2024年嘉兴市初中学业水平考试模拟卷A
数学
考生须知：
本试卷满分120分，考试时间100分钟。
答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号。
必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明。
如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。
考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。
试题卷
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．9的算术平方根是（ ）
A． B．81 C． D．3
2．如图是四个相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体从正面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
3．某校为响应国家号召，将学生睡眠状况纳入学生体质健康检测和教育质量评价检测体系，为了解某校八年级500名学生的睡眠情况，从该年级10个班级中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．500名学生是总体 B．10个班级是抽取的一个样本
C．50是样本容量 D．每名学生是个体
4．标志是表明事物特征的识别符号，是企业品牌形象的核心部分．以下4个2023年青岛企业综合100强的企业标志中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为8，则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．19
6．下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形边长为，为等边三角形，连接，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8．若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．亮亮每天都要坚持体育锻炼，某天他跑步到离家较近的体育场，在那里锻炼了一段时间，然后沿着原路散步走回家，下列最符合亮亮离家的距离s与时间t之间的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11． ．
12．分解因式： ．
13．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是 ．
A 冰化成水
B 酒精燃烧
C 牛奶变质
D 衣服晾干
14．如图，是的外接圆，的半径为，，则的长是
15．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两.2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为 ．
16．如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将线段绕点E旋转得到线段，连接，当时，的长为 ．
三、解答题：（本大题有8个小题，共66分）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：，并求其正整数解．
18．小海解方程的过程如下． 请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
解：方程两边同乘，得．……①
去括号，得．……②
移项，得．……③
合并同类项，得．……④
两边同除以，得．……⑤
原方程的解为．……⑥
19．已知：在中，对角线，交于点，为的中点，作，交延长于点，连接，．求证：
(1)；
(2)若，则四边形是怎样的特殊四边形？请证明你的结论．
20．规律探索题：有一系列等式
；
；
；
；
(1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到：______；
(2)试猜想：______；
(3)试说明（2）中猜想的正确性．
21．某大型科技公司最近研发了一款智能学习机器人，该机器人能够根据学生的学习进度和习惯进行个性化的辅导．为了测试这款机器人的辅导效果，该公司抽取了若干名初中生进行了一个学期的试验，试验结束后，该公司将他们的数学成绩的提高情况分为A．成绩提高20分以上；B．成绩提高10~19分；C．成绩提高1~9分；D．成绩没有提高四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图
(1)该公司抽取的初中生人数是______，并将条形统计图补充完整．
(2)若要从等级为A的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加数学竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
22．小强家想在青岛某小区买一套房子，要求每天至少有个小时的满窗日照（图1为满窗日照，图2为非满窗日照），小强先查阅了相关资料，得到如下信息：
信息1：北半球冬至日太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，若这一天的和这个时刻能有满窗日照，则整年每天都至少有个小时的满窗日照；
信息2：如图3，该小区每座楼均为层，每层楼高米且装有落地窗，小区冬至日和的太阳高度角均为．
某日小强到该小区进行实地勘测，他在楼看房时恰好阳光开始射入屋内（太阳光线射在楼窗户的上边缘），此时太阳高度角．
(1)_____米；
(2)小强家要在该小区买房，至少买几楼才能达到要求？
（参考数据：，，，，，）
23．如图，已知抛物线经过两点，直线是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
(2)设点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标；
(3)已知与抛物线相交于点，连接，若，求的值．
24．综合探究
如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由．
(3)求证：是定值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年嘉兴市初中学业水平考试模拟卷A
数学
考生须知：
本试卷满分120分，考试时间100分钟。
答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号。
必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明。
如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。
考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。
试题卷
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．9的算术平方根是（ ）
A． B．81 C． D．3
【答案】D
【详解】解：∵
∴9的算术平方根是3，
故选：D
2．如图是四个相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体从正面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：从正面看，共有两列，左边一列是两个小正方形，右边一列是一个小正方形．
故选：B．
3．某校为响应国家号召，将学生睡眠状况纳入学生体质健康检测和教育质量评价检测体系，为了解某校八年级500名学生的睡眠情况，从该年级10个班级中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．500名学生是总体 B．10个班级是抽取的一个样本
C．50是样本容量 D．每名学生是个体
【答案】C
【详解】解：A、500名学生的睡眠情况是总体，选项错误；
B、抽取的50名学生的睡眠情况是样本，选项错误；
C、50是样本容量，选项正确；
D、每名学生的睡眠情况是个体；选项错误；
故选：C．
4．标志是表明事物特征的识别符号，是企业品牌形象的核心部分．以下4个2023年青岛企业综合100强的企业标志中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
5．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为8，则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．19
【答案】C
【详解】解：与是位似图形，且位似中心为，，
，
，
，
．
故选：C．
6．下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、由可知，故不符合题意；
B、，故符合题意；
C、由可知，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选B．
7．如图，正方形边长为，为等边三角形，连接，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点作于点，延长交于点，则：，
四边形是正方形，
，，
为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故选：B．
