四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟（三）
文科数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，座位号和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次不等式的解法解出集合，然后计算集合的交集.
【详解】由，
，
所以，
故选：D.
2. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.
【详解】由复数为纯虚数，得，解得，
所以.
故选：C
3. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用方程表示椭圆的条件列出不等式，再利用充分必要条件判断即可
【详解】若方程表示椭圆，
则满足 即且，此时成立，即必要性成立，
当m＝2时，满足，但此时方程等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
4. 已知为锐角，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式求得，再根据倍角公式求解.
【详解】，所以，
所以，所以，
因为为锐角，所以.
故选：D
5. 正方形的边长为2，E是的中点，F是的中点，则（ ）
A. 4 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助平面向量的线性运算与平面向量的数量积公式计算即可得.
【详解】
.
故选：D.
6. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
7. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．
【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为，圆台的下底面半径为，所以该几何体的体积．
故选：C．
8. 用3个1，2个2组成一个5位数，这些5位数中，2个2相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出基本事件总数，再求出2个2相邻包含的基本事件个数，由此能求出2个2相邻的概率.
【详解】用3个1，2个2组成一个5位数，基本事件总数，
2个2相邻包含的基本事件个数，
∴2个2相邻的概率为.
故选：C.
9. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度.
【详解】在中，则,
因为，
且，
则，
在中，则.
故选：B.
10. 设，，，则的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上为单调递减函数，结合，即可求解.
【详解】由，且，
构造函数，可得，
当时，，单调递减，
又由，故，即.
选选：C.
11. 已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A. 6 B. 10 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，连接,则,取的中点，连接，延长交于，连接交于点，连接，作出截面图形，然后再分别求出各边长，从而得出答案.
【详解】取的中点，连接,则,取的中点，连接，则
所以, 则直线平面
延长交于，连接交于点，连接,则为的中点.
则平面截该正方体所得的截面图形为
由条件可得,则, 则
,
取 的中点，连接，则，所以
所以,则
则
所以截面图形周长为
故选：D
12. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为，所以∽，设，则，设，则，．由角平分线的性质可得，由双曲线的定义可得，，再结合余弦定理可得，从而可求解.
【详解】
因为，则，所以∽，
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，，①
又由得，
在中，由余弦定理知，
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把①代入上式得，解得．
故选：A．
二、填空题:本题共4小题;每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由具体函数的定义域求解即可.
【详解】函数的定义域满足：，
解得且.
故答案为：.
14. 某产品广告费投入与销售额的统计数据如下表所示:
广告费万元万元 4 2 3 5
销售额万元万元 49 26 M 54
已知回归方程为，则此表中的值为_____________.
【答案】39
【解析】
【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，再利用回归直线的性质列式计算即得.
详解】依题意，，
又，则，解得，
所以表中的值为39.
故答案为：39
15. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先由题意可知，得到，再由整体法得到单调减区间为，显然是其子集，由此可得，检验的值易得，得解.
【详解】由题意可得函数的最小正周期,
∴，
∵函数最小正周期为，单调减区间为，
又，
由，
得，
∴函数的单调减区间为．
∵函数在区间上单调递减，
∴，
∴，解得．
当时，，不合题意；当时，，符合题意；当时，，显然矛盾，不合题意.
∴实数的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】解答本题时要注意以下两点：
（1）函数的周期是函数周期的一半，即；
（2）由函数在区间上单调递减可得，是函数单调减区间的子集，由此可得到关于的不等式，对不等式中的进行适当的赋值可得结果．
16. 已知是定义域为的函数的导函数，曲线关于对称，且满足，则______；______.
【答案】 ①. ； ②. ##-0.5
【解析】
【分析】构造函数，根据已知条件判断奇偶性和周期性，从而求得，进而去求；再结合的周期性，从而求得.
【详解】因为曲线关于对称，
所以曲线关于坐标原点对称，即函数为奇函数.
又因为，所以，，所以.
因为，整理得，
令，则函数为上的可导奇函数，，且.
又，所以，
所以函数的图象关于直线对称，且12为函数的一个周期，
所以，
则.
因为，所以，
所以，所以.
又，所以，所以函数也是以12为周期的周期函数.
因为，所以，
所以.
因为，所以，即，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性和周期性；处理问题的关键一是构造函数；二是能够数量掌握函数奇偶性和周期性的判断方法；三是准确的进行求导；属综合困难题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步 .第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式
（2）设，记数列的前项和为，证明．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和，即可证明．
【小问1详解】
由，
当时，则，
可得，则；
当时，则，可得；
综上所述：可得，可知是首项为，公比为的等比数列，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）可知：，
可得．
所以．
18. 某校举行的“青年歌手大选整”吸引了众多有才华的学生参赛，为了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题:
频率分布表
组别 分组 频数 频率
第1组 8 0.16
第2组
第3组 20 0.40
第4组 0.08
第5组 3 b
合计
（1）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晩会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;
（2）估计这50名学生成绩的众数、中位数、平均数.
【答案】（1）
（2）众数为，中位数为，平均数为
【解析】
【分析】（1）先将频率分布表补全，再分别求出和两个区间的人数，再利用古典概型求解即可；
（2）根据频率分布直方图计算众数、中位数、平均数即可.
【小问1详解】
，
的频数为，
故的频数为，频率为，
故所求概率为；
【小问2详解】
由直方图可知，众数为，
从左到右累计人数有名，故中位数在组，
故中位数为，
平均数为.
