课时作业(十四)　正弦定理（含解析）

课时作业(十三)　余弦定理
基础达标
一、单项选择题
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,b=2,c=5,则A的大小为( )
A.30° B.60°
C.45° D.90°
2.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则角A等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是( )
A.- B.-
C.- D.-
4.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则·的值为( )
A.79 B.69
C.5 D.-5
5.在△ABC中,若cos2=,则△ABC是( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
二、多项选择题
6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=2,c=2,cos A=,且bA.b=2 B.b=2
C.B=60° D.B=30°
7.已知△ABC的三条边的边长分别为4 m,5 m,6 m,将三边都截掉x m后,剩余的部分组成一个钝角三角形,则x的取值可能是( )
A.1 B.2
C.2.5 D.3
三、填空题
8.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2= 。
9.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=- ,则b= 。
10.在△ABC中,AB=2,AC=,BC=1+,AD为边BC上的高,则AD的长是 。
四、解答题
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+sin=0。
(1)求A;
(2)若b+c=2a,证明:△ABC为等边三角形。
素养提升
12.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c。已知cos C+cos A=1,则cos B的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
13.如图,在△ABC中,AB=4,AC=7,D为BC的中点,且AD=,求BC的长。
参考答案
基础达标
一、单项选择题
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,b=2,c=5,则A的大小为( )
A.30° B.60°
C.45° D.90°
【答案】B
【解析】由余弦定理,得cos A===,
又0°2.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则角A等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
【答案】A
【解析】由余弦定理,得c2=12+22-2×1×2cos 60°=3,所以c=。
所以△ABC为直角三角形,A=30°。
3.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是( )
A.- B.-
C.- D.-
【答案】C
【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7×=9,
所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A===-。
4.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则·的值为( )
A.79 B.69
C.5 D.-5
【答案】D
【解析】由余弦定理得cos∠ABC===。
因为向量与的夹角为180°-∠ABC,
所以·=||||cos(180°-∠ABC)=5×7×=-5。
5.在△ABC中,若cos2=,则△ABC是( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为cos2=,所以=,
所以cosB=,所以=,所以a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,
所以△ABC为直角三角形。
二、多项选择题
6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=2,c=2,cos A=,且bA.b=2 B.b=2
C.B=60° D.B=30°
【答案】AD
【解析】由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b b2-6b+8=0 (b-2)(b-4)=0,
由b7.已知△ABC的三条边的边长分别为4 m,5 m,6 m,将三边都截掉x m后,剩余的部分组成一个钝角三角形,则x的取值可能是( )
A.1 B.2
C.2.5 D.3
【答案】BC
【解析】由题意,知新三角形的三边长分别为(4-x)m,(5-x)m,(6-x)m,
其中边长为6-x的边对的角最大,记为角C,则角C为钝角。
所以cos C=<0,即(4-x)2+(5-x)2-(6-x)2<0。
整理,得x2-6x+5<0,解得1因为4-x,5-x,6-x均为三角形的三边长,且最短边长为4-x,最长边长为6-x,
所以解得x<3。
综上可得,1三、填空题
8.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2= 。
【答案】0
【解析】因为b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac,所以a2+c2+ac-b2=0。
9.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=- ,则b= 。
【答案】4
【解析】因为b+c=7,所以c=7-b。
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,解得b=4。
10.在△ABC中,AB=2,AC=,BC=1+,AD为边BC上的高,则AD的长是 。
【答案】
【解析】因为cos C==,所以sin C=,所以AD=ACsin C=。
四、解答题
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+sin=0。
(1)求A;
(2)若b+c=2a,证明:△ABC为等边三角形。
【解析】(1)因为cos 2A+sin=0,
所以2cos2A-1+cos A=0,
解得cos A=或cos A=-1。
因为0(2)证明:由(1)及余弦定理,得a2=b2+c2-bc。
将2a=b+c代入上式,得=b2+c2-bc。
整理,得(b-c)2=0,所以b=c。
又因为A=,所以△ABC为等边三角形。
素养提升
12.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c。已知cos C+cos A=1,则cos B的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由cos C+cos A=1及余弦定理,得×+×==1,
所以b2=ac,所以cos B==≥=,当且仅当a=c时取等号,
又B为三角形的内角,所以≤cos B<1。故选D。
13.如图,在△ABC中,AB=4,AC=7,D为BC的中点,且AD=,求BC的长。
【解析】设BC=x,则BD=DC=。
在△ADB中,
cos∠ADB==。
在△ADC中,
cos∠ADC==。
因为∠ADB+∠ADC=180°,
所以cos∠ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos∠ADC,
所以=-,
解得x=9(负值舍去)。
所以BC的长为9。