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辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期期中数学模拟卷A
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知各项均不为的数列的前项和为，若，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．设函数的图像与轴的交点为，则曲线：在点处的切线方程为（ ）。
A、
B、
C、
D、
3．在前项和为的等差数列中，、，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
4．已知函数（、）在处取得极值，则的最小值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
5．已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．已知定义在上的函数是可导函数，且对于恒成立，则下列判断正确的是（ ）。
A、，
B、，
C、，
D、，
7．设数列是首项为正数、公比为的无穷等比数列，其前项和为。若存在无穷多个正整数，使，则公比的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．已知、、，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是（ ）。
A、若，则必有
B、若，则必有是中最大的项
C、若，则必有
D、若，则必有
10．数列、、、、、、、、、、、、、、、……是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（）在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列。该数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和。记斐波那契数列为，其前项和为，则下列结论正确的有（ ）。
A、不一定是偶数
B、
C、
D、
11．关于函数，下列说法正确的是（ ）。
A、是函数的极小值点
B、函数有且只有个零点
C、存在正实数，使得成立
D、对任意两个正实数、，且，若，则
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．已知数列的通项公式为，为的前项和，则最小值时， 。
13．已知数列是首项为、公比为的等比数列，数列是首项为、公比为的等差数列，数列从第一项开始依次为、、、、、、、、、、、、、、、……，则数列的前项和为 。
14．已知函数（）有两个不同的极值点、，且不等式（）恒成立，则实数的取值范围为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）已知数列中，，（）。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和。
16．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）若是函数的一个极值点，求函数的单调区间；
（2）当时，在区间上恒成立，求实数的取值范围。
17．（本小题满分分）将（）个正数排成行列：
……
……
……
……
……
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且各列的公比都相等，若、、
。
（1）求；
（2）设，求证：。
18．（本小题满分分）已知等差数列满足：、，其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且、、成等差数列。
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求。
（3）设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值。
19．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个不同的零点、（），
①求证：；
②若、满足，求实数的最大值。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期期中数学模拟卷A
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知各项均不为的数列的前项和为，若，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】当时，，解得（），
当时，，∴，令，则，故选A。
2．设函数的图像与轴的交点为，则曲线：在点处的切线方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】的定义域为，由题意可知，，，
∴曲线在点处的切线方程为，即，故选C。
3．在前项和为的等差数列中，、，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】设数列的公差为，由得，即，
∴、，∴，∴，故选C。
4．已知函数（、）在处取得极值，则的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】的定义域为，，
∵在处取得极值，∴，∴，
∴，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，故选B。
5．已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】令，解得或，
∴当时，，递增，
当时，，，
当时，，递减，
当时，，递增，
且、、、、、、、，∴，
∴取得最小值时的值为，故选D。
6．已知定义在上的函数是可导函数，且对于恒成立，则下列判断正确的是（ ）。
A、， B、，
C、， D、，
【答案】A
【解析】构造函数，定义域为，，∴在上单调递减，
∴，即，即、，
故选A。
7．设数列是首项为正数、公比为的无穷等比数列，其前项和为。若存在无穷多个正整数，使，则公比的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】依题意、，
若，则、，此时不存在符合题意的，∴，
当时，，
当为正偶数时，，∴存在无穷多个正整数，使，可取，
当时，，
其中、，∴，此时不存在符合题意的，
当时，，其中，
当是正奇数时，，∴，此时不存在符合题意的，
当是正偶数时，，∴，∴存在无穷多个正整数，使，
综上所述，公比的取值范围是，故选A。
8．已知、、，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】构造函数，定义域为，，∴在内单调递增，
∴，即，∴，∴，
构造函数，定义域为，，令，解得，
当时，，∴在内单调递增，∴，
∴，∴，
构造函数，定义域为，，∴在内单调递增，
∴，即，∴，
∴，∴，故选B。
二级结论：当时，。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是（ ）。
