河源中学 2023-2024 学年第二学期高一年级第一次教学质量检测
数学试题
说明：本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。答案须做在答卷上；选择
题填涂须用 2B 铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。
一、选择题。本题共有 8 小题，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的，本题共 40 分，每
小题 5 分。
1．下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③若向量a与b 不共线，则 a与b 都是非零向量；
a b a
④若 ，则 b．
A．0 B．1 C．2 D．3
π
2．已知单位向量 a,b的夹角为 ，则 5a 6b （ ）
3
A．9 B． 91 C．10 D．3 10
3．已知 p：向量 a 1,1 与b m, 2 的夹角为锐角．若 p是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． 2,2 B． , 2 2,2
C． 2 2, D． 2,
4．如图，A 、B 、C 三点在半径为 1 的圆 O 上运动，且 AC BC，M 是圆 O 外一点，OM 2，
则 MA MB 2MC 的最大值是（ ）
A．5
B．8
C．10
D．12
5．如图，在 ABC中，D为 AB的中点， AB 4，CD 3， EF 是圆心为 C、半径为 1的圆的动直
径，则 BE AF的取值范围是（ ）
第 1页，共 4页，数学试卷
{#{QQABRQaUggCIAIIAARhCAQEyCkMQkACCAAoOxEAMMAABiQNABAA=}#}
A． 2,5
B． 1,7
C． 0,8
D． 1,9
π 1 π6 ．已知 cos ，则 sin 2 6 4 6
（ ）
7 7A B C 3
3
． ． ． 8 D． 8 8 8
2
7．在 ABC中，若 AC AB AB ，则此三角形为（ ）
A．直角（非等腰）三角形 B．钝角三角形
C．锐角（非等腰）三角形 D．等腰三角形
8．平面内互不重合的点 A1、A2、A3、B1、B2、B3、B4，若 A1Bi A2Bi A3Bi i，其中 i 1，2，3，
4，则 B1B2 B2B3 B3B4 的取值范围为（ ）
4 , 8 4 ,16A B C
4 ,10 ． ． ． D． 1,5 3 3 3 3 3 3
二、选择题。本题共有 3 小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得
6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。本题共 18 分，每小题 6 分。
9．关于函数 f x 2sin x cos x 2 3 cos2 x，下列说法正确的是（ ）
π
A．最小正周期为 2π B．关于点 , 3
中心对称
6
5π π
C．最大值为 3 2 D．在区间 , 上单调递减 12 12
π π
10．已知 f (x) sin x 3 cos x 0 , 在区间 上单调递增，则 的取值可能在（ ） 6 4
A 0,
2 2 26 50B ． ． , 73 3
C． 7, D． ,19
3 3
11．点O是 ABC的外心，则下列选项正确的是（ ）
A．若 AB 2，则 AB AO 2
BA BC
B．若 BD 且 BD BA 1 BC , R ，则
AD DC
BA BC
C．若 2BO BA BC，则 B为 ABC的垂心
π
D．若 B ，
3 OB mOA nOC
，则m n的取值范围为 2,1
第 2页，共 4页，数学试卷
{#{QQABRQaUggCIAIIAARhCAQEyCkMQkACCAAoOxEAMMAABiQNABAA=}#}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知 a 3, 4 ，b 1,2 ，则 a在b的方向上的投影向量是 ．(结果写坐标)
13．如图，正方形 ABCD的边长为1,P,Q分别为
边 AB,DA上的点.当△APQ的周长为 2时，
则 PCQ的大小为 .
a11 a12 a13 a18
a a a
14 f (x)
x
log x 8 8 21 22 23
a28 i
．已知函数 2 ，在 行 列的矩阵
中，
a f ( )
1 x i j j
a a a a 81 82 83 88
（1 i 8,1 j 8且 i, j N ），则这个矩阵中所有数之和为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知 a 1,0 ，b 2,1 .
(1)若 AB 2a b，BC a mb且A、 B、C三点共线，求m的值.
(2)当实数 k为何值时， k a b 与 a 2b垂直？
16．（15分）如图，数轴 x, y的交点为O，夹角为 ，与 x轴、 y轴正向同向的单位向量分别是e1,e2 .
