2024年广东省深圳市宝安区中考数学二模模拟试卷2024.04
一．选择题（共10小题）
1．在－3，0，四个数中，最小的是（ ）
A．－3 B．0 C． D．
2．如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a4＋a2＝a6 B．a5 a2＝a7 C．（ab5）2＝ab10 D．a10÷a2＝a5
4．如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85° B．95° C．105° D．115°
5．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（ ）
环数 7 8 9
人数 2 ？ 3
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
6．已知是一元二次方程x2－x＋m＝0的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，则一定与∠A相等的是（ ）
A．∠B B．∠C C．∠D D．∠APD
8．一艘轮船在静水中的最大航速为50km/h，它以最大航速沿河顺流航行80km所用时间和它以最大航速沿河逆流航行60km所用时间相等，设河水的流速为x km/h，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将一张矩形纸片按图①，图②所示方法折叠，得到图③，再将图③按虚线剪裁得到图④，将图④展开，则展开图是（ ）
A． B． C． D．
10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a； ②c－a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在－2到－1之间；
④当x＜0时，ax2＋（b＋2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2＋（b）x＋c＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．分解因式8x3y－18xy＝ ．
12．今年春节电影《第二十条》《热辣滚烫》《飞驰人生2》《 逆转时空》在网络上持续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至2月17日21时，2024年春节档（2.10-2.17）新片总票房突破80.23亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据80.23亿用科学记数法表示为 ．
13．有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共100个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.4，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 个．
14．新冠疫情期间，同学们都在家里认真的进行了网课学习，小明利用平板电脑学习，如图是他观看网课时的侧面示意图，已知平板宽度即AB＝20cm，平板的支撑角∠ABC＝60°，小明坐在距离支架底部30cm处观看（即DB＝30cm），
点E是小明眼睛的位置，ED⊥DC垂足为D．
EF是小明观看平板的视线，F为AB的中点，
根据研究发现，当视线与屏幕所成锐角为80°
时（即∠AFE＝80°），对眼睛最好，那么，
请你求出当小明以此视角观看平板时，他的
眼睛与桌面的距离DE的长为 cm．
（结果精确到1cm）（参考数据：）
15．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P
是⊙B上一个动点，则PDPC的最小值为 ．
三．解答题（共7小题）
16．计算：cos245°．
17．先化简，再求值：（1），从1，－1，2中选一个合适的数作为x值代入求值．
18．为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单位：分）：
信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第Ⅰ组50≤x＜60，第Ⅱ组60≤x＜70，第Ⅲ组70≤x＜80，第Ⅳ组80≤x＜90，第Ⅴ组90≤x＜100；
信息二：第Ⅲ组的成绩为74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75．
根据信息解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为 ．
（2）第Ⅲ组竞赛成绩的众数是 分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是 分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数．
19．2024年4月18日上午10时08分，华为Pura 70系列正式开售，华为Pura 70 Ultra和Pura 70 Pro已在华为商城销售，约一分钟即告售罄。“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元。
（1）求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元；
（2）某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润。
20．如图，在 ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．
21．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点C（2，3） “美好点”（填“是”或“不是”）；
【深入探究】：
（2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线（k≠0，且k为常数）上，则k＝ ；
②在①的条件下，F（2，n）在双曲线上，求S△EOF的值；
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②对于图象上任意一点（x，y），代数式（2－x） （y－2）是否为定值？如果是，
请求出这个定值，如果不是，请说明理由。
22．（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段AC、线段BC交于点 E、F（点F与点 B、C不重合），写出线段CF、CE、BC之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB＝120°，D为AB的中点，∠MDN＝60°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段AC、线段BC交于点 E、F（点F与点 B、C不重合），直接写出线段CF、CE、BC之间的数量关系为 ；