A、若，则必有 B、若，则必有是中最大的项
C、若，则必有 D、若，则必有
【答案】ABD
【解析】A选项，若，则，∴，
∴，对，
B选项，若，则，
又由，∴、，∴必有是中最大的项，对，
C选项，若，则，而的符号不能确定，∴不一定成立，错，
D选项，若，则，又由，则必有，
可得，∴必有，对，
故选ABD。
10．数列、、、、、、、、、、、、、、、……是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（）在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列。该数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和。记斐波那契数列为，其前项和为，则下列结论正确的有（ ）。
A、不一定是偶数 B、 C、 D、
【答案】BCD
【解析】A选项，、为奇数，当时，，
∴为偶数、为奇数、为奇数、为偶数、……，以此类推，
观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，错，
B选项，又∵，∴
，对，
C 选项，，
，
以此类推，对，
D选项，
，
∴，对，
故选BCD。
11．关于函数，下列说法正确的是（ ）。
A、是函数的极小值点
B、函数有且只有个零点
C、存在正实数，使得成立
D、对任意两个正实数、，且，若，则
【答案】ABD
【解析】A选项，∵的定义域为，，令，解得，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在上单调递增，
∴是的极小值点，对，
B选项，令，的定义域为，
，恒成立，
∴函数在上单调递减，
又，，
∴函数有且仅有一个零点，对，
C选项，若，可得，令，的定义域为，
则，
令，的定义域为，则，
令，解得，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在上单调递增，
∴，∴恒成立，即函数在上单调递减，
∴函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，错，
D选项，令，则、，
令，
则，
∴在上单调递减，则，即，
令，由得，则，
当时，显然成立，
∴对任意两个正实数、，且，若则，对，
故选ABD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．已知数列的通项公式为，为的前项和，则最小值时， 。
【答案】或
【解析】令得，即当时，，当时，，当时，，
∴最小值时，或。
13．已知数列是首项为、公比为的等比数列，数列是首项为、公比为的等差数列，数列从第一项开始依次为、、、、、、、、、、、、、、、……，则数列的前项和为 。
【答案】
【解析】由题意可知、，数列的规律是在和中间插入项，
当时，有~共项，中间插入项，即有~共项，
则共项，
当时，有~共项，中间插入项，即有~共项，
则共项，
∴数列的前项中含有的前项和的前项，
∴所求和为。
14．已知函数（）有两个不同的极值点、，且不等式（）恒成立，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】的定义域为，，
∵有两个不同的极值点、，∴方程一定有两个不相等的正实数根，
∴且且，解得，
原不等式可化为，
，
构造函数，定义域为，，
当时，恒成立，∴在内单调递增，
∴，∴，∴实数的取值范围为。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）已知数列中，，（）。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和。
【解析】（1）当时，由得，∴， 2分
又，∴是首项为、公差为的等差数列， 4分
∴，∴； 6分
（2）
， 7分
∴ ， 8分
两式相减得：
， 12分
∴。 13分
16．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）若是函数的一个极值点，求函数的单调区间；
（2）当时，在区间上恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
∵是函数的一个极值点，∴，解得， 2分
当时，，令，解得、， 3分
当或时，，∴在和内单调递增，
当时，，∴在内单调递减， 5分
∴的单调递增区间为和，单调递减区间为； 6分
（2）的定义域为，，
又，令，解得、，且， 8分
当或时，，∴在和内单调递增， 9分
当时，，∴在内单调递减， 10分
∴在处取得极大值，在处取得极小值， 11分
∵在区间上恒成立，∴，解得，
又∵，∴，∴实数的取值范围为。 15分
17．（本小题满分分）将（）个正数排成行列：
……
……
……
……
……
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且各列的公比都相等，若、、
。
（1）求；
（2）设，求证：。
【解析】（1）设第一行数的公差为，各列的公比为，
∵，∴，∵，∴，∴， 3分
∴，∴，
∴； 6分
（2）由（1）可知，， 7分
∴， 8分
， 9分
用上式-下式得：
， 11分
∴， 12分
∵恒成立，∴为单调递增数列，∴，
又当时，，∴，
综上所述，。 15分
18．（本小题满分分）已知等差数列满足：、，其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且、、成等差数列。
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求。
（3）设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值。
【解析】（1）设等差数列的公差为，∵、，
∴，∴、，∴； 3分
设等比数列公比为（），∵，且、、成等差数列，
∴，∴，解得（舍去）或（可取），
∴数列的通项公式为； 6分
（2）由（1）得， 7分
则， 8分
， 9分
∴
， 11分
∴； 12分
（3）由（1）可知， 13分
则， 14分
∴
， 15分
∴，∴恒成立，
∵单调递增，∴当时，，
∴，∴实数的最大值为。 17分
19．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个不同的零点、（），
①求证：；
②若、满足，求实数的最大值。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
当时，恒成立，在内单调递增， 2分
当时，令，解得，
当时，，∴在内单调递增，
当时，，∴在内单调递减； 4分
（2）①令，即，即， 5分
设，定义域为，， 6分
令，解得，当时，，在内单调递增，
当时，，在内单调递减， 8分
∴在当处取得极大值，，
又当时，，当时，，
∴，即； 10分
②∵，即，且，
不妨设（），将代入中，
得，即， 12分
设，定义域为，，
令，定义域为，恒成立，
∴在上单调递减，即，
∴恒成立，∴在内单调递减，
由已知条件得，即，
∴在上单调递减，即，
∴，∴，即，又∵， 15分
设，由①知，在上单调递增，而，
∴在上也单调递增，∴，∴，
即，综上所述，实数的最大值为。 17分