8．若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，；
又，
；
故选：C．
9．如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，，
∴一定正确的是，
故选：．
10．亮亮每天都要坚持体育锻炼，某天他跑步到离家较近的体育场，在那里锻炼了一段时间，然后沿着原路散步走回家，下列最符合亮亮离家的距离s与时间t之间的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到离家较近的体育场，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：在那里锻炼了一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故A错误；
第三阶段：沿着原路散步走回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故D错误，并且这段的速度小于第一阶段的速度，则B错误．
故选：C．
二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11． ．
【答案】4
【详解】解：，
故答案为：4．
12．分解因式： ．
【答案】
【详解】解：
，
故答案为：．
13．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是 ．
A 冰化成水
B 酒精燃烧
C 牛奶变质
D 衣服晾干
【答案】
【详解】解：物理变化的卡片有A和D，则画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：，，共2种，
所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为．
故答案为：．
14．如图，是的外接圆，的半径为，，则的长是
【答案】4
【详解】解：连接，
∵，
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
故答案为：
15．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两.2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为 ．
【答案】
【详解】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两，，
由题意可得，，
故答案为：．
16．如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将线段绕点E旋转得到线段，连接，当时，的长为 ．
【答案】或
【详解】∵正方形的边长为2，点E是边BC的中点，
∴．
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得．
由旋转的性质，可知，
∴．
由题意，可知需分以下两种情况讨论．
①当点F在右侧时，
过点F作交的延长线于点G，如图所示，
，
．
∴．
∵，，
∴．
∴，．
∴．
∴在中，由勾股定理，得．
②当点F在左侧时，
过点F作交的延长线于点H，如图所示．
同①，可知．
∴，．
∴．
∴在中，由勾股定理，得．
综上所述，当时，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题：（本大题有8个小题，共66分）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：，并求其正整数解．
【答案】（1）（2），
【详解】解：（1）原式
；
（2），
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：；
∴不等式组的正整数解为：．
18．小海解方程的过程如下． 请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
解：方程两边同乘，得．……①
去括号，得．……②
移项，得．……③
合并同类项，得．……④
两边同除以，得．……⑤
原方程的解为．……⑥
【答案】见解析
【详解】解：小海的解法有三处错误：步骤①去分母有误：步骤②去括号有误；步骤⑥少检验
正确解法如下：
方程两边同乘，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
经检验，是分式方程的解．
19．已知：在中，对角线，交于点，为的中点，作，交延长于点，连接，．求证：
(1)；
(2)若，则四边形是怎样的特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】(1)见解析(2)四边形是是菱形，证明见解析
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
∴；
（2）四边形是是菱形，
证明：连接，由（1）可得
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
又
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
20．规律探索题：有一系列等式
；
；
；
；
(1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到：______；
(2)试猜想：______；
(3)试说明（2）中猜想的正确性．
【答案】(1)(2)猜想：(3)证明见解析
【详解】（1）解：∵；
；
；
∴
．
故答案为：11881；
（2）猜想：．
故答案为：；
（3）证明：
．
21．某大型科技公司最近研发了一款智能学习机器人，该机器人能够根据学生的学习进度和习惯进行个性化的辅导．为了测试这款机器人的辅导效果，该公司抽取了若干名初中生进行了一个学期的试验，试验结束后，该公司将他们的数学成绩的提高情况分为A．成绩提高20分以上；B．成绩提高10~19分；C．成绩提高1~9分；D．成绩没有提高四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图
(1)该公司抽取的初中生人数是______，并将条形统计图补充完整．
(2)若要从等级为A的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加数学竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】(1)40，图见解析(2)
【详解】（1）解：该公司抽取的初中生人数是（人）．
故答案为：40人．
C等级的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，
．
22．小强家想在青岛某小区买一套房子，要求每天至少有个小时的满窗日照（图1为满窗日照，图2为非满窗日照），小强先查阅了相关资料，得到如下信息：
信息1：北半球冬至日太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，若这一天的和这个时刻能有满窗日照，则整年每天都至少有个小时的满窗日照；
信息2：如图3，该小区每座楼均为层，每层楼高米且装有落地窗，小区冬至日和的太阳高度角均为．
某日小强到该小区进行实地勘测，他在楼看房时恰好阳光开始射入屋内（太阳光线射在楼窗户的上边缘），此时太阳高度角．
(1)_____米；
(2)小强家要在该小区买房，至少买几楼才能达到要求？
（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)(2)至少买楼才能达到要求
【详解】（1）解：该小区每座楼均为层，每层楼高米且装有落地窗，
（米），（米），
（米），
故答案为：；
（2），，
（米），
（米），
，
（米），
（楼），
至少买楼才能达到要求．
23．如图，已知抛物线经过两点，直线是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
(2)设点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标；
(3)已知与抛物线相交于点，连接，若，求的值．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为顶点的坐标为(2)(3)
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
抛物线的函数解析式为，
，
顶点的坐标为；
（2）解：设，则，
当时，，
解得，
；
（3）解：延长交轴于，
设，在中，，
即，
解得，
，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
的解析式为，
联立，
解得（舍去），，
，
．
24．综合探究
如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由．
(3)求证：是定值．
【答案】(1)见解析；(2)存在，1；(3)见解析．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点．
，
，
四边形是矩形，
．
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：存在，线段的长度不变．
∵点A是上的点，
在矩形中，．
，
．
（3）解：如图，过点作于点．
设，则．
由，得，
．
，
，
，
是定值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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