（3）【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，DAB＝60°，过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，若CB＝6，DC＝2，则BE的长为 ．
2024年广东省深圳市宝安区中考数学二模模拟试卷参考答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．在－3，0，四个数中，最小的是（ ）
A．－3 B．0 C． D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵－30，
∴在－3，0，四个数中，最小的是－3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体三个特殊面的相对位置得出结论即可．
【详解】解：由题意知，图形经过折叠能围成题中正方体纸盒，
故选：B．
【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a4＋a2＝a6 B．a5 a2＝a7
C．（ab5）2＝ab10 D．a10÷a2＝a5
【分析】直接利用整式的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、a4＋a2，无法计算，故此选项错误；
B、a5 a2＝a7，正确；
C、（ab5）2＝a2b10，故此选项错误；
D、a10÷a2＝a7，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的乘除运算以及积的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85° B．95° C．105° D．115°
【分析】首先根据平行线的性质可得出∠1＋∠2＋∠3＝180°，据此可得出∠3的度数．
【详解】解：∵l1∥l2，
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∵∠1＝35°，∠2＝50°，
∴∠3＝180°－∠1－∠2＝95°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
5．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（ ）
环数 7 8 9
人数 2 3
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
【分析】设成绩为8环的人数是x，根据加权平均数的定义列出关于x的方程，解之即可得出答案．
【详解】解：设成绩为8环的人数是x，
根据题意，得：8.1，
解得x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解，且符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义．
6．已知是一元二次方程x2－x＋m＝0的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可．
【详解】解：∵是一元二次方程x2－x＋m＝0的一个根，另一根设为a，
∴a1，
解得：a＝1，即a．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
7．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，则一定与∠A相等的是（ ）
A．∠B B．∠C C．∠D D．∠APD
【分析】根据圆周角定理得出即可．
【详解】解：根据圆周角定理得：∠A＝∠D，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
8．一艘轮船在静水中的最大航速为50km/h，它以最大航速沿河顺流航行80km所用时间和它以最大航速沿河逆流航行60km所用时间相等，设河水的流速为x km/h，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“以最大航速沿河顺流航行80km所用时间和它以最大航速沿河逆流航行60km所用时间相等”建立方程 即可得出结论．
【详解】解：设河水的流速xkm/h，则以最大航速沿江顺流航行的速度为（50＋x）km/h，以最大航速逆流航行的速度为（50－x）km/h，
根据题意得，，
故选：C．
【点评】此题是由实际问题抽象出分式方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题的关键．
9．如图，将一张矩形纸片按图①，图②所示方法折叠，得到图③，再将图③按虚线剪裁得到图④，将图④展开，则展开图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】对于此类问题，亲自动手操作，即可得出答案．
【详解】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向下翻折，按按虚线剪裁，展开得到结论，
故选：D．
【点评】本题考查了剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c－a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在－2到－1之间；
④当x＜0时，ax2＋（b＋2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2＋（b）x＋c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；
②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；
③根据抛物线的对称性即可求解；
④根据抛物线的平移即可求解；
⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【详解】解：①因为抛物线的对称轴为x＝1，
即1，所以b＝－2a，
所以①错误；
②当x＝1时，y＝n，
所以a＋b＋c＝n，因为b＝－2a，
所以－a＋c＝n，
所以②正确；
③因为抛物线的顶点坐标为（1，n），
即对称轴为x＝1，
且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
所以抛物线另一个交点（m，0）在－2到－1之间；
所以③正确；
④因为ax2＋（b＋2）x＜0，即ax2＋bx＜－2x，
根据图象可知：
把抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）的图象，
所以当x＜0时，ax2＋bx＜－2x，
即ax2＋（b＋2）x＜0．
所以④正确；
⑤一元二次方程ax2＋（b）x＋c＝0，
Δ＝（b）2－4ac，
因为根据图象可知：a＜0，c＞0，
所以－4ac＞0，
所以Δ＝（b）2－4ac＞0，
所以一元二次方程ax2＋（b）x＋c＝0有两个不相等的实数根．
所以⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式8x3y－18xy＝ 2xy（2x＋3）（2x－3） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式＝2xy（4x2－9）
＝2xy（2x＋3）（2x－3）．
故答案为：2xy（2x＋3）（2x－3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．今年春节电影《第二十条》《热辣滚烫》《飞驰人生2》《 逆转时空》在网络上持续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至2月17日21时，2024年春节档（2.10-2.17）新片总票房突破80.23亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据80.23亿用科学记数法表示为 8.023×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：80.23亿＝8023000000＝8.023×109，
故答案为：8.023×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共100个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.4，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 40 个．
【分析】用总球的个数乘以红球的频率即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
100×0.4＝40（个），
答：估计纸箱内红球的个数约是40个．
故答案为：40．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
14．新冠疫情期间，同学们都在家里认真的进行了网课学习，小明利用平板电脑学习，如图是他观看网课时的侧面示意图，已知平板宽度即AB＝20cm，平板的支撑角∠ABC＝60°，小明坐在距离支架底部30cm处观看（即DB＝30cm），点E是小明眼睛的位置，ED⊥DC垂足为D．EF是小明观看平板的视线，F为AB的中点，根据研究发现，当视线与屏幕所成锐角为80°时（即∠AFE＝80°），对眼睛最好，那么请你求出当小明以此视角观看平板时，他的眼睛与桌面的距离DE的长为 38 cm．（结果精确到1cm）
（参考数据：）
【分析】过点F作FH⊥ED，垂足为H，过点F作FK⊥BC，垂足为K，根据垂直定义可得∠EHF＝∠DHF＝∠FKD＝∠D＝90°，从而可得四边形DKFH是矩形，进而可得FH＝DK，DH＝FK，FH∥DK，然后利用平行线的性质可得∠HFB＝∠ABC＝60°，再利用线段的中点定义可得FB＝10cm，从而在Rt△FBK中，利用锐角三角函数的定义求出BK，FK的长，进而求出DK的长，最后利用平角定义求出∠EFH＝40°，再在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出EH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点F作FH⊥ED，垂足为H，过点F作FK⊥BC，垂足为K，
∴∠EHF＝∠DHF＝∠FKD＝90°，
∵ED⊥DC，
∴∠D＝90°，
∴四边形DKFH是矩形，
∴FH＝DK，DH＝FK，FH∥DK，
∴∠HFB＝∠ABC＝60°，
∵F为AB的中点，
∴FBAB＝10（cm），
在Rt△FBK中，∠ABC＝60°，
∴BK＝FB cos60°＝105（cm），
FK＝FB sin60°＝105（cm），
∴FK＝DH＝5cm，
∵DB＝30cm，
∴FH＝DK＝DB＋BK＝35（cm），
∵∠AFE＝80°，
∴∠EFH＝180°－∠AFE－∠BFH＝40°，
在Rt△EFH中，EH＝FH tan40°≈35×0.84＝29.4（cm），
∴ED＝EH＋DH＝29.4＋538（cm），
故答案为：38．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，视点，视角和盲区，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则PDPC的最小值为 15 ．
【分析】连接PB，在BC上截取BE＝3，可证得△BPE∽△BCP，从而PE．
【详解】解：如图，连接PB，在BC上截取BE＝3，则CE＝BC－BE＝12－3＝9，
∴，
∵∠PBE＝∠CBP，
∴△BPE∽△BCP，
∴，
∴PE，
∴PD，
∴当点D、P、E共线时，PD＋PE最小，
∵DE15，
∴PD的最小值为15，
故答案为15．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是丛辅助线，构造相似三角形．
三．解答题（共7小题）
16．计算：cos245°．
【分析】本题涉及乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：cos245°
＝－1－1（）2＋8
＝－1－1＋18
＝
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式等知识点的运算．
17．先化简，再求值：（1），再从1，－1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式的分母不能为0，从而选取合适的数代入运算即可．
【详解】解：（1），
∵x＋1≠0，x2＋2x＋1≠0，2x－2≠0，
解得：x≠－1，x≠1，
∴当x＝2时，
原式 ＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单位：分）：
信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第Ⅰ组50≤x＜60，第Ⅱ组60≤x＜70，第Ⅲ组70≤x＜80，第Ⅳ组80≤x＜90，第Ⅴ组90≤x＜100；
信息二：第Ⅲ组的成绩为74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75．
根据信息解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 50 人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为 72° ．
