长春博硕学校
2023-2024学年第二学期九年级第二次检测
数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1.下列各数中，正整数是（ ）
A.3 B.2.1 C.0 D.-2
2.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B.
C. D.
4.实数在数轴上对应点的位置如图所示.若实数b满足，，则b的值可以是（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.3
5.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何.”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行.问人与车各有多少.设共有x人，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆AB，，，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（ ）
A. B.
C. D.
7.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.（1）～
（3）是其作图过程.
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
8.如图，O是坐标原点，点B位于第一象限，轴于点D，，，C为OB的中点，连接CD，过点B作交x轴于点A.若反比例函数的圆象经过OB的中点C，与线段AB交于点E，则AE的长为（ ）
A.0.45 B. C.0.75 D.
二、填空题（每题3分，共18分）
9.因式分解：_____________.
10.请填写一个常数，使得关于x的方程___________=0有两个不相等的实数根.
11.如图，，.若∠1=108°，则∠2的度数为_________.
12.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角a为60°.若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为_________.
13.如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边，则四边形的周长为___________.
14.在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为.若对于，，都有，则的取值范围____________.
三、解答题（共78分）
15.（6分）先化简，再求值：，其中.
16.（6分）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动.根据活动要求，每班需要2名宣传员.某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员.
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是___________事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率.
17.（6分）阅读，正如一束阳光.孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.求乙同学的速度.
18.（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点D作于点E，延长CB到点F，使，连接AF，OE.
（1）求证：四边形ADEF是矩形；
（2）若，，则的长度为_________.
19.（7分）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息.
信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、；B、；C、；D、；E、；F、）.
信息二：排球垫球成绩在D、这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
分组
人数 2 10 9 6 2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：
学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6
排球垫球 26 25 23 22 22 15
掷实心球 ▲ 7.8 7.8 ▲ 8.8 9.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_____________；
（2）下列结论正确的是____________；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数.
20.（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹.
（1）在图①中以AB为边画一个面积为3的等腰三角形ABC；
（2）在图②中以AB为边画一个面积为3的钝角三角形ABD；
（3）在图③中在线段CD上找一点E，画一个面积为4的.
21.（8分）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系.请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/km 1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为__________km/min
③当时，求张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少 （直接写出结果即可）
22.（9分）
背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知AD是的角平分线，可证.小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：如图2，过点B作，交AD的延长线于点E，从而证得.
证明：（1）请参照小红提供的思路，利用图2证明：；
运用：（2）如图3，AD是的角平分线，M是BC边的中点，过M点作，交BA的延长线于点N，交AC于点G.若，，直接写出线段AN的长；
拓展：（3）如图4，是的外接圆，AB是直径，点D是半圆AB的中点，连接CD交AB于点E.若，，直接写出线段DE的长.
23.（10分）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段CP的中点，点H在PQ下方，，，设点P运动的时间为t（秒）.
（1）当点P在边AC上运动时，
①线段PQ的长为______________.（用含t的代数式表示）
②若与重叠部分为轴对称图形，求1的值.
（2）当点H落在边AB上时，求HB的长.
（3）取边QH的中点E，边BC的中点F，连接EF，当时，直接写出t的值.
24.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）的对称轴为直线，且函数的最大值为4，点P在该抛物线上，它的横坐标为m，设点Q坐标为.过点P作直线轴于点N，以PN和PQ为一组邻边构造平行四边形PQMN.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若平行四边形POMN是矩形，求m的值；
（3）当抛物线的对称轴分平行四边形PQMN的面积为1：2的两部分时，求m的值；
（4）若抛物线在四边形PQMN内部y随着x的增大而减小，直接写出m的取值范围.
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数学试卷答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 10.（答案不唯一） 11.36 12. 13.16 14.
三、解答题（共78分）
15.解：，
当时，原式=-4-1=-5.
16.解：（1）由题意可得，
“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件，
故答案为；随机
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共有12种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有2种，
∴甲、丁同学都被选为宣传员的概率为：.
17.解：设乙同学的速度是x米/分，则甲同学的速度是米/分，
由题意得：，
解得
经检验：是原分式方程的解，且符合题意
答：乙同学的速度是米/分.
18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，∴，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵，∴，
∴四边形AFED是矩形；
（2）解：∵四边形ADEF是矩形，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴，
∵，，
∴，∴，
∵菱形ABCD的面积，
即，
∴.
19.解：（1），
故答案为：11；
（2）由条形统计图可得，排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比：，①错误.
掷实心球成绩的中位数记为n，则，②正确.
若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀.
理由：如果学生3的掷实心球的成绩未到达优秀，那么只有学生1、4、5、6有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，③正确.故答案为：②③；
（2）∵排球垫球成绩达到22个及以上的人数：10人，
∴全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是：，
答：估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是有75人.
20.
21.解：（1）①由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10=0.12（km/min），
∴当张强离开宿舍1min时，张强离宿舍的距离为0.12×1=0.12（km）；
当张强离开宿舍20min时，张强离宿舍的距离为1.2km；
当张强离开宿60min时，张强离宿舍的距离为0.6km；
张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/km 0.12 1.2 1.2 0.6
故答案为：0.12，1.2；0.6；
②由图象知，张强从体育场到文具店的速度为
故答案为：0.06；
③张强从文具店到宿舍时的速度为；
∴当时，；
综上，y关于x的函数解析式为；
（2）根据题意，当张强离开体育场15min时，张强到达文具店并停留了5min，
设李明从体育场出发x分钟后与张强相遇，
则，
解得，
∴1.2-0.06×15=0.3（km），
∴离宿舍的距离是0.3km.
22.解：（1）证明：如图1中，过点B作交AD延长线于点E.
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）解：∵AD是的角平分线，
∴，∴，
∵M为BC的中点，∴，
∴，∴，
∵，∴，，，
∵AD平分，∴，∴，∴，
∵，∴；
（3）解：连接OD，
∵AB是直径，∴，
∵，，∴，
∵点D是半圆AB的中点，∴，
∴，∴，，
∴，∴.
23.解：（1）①∵，Q为CP中点，
∴.
故答案为：.
②HQ交AB于点K，
若与重叠部分为轴对称图形，，
∵，，∴，
即，
由①得，∴，
由勾股定理得，
∴，
即，∴，
当时，，
解得.
（2）当时，若点H落在边AB上，
，
∴，，
即.
解得.
所以.
当，若点H落在边AB上，
∵，
∴为等腰三角形，点P为BQ中点，
又∵Q为CP中点，∴，
即.
解得.
所以.
综上所述，或.
（3）如图，点P在AC上时，作，，
∵E为QH中点，，∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，∴，
且，
∵，∴，
∴，
∴，
∵F为BC中点，∴，
∴，∴，∴，
解得.
当点P在BC上时，连接PE，
∵E为QH中点，∴，∴，
∴，
∴点P与点F重合时满足题意，
即，
解得，
综上所述，或.
24.（1）
（2）
（3）或
（4）或
