罗定中学城东学校2023-2024学年高二下学期期中考试模拟试题
班别： 姓名： 座号： 成绩：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
2．已知，则被10除所得的余数为（ ）
A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是
3．如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
4．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（ ）
A．16 m，16m B．32m，16m
C．32 m，8m D．16m，8m
5．若(mx－)6的展开式中x3的系数是240，则实数m的值是( )
A．2 B.
C．±2 D．±
6．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
7．“杨辉三角”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”早了300多年，如图是杨辉三角，记an为图中第n行各数之和，则a5＋a11的值为( )
A．528 B．1 020
C．1 038 D．1 040
8．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．已知离散型随机变量的分布列为
1 2 4 6
0.2 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
10．现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
11．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量的分布列如表：
0 1 2
m n
若，则 ．
13．如果展开式中，第4项与第6项的系数相等，则该展开式中，常数项的值是 ．
14．甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知；甲队每场比赛获胜的概率为．比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为 ．
四．解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中的常数项.
16．6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
17．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；
(2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.
18．体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望.
19．已知函数，是自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于的方程 有两个不等实根，求的取值范围；
(1)见解析
(2)
答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率.
【详解】令，得，得
故选：D
2．已知，则被10除所得的余数为（ ）
A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是
【答案】C
【分析】
由题意可得，将其展开式写出后可得，即可得解.
【详解】，
由，
故被10除所得的余数为.
故选：C.
3．如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
【答案】D
【分析】根据题意，结合图形得出从A到B传播路径有4条，写出每条途径传播的最大信息量，再求和，即得答案．
【详解】解：根据题意，结合图形知，
从A到B传播路径有4条，如图所示；
途径①传播的最大信息量为3，途径②传播的最大信息量为4；
途径③传播的最大信息量为6，途径④传播的最大信息量为6；
所以从A向B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为，
故选：D．
4．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（ ）
A．16 m，16m B．32m，16m
C．32 m，8m D．16m，8m
【分析】求出新墙总长度的表达式，利用导数判断其单调性，确定最小值点，即可求得答案.
【详解】如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m，
因此新墙总长度，则，
令，得或(舍去)，
当时，，当时，，
则L在上单调递减，在上单调递增，
∴是L的最小值点，此时，
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.
故选：B
5．若(mx－)6的展开式中x3的系数是240，则实数m的值是( )
A．2 B.
C．±2 D．±
答案 D
解析 (mx－)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝C6k·(mx)6－k·(－)k＝C6k·m6－k·(－2)k·x6－k，
因为(mx－)6的展开式中x3的系数是240，所以当6－k＝3，即k＝2时，C62×m6－2×(－2)2＝240，m＝±.
故选D.
6．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.
【详解】由题意及图得，当时，；当时 ，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，
故选：C.
7．“杨辉三角”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”早了300多年，如图是杨辉三角，记an为图中第n行各数之和，则a5＋a11的值为( )
A．528 B．1 020
C．1 038 D．1 040
【答案】 D
解析 因为a5＝C40＋C41＋C42＋C43＋C44＝24＝16，a11＝C100＋C101＋C102＋…＋C1010＝210＝1 024，∴a5＋a11＝1 040.
故选D.
8．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数，求导，分离参数求最值即可.
【详解】不等式等价于，
令，根据题意对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，单调递减.所以，所以.
故选：C.
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．已知离散型随机变量的分布列为
1 2 4 6
0.2 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
【答案】ABD
【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；
对于B中，若，可得，则，故B正确；
对于C中，由概率的定义知，所以C不正确；
对于D中，由，，则，所以D正确．
故选：ABD.
10．现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
【答案】AB
【分析】根据分类加法计数原理即可判断A；
根据分步乘法计数原理即可判断B；
首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，即可判断C；
根据分步乘法计数原理即可判断D.
【详解】解：对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；
对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；
对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；
对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误．
故选：AB．
11．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可.
【详解】将代入得，解得，A正确；
由二项式定理可知展开式的通项为，
令得，所以，B错误；
将代入得，
即，C正确；
将代入得，
即①，
将代入得，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量的分布列如表：
0 1 2
m n
若，则 ．
【答案】
【详解】，①，
又②，
联立①②得，
所以，
则．
故答案为：．
13．如果展开式中，第4项与第6项的系数相等，则该展开式中，常数项的值是 ．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝＝，其系数为，
若第4项与第6项的系数相等，则有，
则n＝8，
则在其通项中，令8﹣2r＝0，可得r＝4，
则其常数项为第5项，有T5＝＝70，
故答案为70．
14．甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知；甲队每场比赛获胜的概率为．比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为 ．
【答案】
【详解】解：设事件A为“甲队最终获得胜利”，
①比赛进行三场，甲队均胜，；
②比赛进行四场，甲队前三场恰好胜二场，输一场，第四场胜，；
③比赛进行五场，甲队第五场胜，前四场恰好胜二场，输二场，，
则．
故答案为：
四．解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中的常数项.
【答案】(1)1024
(2)180
【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和；
（2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案.
【解析】（1）前三项的二项式系数和为，
解得或-11（舍去），
中，展开式中所有二项式系数的和为；
（2）的展开式通项公式为，
令得，故.
16．6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
【答案】(1)144
(2)1560
(3)252
【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种；
（2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果；
（3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案.
【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种.
17．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；
(2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.
【答案】(1)
(2)方案二，理由见解析
【详解】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得
（2）根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，90
，，
根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，80
，，
商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二
18．体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，
则.
（2）若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，
所以乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有0，30，60，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 30 60
故.
19．已知函数，是自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于的方程 有两个不等实根，求的取值范围；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和两种情况，求函数的单调性；
（2）方程，转化为，利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，求参数的取值范围；
【详解】（1），
若，则恒成立，所以在上单调递增，
若，，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，时，的增区间是，
当时，的减区间是，增区间是；
（2）方程，显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有2个交点，
，
当时，，在区间和单调递减，
并且时，，当时，
当时，，单调递增，
时，当时，取得最小值，，
如图，函数的图象，
与有2个交点，则；
