文安县第一中学2023-2024学年高一下学期4月联考冲刺数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1．已知复数，则以下判断正确的是（ ）
A．复数的模为1 B．复数的模为 C．复数的虚部为 D．复数的虚部为
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．向量，，，若，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
4．边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（ ）
A．36 B．72 C．108 D．240
5．下列结论正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等
C．零向量与任一向量的数量积为0 D．两个单位向量之和不可能是单位向量
6．已知在中，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如下图所示，在正方体中，如果点是的中点，那么过点的截面图形为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
8．如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9．已知向量，，，则（ ）
A．与的夹角为
B．当时，
C．当时，与方向相反
D．当时，与组成平面内的一组基底
10．下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图在四棱台中，点分别为四边形，的对角线交点，则下列结论正确的是（ ）
A．若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥
B．几何体是三棱柱
C．几何体是三棱台
D．三棱锥的高与四棱锥的高相等
12．如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，，则下列说法中正确的是（ ）
A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B．该平面图形的面积是8
C．该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是
D．以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为．
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．已知在中，，，，则（ ）
14．已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为5，圆柱底面直径为4．则圆柱的侧面积为______．
15．已知向量，，若，则______．
16．如图，两点分别在河的两侧，为了测量两点之间的距离，在点的同侧选取点，，，米．则两点之间的距离为______米．
四、解答题（共6小题70分）
（10分）17．在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
（12分）18．（1）已知向量与相等，其中，求的值．
（2）已知点，且，求点的坐标．
（12分）19．如图，在中，点在线段上，且．
（1）用向量表示；
（2）若，求的值．
（12分）20．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的中心为，点是侧棱上的一个动点．
（1）求直三棱柱的侧面积；
（2）求证：三棱锥的体积为定值．
（12分）21．已知的内角的对边分别为，且向量，，共线．
（1）求；
（2）求；
（3）若，为的内心，求．
（12分）22．在中，角的对边分别是，，且．
（1）求；
（2）若的中线长为，求面积的最大值．
