平方后有；再由余弦定理可得，所以，联立即可解得，从而得到渐近线方程.
【详解】因为点在双曲线上，所以根据双曲线的定义，可得，又因为，
所以，.
因为点是的中点，
所以，平方后得①.
在中利用余弦定理可得：，即②.
①②两式联立得：.
又因为在双曲线中，所以，即.
所以渐近线方程.
故选：C
11. 函数的部分图像如图所示，给下列说法：
①函数的最小正周期为；
②直线为函数的一条对称轴；
③点为函数的一个对称中心；
④函数的图像向右平移个单位后得到的图像.
其中不正确说法的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的部分图像求出的解析式，再根据三角函数的图像与性质，判断题目中的命题是否正确.
【详解】解：由图像可知：,,可得,故①正确；
由，可得，所以，
又，可得，，可得，故，令，可得，当时，对称轴为，
故②正确；
令，可得，当时，对称中心为，故③正确；
函数的图像向右平移个单位后得到，即，故④错误.
故选：A.
【点睛】本题主要考查命题真假的判断及三角函数的性质与平移，属于中档题.
12. 关于函数，下列说法正确的个数是（ ）．
①是奇函数；②是周期函数；③有零点；④在上单调递增．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性定义可判断选项①正确；依据周期性定义，选项②错误；，选项③正确；求，判断选项④正确.
【详解】对于①，函数定义域为，且，
则为奇函数，故①正确；
对于②，若是周期函数，设其最小正周期为，则，
即，变形得，，对任意恒成立，
令，可得，，设，而，
，所以只有唯一的解，故由，
由此可知它不周期函数，故②错误；
对于③，因为，在上有零点，故③正确；
对于④，由于，故在上单调递增，故④正确.
故选：C
二、填空题（每空5分，共20分）
13. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.
【答案】
【解析】
分析】
从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.
【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种，
小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种，
所以其概率为.
故答案为：
【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.
14. 已知向量，，若，则锐角的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知结合项平行的坐标表示及同角基本关系可求，进而可求．
【详解】因为，
若，则，
因为为锐角，所以，则角．
故答案为：．
15. 设是等比数列，且，，则__________．
【答案】16
【解析】
【分析】利用等比数列通项的性质求出公比，然后利用等比数列通项的性质求解即可．
【详解】因为是等比数列，设其公比为，
所以，则，
所以.
故答案为：.
16. 若函数在区间内单调递减，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题先得：，再借助整体法：令，再结合余弦函数图像分析出单调递减时的等价条件，解不等式即可.
【详解】由题得：，
令，
则在单调递减，
故，
由，故，
所以的最大值为，
故答案为：.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．共70分．
17. 在 中，内角的对边分别为 .已知
（1） 求的值
（2） 若 ，求的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案．
（2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得 ，，从而计算出面积．
【详解】（1）由正弦定理得，
所以
即
即有，即
所以
（2）由（1）知，即，
又因为 ，所以由余弦定理得：
，即，解得,
所以，又因为，所以 ，
故的面积为=.
【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．
18. 如图所示，四棱锥中，平面，，，且，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）因为平面，根据等积法可得结果；
（2）根据线面垂直的性质定理可得，结合（1）及线面垂直的判定定理可得平面，从而得证.
【小问1详解】
在底面中，，，且，
所以，，则，所以，
故.
【小问2详解】
由（1）知，又平面，平面，则，
且，平面，
∴平面，而平面，所以．
19. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：
喜欢“应用统计”课程 不喜欢“应用统计”课程 总计
男生 20 5 25
女生 10 20 30
总计 30 25 55
（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（公式和对照表见题后）
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
附：，
0.010 0.005
6.635 7.879
【答案】（1）有关 （2）
【解析】
【分析】（1）由题中列联表计算卡方，根据数值计算做出判断即可；
（2）由分层抽样确定抽取的6人中男生和女生的人数，再根据古典概型计算概率即可.
【小问1详解】
由表中数据，可得，
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．
【小问2详解】
设所抽样本中有m个男生，则＝，得，
所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作，，，，，，
从中任选2人的基本事件有(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，
(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，
(，)，(，)，(，)，共15个，
其中恰有1个男生和1个女生的事件有(，)，(，G2)，(，)，(，)，
(，)，(，)，(，)，(，)，共8个，
所以恰有1个男生和1个女生的概率为.