由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量OP，存在唯一的有序实数对 x, y ，使得OP xe1 ye2 ，
我们把 x, y 叫做点 P在斜坐标系 xOy中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系 xOy中的坐标)．
(1)若 90 ，OP为单位向量，且OP与 e1 的夹角为120 ，求点 P的坐标；
(2)若 45 ，点 P的坐标为 (1, 2)，求向量OP与e1 的夹角的余弦值．
第 3页，共 4页，数学试卷
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17．（15分）已知函数 f x (sinx cosx) 2 2 3sin 2x 3 ．
(1)求函数 f x 的最小正周期；
π π
(2)若 x , ，求 y f x 的最值及取最值时 x的值； 4 4
π
(3) 若函数 y f x m在 x 0, 2 内有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
18．（17分）如图，ABCD是一块边长为 100m的正方形地皮，其中 AST是半径为 90m的扇形小山，
其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P在 ST上，相邻两
边 CQ，CR正好落在正方形的边 BC，CD上，求矩形停车场 PQCR面积的最大值和最小值．
1
19．（17分）已知向量 a cosx， 1 ，b 3sinx，1 ，函数f x a b a .2
（1）求函数 f（x）的单调增区间.
2
（2）若方程3 f x f x m 0在x 0， 上有解，求实数 m的取值范围. 2
g x f x 1（3）设 ，已知区间[a，b]（a，b∈R且 a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少
12 2
含有 100个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中求 b﹣a的最小值.
第 4页，共 4页，数学试卷
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高一第一次段考数学参考答案：
1．B
【详解】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；②错，0的模等于 0；③正确，
根据零向量与任何向量共线可以判断正确；④错，向量不能比较大小．
2．B
2 2 2
【详解】由题意可得 5a 6b 25 a 60a b
π
36 b 61 60 1 1 cos 91，
3
故 5a 6b 91 .
3．C
【详解】当向量向量a 1,1 与b m, 2 的夹角为锐角时，
m 2 0
有 a b 0且 a与b方向不相同，即 m 2 ，解得
m 2且m 2，
因为 p是假命题，所以实数m的取值范围是 2 2, .
4．C
【详解】连接 AB，如图所示：
因为 AC BC ，则 AB为圆 O 的一条直径，故 O 为 AB的中点，
所以MA MB (MO OA) (MO OB ) 2MO ，
所以 |MA MB 2MC | | 2MO 2(MO OC) | | 4MO 2OC | 4 |MO | 2 |OC | 4 2 2 1 10 .
当且仅当 M 、O 、C 共线且 MO 、OC 同向时，等号成立，
因此， MA MB 2MC 的最大值为10 .
5．C
2
【详解】 BE AF BC CE AC CE BC AC CE AC BC CE
2
BC AC CE AB CE ，
又BC AC BD DC AD DC AD DC AD DC 2 2 DC AD 9 4 5，
2 且CE 1，所以 BE AF 5 CE AB 1 CE AB 4．
设CE与 AB的夹角为 [0, π]，则 BE AF CE AB cos 4 4cos 4 ．
因为 cos 1,1 ，所以 BE AF [0,8]．
答案第 1页，共 7页
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6．A
π π 1
【详解】设 t，则 t , cost ,sin 2
π
sin 2
t π π
sin
2t
π
6 6 4 6 6 6 2
2
cos2t 2cos 2t 1 2 1 7 1 .
4 8
7．B
uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuuruuur
【详解】 AB | AB |2，则 AC AB | AB |2 AC AB AB AB (AC AB) AB BC 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
而 AB BC | AB || BC | cos( ABC) | AB || BC | cos ABC 0，
在 ABC中， cos ABC 0，即 ABC为钝角，所以此三角形是钝角三角形．
8．D
【详解】设G为△A1A2A3的重心，
则 1 i 2 i 3 i 1G i A2G GBi A3G GBi 3GBi ， A B A B A B A GB
i
因为 A1Bi A2Bi A3Bi i ，所以 GBi ri，即 Bi在以3
点G
i
为圆心， ri 为半径的圆上面，3
设点G与坐标原点重合，
B 4 1则 1B2 B2B3 B3B4 r4 r1 1，当且仅当 B1,B2 ,B3都在线段OB4 上，等号成立，3 3
1 2 4
又 B1B2 B2B3 B3B4 r1 r2 r2 r3 r3 r4 2 1 2 5，3 3 3
当且仅当 B1,O,B2在线段 B3 ,B4 上面，且 B1在线段OB3上， B2在线段OB4 上，等号成立
综上所述， B1B2 B2B3 B3B4 的取值范围为 1, 5 .
