天津市八校2023-2024学年高三下学期联合模拟考试数学试题（二）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（本卷共9题，共45分）
参考公式：三棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高.
如果事件互斥，那么.
如果事件相互独立，那么.
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合,,，则（ ）.
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，则的大小关系为（ ）.
A． B． C． D．
4．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）.
A． B． C． D．
5．已知数列为不单调的等比数列，，数列满足，则数列的最大项为（ ）.
A． B． C． D．
6．有人通过调查统计发现，儿子成年时的身高与父亲的身高呈线性相关，且儿子成年时的身高（单位：）与父亲的身高（单位：）的经验回归方程为，根据以上信息，下列判断正确的为（ ）.
A．儿子成年时的身高与父亲的身高的样本相关系数
B．父亲的身高为，儿子成年时的身高一定在到之间
C．父亲的身高每增加，儿子成年时的身高平均增加
D．儿子在成年时的身高一般会比父亲高
7．已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（ ）.
A． B． C． D．
8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）.
A．是最小正周期为的偶函数 B．点是的对称中心
C．在区间上的最大值为 D．在区间上单调递减
9．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）.
A．2 B． C． D．3
第Ⅱ卷（本卷共11小题，共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．为虚数单位，则 .
11．在的展开式中，的系数为 .
12．已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 .
13．两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为 ；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为 .
14．在四边形中，为中点. 记，用表示 ；若，则的最大值为 .
15．设，函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 .
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分14分）
在锐角中，角的对边分别为. 已知的面积为3.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值.
17．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，,,为的中点，点分别在棱和棱上，且,.
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
18．（本小题满分15分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，点的坐标为，且线段的长是长轴长的.
（Ⅰ）求椭圆的离心率;
（Ⅱ）若直线交椭圆于两点（在的上方），过作的垂线交轴于点，若线段延长线上的一个点满足的面积为.
（ⅰ）证明四边形是菱形；
（ⅱ）若，求椭圆的方程.
19．（本小题满分15分）
已知为等差数列，是公比为2的等比数列. ，且.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若
（ⅰ）当为奇数，求；
（ⅱ）求.
20．（本小题满分16分）
已知，
（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）若函数存在极大值，且极大值为1，求证：.
【参考答案】
第Ⅰ卷（本卷共9题，共45分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．A
第Ⅱ卷（本卷共11小题，共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．
11．224
12．2
13．； 0.42
14．；
15．或
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（Ⅰ） 解：,
，又是锐角三角形，
，又,
.
（Ⅱ） ，
.
（Ⅲ） ，
，
，
.
17．（Ⅰ） 证明：取的中点，连接,（图略）则，且且，
四边形为平行四边形，
.
又平面,平面,
平面.
（Ⅱ） 解：直三棱柱中，. 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），
则,,,,
设平面的一个法向量为,
则
即令，得到平面的一个法向量.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
（Ⅲ） 解：,,
点到平面的距离.
18．（Ⅰ） 解：由已知得，得，从而.
（Ⅱ） （ⅰ） 证明：由（Ⅰ）知，得，椭圆方程为,
,
，
故直线的方程为,
令，则,，于是,
,①
直线的方程为,
联立方程组
得,
解得,
在的上方，,,
又，即,②
由①②得，四边形的对角线互相平分，又因为四边形的对角线互相垂直，因此，四边形是菱形.
（ⅱ） 解：由，解得，从而椭圆的方程为.
19．（Ⅰ） 解：设数列的公差为的公比为,
由，得,
.
（Ⅱ） （ⅰ） 为奇数，为偶数.
.
（ⅱ） 令.
,
即，
, .
即,
故,
,
所以，即,
整理得.
20．（Ⅰ） 解：当时，，则，又,切线的斜率所求切线方程为，即.
（Ⅱ） 解：函数的定义域为，
.
①当时，在上单调递增.
②当时，时，,
函数在上单调递增；时，，函数在上单调递减.
③当时，时，函数在上单调递增；
时，函数在上单调递减.
（Ⅲ） 证明：由（Ⅱ）可知，当时，存在极大值，且极大值为,
则，即，整理得，从而，设，则. 令，所以,当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
而，所以的根为. 从而.
因此，即证成立，
也就是证，即证，
也就是证，设，即证.
设,
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
，即恒成立，
恒成立.
