2023-2024学年江苏省扬州市各名校七下数学易错题强化训练
一．选择题（共5小题）
1．（2023春 邗江区期中）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是AB，BC，CD，DA中点，O是四边形内部一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为8、11、13，四边形DHOG面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．（2022春 旺苍县期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E﹣∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020春 锡山区期中）若（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A等于（ ）
A．12ab B．15ab C．30ab D．60ab
4．（2023春 广陵区校级期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCE；④CA平分∠BCG，其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023春 江都区期中）如图，将△ABC纸片沿DE进行折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，若∠A＝35°，则∠1﹣∠2的度数为（ ）
A．35° B．70° C．55° D．40°
二．填空题（共7小题）
6．（2022秋 魏都区校级期末）已知x2﹣mx+36是完全平方式，则m的值为 ．
7．（2023秋 宁江区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC长为5，则等腰三角形ABC的周长为 ．
8．（2023春 邗江区期中）如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为2，则△DEF的面积为 ．
9．（2023春 七星关区期中）如图，四边形ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将纸带ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为
10．（2023秋 包河区期中）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F．若S△ABC＝24，BD＝4，则EF长为 ．
11．（2023春 岳阳楼区校级期中）阅读以下内容：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22022﹣22023＝ ．
12．（2023春 江都区期中）如图，直线l1、l2分别垂直于线段AB、BC，且交于点O，若∠A+∠C＝∠B，∠1＝40°，则∠AOC＝ ．
三．解答题（共5小题）
13．（2023春 邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝ °
（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．
14．（2023春 邗江区期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
材料二：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求 a2+b2 的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10
请你根据上述信息解答下面问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）已知 a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求 a2+b2 的值．
（3）已知 （2022﹣a）（2023﹣a）＝2047，求 （2022﹣a）2+（2023﹣a）2 的值．
（4）如图3，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F是BC、CD上的点，且 BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ．
15．（2021秋 淅川县期末）已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ．
16．（2023春 广陵区校级期中）阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）（n﹣2019）2+（2022﹣n）2＝6，求（n﹣2019）（2022﹣n）．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝2，CF＝5，长方形EMFD的面积是18，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积 ．
17．（2023秋 东辽县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①ax+by+bx+ay
＝（ax+bx）+（ay+by）
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；
（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE＝S△OBE，
同理可证，S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF＝S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH＝8，S四边形BFOE＝11，S四边形CGOF＝13，
∴8+13＝11+S四边形DHOG，
解得，S四边形DHOG＝10．
故选：A．
2．【解答】解：①过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠E＝360°，故本小题错误；
②过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A+∠C，即∠E＝∠A+∠C，故本小题正确；
③过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠A+∠E﹣∠1＝180°，故本小题正确；
④∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C﹣∠P，故本小题正确．
综上所述，正确的小题有②③④共3个．
故选：C．
3．【解答】解：已知等式整理得：25a2+30ab+9b2＝25a2﹣30ab+9b2+A，
化简得：A＝60ab．
故选：D．
4．【解答】解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACB＝2∠DCB，
∴∠CEG＝2∠DCB，故正确；
②∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵△ABC的角平分线CD、BE相交于F，
∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝45°，
∵∠DFB＝∠CBF+∠BCF，
∴∠DFB＝45°，故正确；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故错误；
④无法证明CA平分∠BCG，故错误；
∴正确的有：①②，
故选：B．
5．【解答】解：如图所示，
∵△ABC纸片沿DE进行折叠，点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，
∴∠4＝∠5，∠3＝∠2+∠DEC，
∵∠1+∠4+∠5＝180°，
∴∠1+2∠4＝180°，
∴∠1＝180°﹣2∠4，
∵∠3+∠DEC＝180°，
∴∠2＝∠3﹣∠DEC＝2∠3﹣180°，
∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠4﹣2∠3+180°＝360°﹣2∠4﹣2∠3＝2∠A，
∴∠1﹣∠2＝2×35°＝70°，
故选：B．
二．填空题（共7小题）
6．【解答】解：∵x2﹣mx+36是完全平方式，
∴x2﹣mx+36＝（x±6）2＝x2±12x+36，
故答案为：±12．
7．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或BC＝2AB，
若AB＝2BC＝10，则△ABC三边分别是10、10、5，符合题意，
等腰三角形ABC的周长为10+10+5＝25；
若BC＝2AB＝5，则AB＝2.5，△ABC三边分别是2.5、2.5、5，
∵2.5+2.5＝5，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形ABC的周长为25，
故答案为：25．
8．【解答】解：连接AE和CD，
∵BD＝AB，
∴S△ABC＝S△BCD＝2，则S△ACD＝2+2＝4，
∵AF＝3AC，
∴FC＝4AC，
∴S△FCD＝4S△ACD＝4×4＝16，
同理可以求得：S△ACE＝2S△ABC＝4，则S△FCE＝4S△ACE＝4×4＝16；S△DCE＝2S△BCD＝2×2＝4；
∴S△DEF＝S△FCD+S△FCE+S△DCE＝16+16+4＝36．
故答案为：36．
9．【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∵∠AEB＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故答案为：72°．
10．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△BDE＝S△ABD，
∴S△BDE＝S△ABC＝×24＝6，
∵S△BDE＝BD EF，
∴BD EF＝6，
即×4×EF＝6，
解得：EF＝3，
故答案为：3．
11．【解答】解：根据题意，总结规律得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+...+x+1）＝xn+1﹣1，
当x＝2，n＝2022时，
（2﹣1）（22022+22021+...+2+1）＝22023﹣1，
∴22022+22021+...+2+1＝22023﹣1，
∴原式＝22023﹣1﹣22023＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∠A+∠C＝∠B，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2∠ABC＝2×40°＝80°；
故答案为：80°．
三．解答题（共5小题）
13．【解答】解：（1）∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴，，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180＝130°；
故答案为：130°；
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，
∴，．
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，
∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+，
∴∠Q+∠BPC＝180°；
（3）如图，延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A，
∵∠Q＝4∠E，
∴∠Q＝2∠A，
∵∠Q＝90°﹣∠A，
∴2∠A＝90°﹣∠A，
∴∠A＝36°．
14．【解答】解：（1）从“整体”上看是边长为（a+b+c）的正方形，因此面积为（a+b+c）2，也可以看作9个“小部分”的面积和，即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
因此（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，
∴a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝9﹣4
＝5；
（3）设m＝2022﹣a，n＝2023﹣a，则m﹣n＝﹣1，
∵（2022﹣a）（2023﹣a）＝2047，即mn＝2047，
∴（2022﹣a）2+（2023﹣a）2
＝m2+n2
＝（m﹣n）2+2mn
＝1+4094
＝4095；
（4）由题意可得，FC＝PE＝10﹣x，CE＝PF＝6﹣x，
设p＝10﹣x，q＝6﹣x，则p﹣q＝4，
∵长方形CEPF的面积为80，
∴（10﹣x）（6﹣x）＝pq＝80，
∴图中阴影部分的面积和为：（10﹣x）2+（6﹣x）2
＝p2+q2
＝（p﹣q）2+2pq
＝16+160
＝176，
故答案为：176．
15．【解答】解：（1）∵5a＝3，
∴（5a）2＝32＝9；
（2）∵5a＝3，5b＝8，5c＝72，
∴5a﹣b+c＝＝＝27；
（3）c＝2a+b；
故答案为：c＝2a+b．
16．【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×2
＝5．
（2）设n﹣2019＝a，2022﹣n＝b，
则（n﹣2019）2+（2022﹣n）2＝a2+b2＝6，a+b＝（n﹣2019）+（2022﹣n）＝3，
∴（n﹣2019）（2020﹣n）
＝ab
＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]
＝（9﹣6）
＝；
（3）由题意得，长方形EMFD的长DE＝x﹣2＝a，宽DF＝x﹣5＝b，
则有a﹣b＝3，ab＝（x﹣2）（x﹣5）＝18，
∴（a+b）2
＝（a﹣b）2+4ab
＝9+72
＝81，
∴a+b＝9，a+b＝﹣9（舍去），
所以阴影部分的面积为：（x﹣2）2﹣（x﹣5）2
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝9×3
＝27，
答：阴影部分的面积为27．
17．【解答】解：（1）a2﹣b2+a﹣b
＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+1）；
（2）a2+4ab﹣5b2＝（a+5b）（a﹣b）；
（3）x2﹣6x+1
＝x2﹣6x+9﹣8
＝（x﹣3）2﹣8
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，
∴当x＝3时，取最小值为﹣8．
声明：试题解析