9．BC
【详解】 f x 2sin x cos x 2 3 cos 2x sin 2x 3 cos 2x 1 ， 2sin 2x π 3 ，
3
T 2π函数的最小正周期 π2 ，故 A错误；
f π 2sin
π π π
3 0 3 3
，所以函数 f x 图象关于点 , 3 中心对称，
6 3 3 6
故 B正确；
f x 2sin 2x π
3 ，所以函数的最大值为 2 3，故 C正确；
3
答案第 2页，共 7页
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x 5π , π 2x π π π π π由 ， ,
，函数 y sin x
在区间 , 单调递增，
12 12 3 2 2 2 2
f x 5π π所以函数 在区间 ,
上单调递增，故 D错误. 12 12
10．AC
【详解】 f x sin x 3 cos x 2sin x
π
，
3
x π , π π π π π当 ，由 0，则 x
,
，
6 4 3 6 3 4 3
π
2kπ
π π 5 12k
2 6 3 k Z 则有 ， ，解得 2 ， k Z
π
，
2kπ π π 8k
2 4 3 3
2
即 5 12k 8k ， k Z，
3
2 17
有 5 12k 8k， k Z，即 k ，即 k 0或 k 1，
3 12
当 k 0时，有 0
2 k 1 26 ， 时，有7 ，
3 3
2 26
故 的取值可能在 0, 或 7, 3 3
.
11．ACD
2
【详解】因为 AB AO AB AO cos BAO AB
1 1
AB AB 2 ，故 A正确；
2 2
由BD BA 1 BC , R 可知， A,D,C三点共线，
BD B A
又
B C 可知，点D在 CBA的角平分线上，
BA BC
所以 BD为 ABC的角平分线， AD与 BC不一定相等，故 B错误；
若2BO BA BC，则点O是 AC的中点，又点O是 ABC的外心，
所以 ABC 90 ，即 B为直角顶点，所以 B为垂心，故 C正确；
B π 2因为 ，所以 AOC π，建立如图所示的空间直角坐标系，
3 3
设C r ,0 ， A 1 r ,
3 r ， B r cos , r sin
2
，其中 π,2π ，
2 2 3
r cos m 1
r nr
2 2
因为OB mOA nOC，所以 ，得m sin ,n cos
1
sin ，
3 3
r sin m
3
r
2
答案第 3页，共 7页
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m n cos 3 sin 2sin π 2 ， π,2π
6 3
，
π 5则 π,
13π π 1 ，则 sin 1, ，所以m n 2,1 ，故 D正确；6 6 6 6 2
12． 1, 2
【详解】因为 a 3, 4 ，b 1,2 ，
a b b 3 1 4 2
所以 a在b的方向上的投影向量是 b b 1, 2 ，
| b | | b | 1+4 1+4
π
13．
4
【详解】设 PCB , QCD ，则 PB tan ,DQ tan ，
则 AP 1 tan , AQ 1 tan ， PQ (1 tan )2 (1 tan )2 ，
2 1 tan 1 tan (1 tan )2 (1 tan )2
即 tan tan (1 tan )2 (1 tan )2 ，
将上式两边平方，整理得 tan tan 1 tan tan ，即 tan( ) 1，
π
因为
0, π π ，所以 ，所以 PCQ .
2 4 4
14．32
1
【详解】对任意的 x 0，有 f x f 1 x log x
1
2
x log2 1，
x 1 x 1 1 x
x
i j
则对任意的1 i, j 8 i j ： f f 1j i ，
据此可得：这个矩阵中所有数之和为 8×4=32.
15．（13分）【详解】
（1）由题意可得， AB 4, 1 ,BC 2m 1,m ，………………2分
且A、 B、C三点共线，则可得 AB//BC， ………………3分
即 4m 2m 1 1 0，………………5分
1
解得m ；………………6分
2
答案第 4页，共 7页
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（2）由题意可得， ka b k 2, 1 ,a 2b 3,2 ，………………9分
因为 ka b 与 a 2b 垂直，则可得3( k 2) 2 ( 1) 0 ,………………11分
解得 k
8
.………………13分
3
16．（15分）【详解】(1) 90 时，坐标系 xOy为平面直角坐标系，、
设点 P(x,y)，则有OP (x, y)，而 e1 (1,0)，OP e1 x，………………1分
又OP e1 |OP | |e | cos120
1
1 ，………………3分2
1
所以 x ，………………4分
2
又因 |OP | x 2 y 2 1，………………5分
3
解得 y ，………………6分
2
故点 P ( 1 3的坐标是 , )；………………7分
2 2
(2)依题意 e1,e2 夹角为 45 ， e1 e2 |e1 | |e2 | cos 45
2 ，………………8分
2
OP e1 2 e2 ，
2
|OP | | e 2 e | (e 2 e )2
2
1 2 1 2 e1 2 2e1 e2 2e 5，………………10分2