20. 已知椭圆）的左、右焦点分别为，离心率为为椭圆上的一个动点.面积的最大值为2.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设斜率存在的直线与的另一个交点为，是否存在点，使得.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；
（2）设直线方程为：联立直线与椭圆的方程，先讨论时是否满足，当时，根据直线斜率列式化简求解即可.
【小问1详解】
由题意，离心率，由当是的上顶点时，面积的最大，则，得.
又，故椭圆的标准方程为
【小问2详解】
存在点，使得.
由题知，设直线方程为：，
联立，得
设，设的中点为，
则是该方程的两个根，，
则，
当时，由易得；
当时，由知，则直线斜率，
所以，得.
所以，由于，则，
综上所述，
故存在点，使得，且的取值范围.
【点睛】方法点睛：本题主要考查了椭圆的基本量关系，同时也考查了利用直线与圆锥曲线的关系，列式利用韦达定理表达所求式，从而化简求解的问题.常用点坐标表达斜率、中点等，再代入韦达定理化简求解.属于难题.
21. 已知函数．
（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；
（2）当时，讨论函数零点的个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导可得，根据题意结合垂直关系运算求解；
（2）构建，由题意分析可知的零点个数即为与的交点个数，求导，利用导数判断的单调性和最值，进而可得结果.
【小问1详解】
由题意可知：，可知，
且直线的斜率为，
由题意可知：，解得．
【小问2详解】
由得，
令，
可知的零点个数即为与的交点个数，
则，
因为，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且趋近于0时，趋近于，，，
当或时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点．
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程，并化为标准方程；
（2）已知点的极坐标为与曲线交于两点，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）变形为，结合，求出直角坐标方程，为圆，再化为标准方程；
（2）求出点的直角坐标，将直线的参数方程代入圆的方程，用的几何意义求解.
【小问1详解】
两边同乘以可得：，
由可得：，即；
【小问2详解】
因为，，
故点的直角坐标为，
把代入圆的方程可得，
设两点的对应参数分别为，则，
，
故.
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论，与三种情况，利用一次不等式的解法求解即可；
（2）利用绝对值三角不等式得到，从而得到，利用二次不等式的解法求解即可.
【小问1详解】
当时,，
当时，由得，解得，所以；
当时，由得，显然无解；
当时，由得，解得，所以；
综上：或，故不等式的解集是.
【小问2详解】
因为，所以，
因为对任意的恒成立，
所以，即，解得，
故的取值范围是.西安市第一中学高2024届高三年级第二次模拟考试
数学（文科）试题
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 复数，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在“双11”促销活动中，某网店在11月11日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为42万元，则9时到11时的销售额为（ ）
A. 9万元 B. 18万元 C. 24万元 D. 30万元
4. 角的终边经过点，那么（ ）
A. B. C. D.
5. 设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（ ）
A ①② B. ①③
C. ①④ D. ①②③
7. 曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A. (1, 0) B. (2, 8)
C. (1, 0)和(-1, -4) D. (2, 8)和(-1, -4)
8. 设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A B. C. D.
9. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，则．
其中正确命题的序号是（ ）．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
10. 已知直线与双曲线相交于不同的两点，，，为双曲线的左右焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
11. 函数的部分图像如图所示，给下列说法：
①函数的最小正周期为；
②直线为函数的一条对称轴；
③点为函数的一个对称中心；
④函数的图像向右平移个单位后得到的图像.
其中不正确说法的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 关于函数，下列说法正确的个数是（ ）．
①是奇函数；②是周期函数；③有零点；④在上单调递增．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（每空5分，共20分）
13. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.
14. 已知向量，，若，则锐角值是__________．
15. 设是等比数列，且，，则__________．
16. 若函数在区间内单调递减，则最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．共70分．
17. 在 中，内角的对边分别为 .已知
（1） 求的值
（2） 若 ，求的面积.
18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：．
19. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：
喜欢“应用统计”课程 不喜欢“应用统计”课程 总计
男生 20 5 25
女生 10 20 30
总计 30 25 55
（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（公式和对照表见题后）
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
附：，
0.010 0005
6.635 7.879
20. 已知椭圆）的左、右焦点分别为，离心率为为椭圆上的一个动点.面积的最大值为2.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设斜率存在的直线与的另一个交点为，是否存在点，使得.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数．
（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；
（2）当时，讨论函数零点的个数．
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程，并化为标准方程；
（2）已知点的极坐标为与曲线交于两点，求的值.
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