19. 在矩形ABCD中，.点E，F分别在AB，CD上，且.沿EF将四边形翻折至四边形，点平面.
（1）四点是否共面？给出结论，并给予证明；
（2）在翻折过程中，若平面平面，求此时三棱锥的体积.
【答案】（1）共面，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）四点共面，将四边形沿翻折化为沿翻折即可得结论.
（2）在平面内作交于，根据面面垂直的性质得到⊥平面，再过点作交于，即可求出线段的长度，最后根据计算可得．
【小问1详解】
四点共面，证明如下：
在矩形中，由，得的延长线交于点，且，如图，
因此将四边形沿翻折，等价于将沿翻折，
则沿EF将四边形翻折至四边形的过程中，
的延长线与的延长线的交点始终为点，
从而直线与直线相交于点，
所以四点共面.
【小问2详解】
在平面内，令点在上的射影为，则，
由平面平面，平面平面，平面，
得⊥平面，则即点到平面的距离，
在梯形中，过点作交于，则，
则，，
在中，
所以三棱锥的体积为
.
20. 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
【详解】试题分析：（1）设拋物线的方程为，利用点到直线的距离,求出,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线的方程；（3）由拋物线定义可知，联立直线与抛物线方程,消去,得到一个关于的一元二次方程,由韦达定理求得的值,还有,将表示成的二次函数的形式,再求出最值.
试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线的方程为，由结合，
解得，所以拋物线的方程为.
（2）拋物线的方程为，即，求导得，
设(其中)则切线的斜率分别为，
所以切线的方程为，即，即，
同理可得切线的方程为，
因为切线均过点，所以 ，，
所以为方程的两组解，
所以直线的方程为.
（3）由拋物线定义可知，
联立方程，消去整理得.
由一元二次方程根与系数的关系可得，
所以
又点在直线上，所以，
所以，
所以当时，取得最小值,且取得最小值为.
考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.
【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线的方程,得出直线的方程;第三问先用抛物线定义把的值表示出来,联立直线与抛物线方程,得到的值, 将表示成的二次函数的形式,再求出最值.
21. 已知函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若有2个零点，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，确定函数单调性，根据单调性可得最值；
（2）将代入原函数后做差变形，得到，令，然后构造函数，证明不等式成立.
【小问1详解】
当，函数，
则，
可知当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则当时，取得极小值，也即为最小值，
所以的最小值为；
【小问2详解】
由已知，是的两个零点，
则，，
两式相减，得，
整理得，
欲证明，
只需证明不等式，
即证明，也即证明，
不妨设，令，则，
只需证明，即证明即可，
令，则，
又令，则，
所以，当时，，即单调递减，则，
故当时，单调递增，则，
所以，原不等式成立，故不等式得证．
【点睛】方法点睛：对于双变量问题，我们可以尽量构造等式进行消元，转化为单变量问题，如果在变形过程中产生，可以令达到消元的目的.
选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 如图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，在极坐标系中，其极坐标方程为．
（1）若射线与相交于异于极点的点，求；
（2）若为上的两点，且，求面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）联立曲线与射线极坐标方程可得答案；
（2）设,,，由题结合可得及表达式，后利用二倍角公式可得答案．
【小问1详解】
联立曲线与射线极坐标方程可得:,
即.
【小问2详解】
设,,,
由题结合,可得,.
则
，
当,即时,最大值为，
所以面积的最大值为.
[选修4-5:不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）若存在，使得，求实数的取值范围；
（2）令的最小值为．若正实数，，满足，求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由绝对值定义分类讨论去绝对值符号化为分段函数，由函数性质得最小值，再解相应不等式可得；
（2）由柯西不等式证明．
【小问1详解】
，
所以在上递减，在上递增，
所以，
，解得；
【小问2详解】
由（1）得，，
所以，
当且仅当时等号成立．四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟（三）
文科数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，座位号和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ）
A B. 2 C. D. 4
3. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知为锐角，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 正方形的边长为2，E是的中点，F是的中点，则（ ）
A. 4 B. 3 C. D.
6. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A. B. C. D.
8. 用3个1，2个2组成一个5位数，这些5位数中，2个2相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A. B.
C. D.
10. 设，，，则的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A. 6 B. 10 C. D.
12. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题;每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为______.
14. 某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示:
广告费万元万元 4 2 3 5
销售额万元万元 49 26 M 54
已知回归方程为，则此表中的值为_____________.
15. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________.
16. 已知是定义域为的函数的导函数，曲线关于对称，且满足，则______；______.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步 .第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式
（2）设，记数列的前项和为，证明．
18. 某校举行的“青年歌手大选整”吸引了众多有才华的学生参赛，为了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题:
频率分布表
组别 分组 频数 频率
第1组 8 0.16
第2组
第3组 20 0.40
第4组 0.08
第5组 3 b
合计
（1）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晩会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;
（2）估计这50名学生成绩的众数、中位数、平均数.
19. 在矩形ABCD中，.点E，F分别在AB，CD上，且.沿EF将四边形翻折至四边形，点平面.
（1）四点是否共面？给出结论，并给予证明；
（2）在翻折过程中，若平面平面，求此时三棱锥的体积.
20. 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．
21 已知函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若有2个零点，证明：．
选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 如图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，在极坐标系中，其极坐标方程为．
（1）若射线与相交于异于极点点，求；
（2）若为上的两点，且，求面积的最大值．
[选修4-5:不等式选讲]
23 已知函数．
（1）若存在，使得，求实数取值范围；
（2）令的最小值为．若正实数，，满足，求证：．