OP e1 |OP | |e1 | cos 5 cos ，………………11分
2
OP e1 (e1 2 e2 ) e1 e1 2 e2 e1 2 ，………………13分
所以 5 cos ＝2， cos 2 5 ………………15分
5
17．（15分）【详解】（1）
f x 1 2sinxcosx 2 3 1 cos2x π 3 sin2x 3cos2x 1 2sin
2x
1 ，……3分
2 3
故函数 f x 的最小正周期为T 2π π| 2 | ．………………4分
π
（2）由（1）知 f x 2sin 2x
1，
3
x π , π 2x π π 5π因为 ，所以 ,
4 4 3 6 6
，………………5分
π
令 t 2x ，则 y sint，
3
函数 y sint
π π
, π 5π 在区间 上单调递增，在区间 , 上单调递减，………………6分 6 2 2 6
答案第 5页，共 7页
{#{QQABRQaUggCIAIIAARhCAQEyCkMQkACCAAoOxEAMMAABiQNABAA=}#}
t π
π π
所以 ，即 x
π
时，函数 f x 2sin 2x 1有最小值，最小值为 f 0．6 4 3 4
t π π
π π
当 ，即 x
，函数 f x 2sin 2x 1有最大值，最大值为 f 3．2 12 3 12
x π综上 ,
π
, y f x
π π
的最小值为 0，此时 x ；最大值为 3，此时 x ．…10分
4 4 4 12
（3）因为函数 y f x m在 x π 0,
2
内有且只有一个零点，
f x m 0 x π 所以 在 0, 2 只有一个实根，
即 2sin
2x π 1 m 0 ，即 sin
2x π m 1 ，
3 3 2
π π m 1
即函数 y sin 2x 在 x 0, 2 的图象在与直线 y 只有一个交点，……………12分 3 2
x 0, π
π π 4π
当 时， 2x , ，………………13分 2 3 3 3
π
令u
2x ，则 y sinu
π , 4π y m 1在区间 的图象与直线 只有一个交点时， 3 3 3 2
m 1 3
即 ,
3
1 ，解得m 1 3,1 3 3 ．………………15分2 2 2
π
18．（17分）【详解】如图，连接 AP，设 PAB 0 ，……………………1分
2
延长 RP交 AB于 M，
则 AM 90cos ，MP 90sin .……………………………3分
所以 PQ MB 100 90cos ， PR MR MP 100 90sin .………………5分
所以 S矩形PQCR PQ PR 100 90cos 100 90sin
10000 9000 sin cos 8100sin cos ，………………7分
π
令 t
sin cos 2 sin 4 1 t 2 ，………………9分
2
则 sin cos t 1 .………………11分
2
t 2 1 8100 10
2
所以 S
矩形PQCR 10000 9000t 8100 t 950 .………………13分2 2 9
10
故当 t 时， S
9 矩形PQCR
有最小值950m2；………………15分
当 t 2 时， S矩形PQCR有最大值 14050 9000 2 m2 .………………17分
答案第 6页，共 7页
{#{QQABRQaUggCIAIIAARhCAQEyCkMQkACCAAoOxEAMMAABiQNABAA=}#}
19．（17分）【详解】（1） a cos x, 1 ,b 3 sin x,1 ，
f x a b 2 a 1 a a b 1 cos2 x 1 3 sin x cos x 1 1 2 2 2
1 cos 2x 3
sin 2x 1 3 sin 2x 1 cos 2x sin 2x
.………………3分2 2 2 2 2 6
2k 2x 令 2k
,k Z，得 k x k
,k Z ，
2 6 2 3 6
函数 f x 的单调递增区间为 k ,k k Z .………………5分 3 6
（2）由（1）知 f x sin 2x
.
6
x 0, , 2x
, 7 , sin 2x 1 ,1 ，即 f x
1
,1
.……………7分
2 6 6 6 6 2 2
t f x t 1 ,1 令 ，则 .………………8分 2
方程3 f
2
x f x
m 0 在 x 0， 上有解，
2
1
即方程m 3t 2 t 在 t ,1 上有解.………………9分 2
1
2
1
又 y 3t 2 t 3 t 在 t
1 ,
1 1
上单调递增，在 t ,1
上单调递减，…10分
6 12 2 6 6
2 y 1 1 ，即 2 m .
12 12
1 实数m的取值范围为 2, .………………11分 12
g x sin 2 （3） x
1 1
sin
2x .………………12分
12 6 2 3 2
g x 0 sin 2x 1, 2x 令 ，得 2k 2x
2k 5 或 ,k Z，
3 2 3 6 3 6
x k x k 或 ,k Z .………………13分
12 4
g x 2 函数 的零点间隔依次为 和 3 .………………14分3
若b a最小，则 a,b均为零点.………………15分
函数 g x 在 a,b a b 上至少含有 100个零点，
b a 50 49 2 148 min .………………17分3 3 3
答案第 7页，共 7页
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