（2）第Ⅲ组竞赛成绩的众数是 76 分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是 78 分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数．
【分析】（1）第Ⅲ组的频数是12，频率为24%，由频率进行计算即可，再求出第Ⅱ组所占的百分比即可；
（2）根据众数、中位数的定义进行计算即可；
（3）求出样本中，成绩不低于80分的学生所占的百分比，进而估计总体中成绩不低于80分的学生所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
【详解】解：（1）12÷24%＝50（人），
360°×（1－8%－8%－40%－24%）＝72°，
故答案为：50，72°；
（2）第Ⅲ组数据中出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，
将这50人的竞赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为78，因此中位数是78，
故答案为：76，78；
（3）1500×（40%＋8%）＝720（人），
答：该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数大约为720人．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数、众数以及扇形统计图，理解中位数、众数的定义，掌握频率是正确解答的前提．
19．2024年4月18日上午10时08分，华为Pura 70系列正式开售，华为Pura 70 Ultra和Pura 70 Pro已在华为商城销售，约一分钟即告售罄。“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元。
（1）求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元；
（2）某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润。
【分析】（1）根据题意由等量关系：售出1部A型、2部B型手机共获利1000元，售出2部A型、1部B型手机共获利800元可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机每部利润各是多少元；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元，由题意得：
， 解得．
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机（20－x）部，获得的利润为w元，
w＝200x＋400（20－x）＝－200x＋8000，
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的，
∴20－xx， 解得x≥12，
∵w＝－200x＋8000，k＝－200，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝12时，w取得最大值，此时w＝－2400＋8000＝5600，
20－x＝20－12＝8．
答：营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
20．如图，在 ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．
【分析】（1）证△AOB≌△DOE（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后证∠BDE＝90°，即可得出结论；
（2）过点O作OF⊥DE于点F，由矩形的性质得DE＝AB＝2，OD＝OE，再由等腰三角形的性质得DF＝EFDE＝1，则OF为△BDE的中位线，得，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝2，进而由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝2，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE， ∴DF＝EFDE＝1，
∴OF为△BDE的中位线， ∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∴CF＝CD＋DF＝3，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC，
即OC的长为．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点C（2，3） 不是 “美好点”（填“是”或“不是”）；
【深入探究】：
（2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线（k≠0，且k为常数）上，则k＝ 18 ；
②在①的条件下，F（2，n）在双曲线上，求S△EOF的值；
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②对于图象上任意一点（x，y），代数式（2－x） （y－2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【分析】（1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积；
（2）①根据E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；
②根据“F（2，n）在双曲线上”求出n，再用待定系数法求出直线EF的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用S△EOF＝S△FOG－S△EOG求S△EOF即可；
（3）①根据点P（x，y）是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式；
②将①中的关系式代入（2－x） （y－2）得出定值，从而得解．
【详解】解：（1）∵（2＋3）×2＝10≠2×3＝6，
∴点C（2，3）不是“美好点”，
（2）①∵E（m，6）（m＞0）是“美好点”，
∴2×（m＋6）＝6m， 解得：m＝3，
∴E（3，6），
将E（3，6）代入双曲线， 得k＝18，
②∵k＝18，
∴双曲线的解析式是：．
∵F（2，n）在双曲线上，
∴，
∴F（2，9），
设直线EF的解析式为：y＝ax＋b，代入得：
， 解得：，
∴直线EF的解析式为：y＝－3x＋15，
令直线EF与x轴交于点G，
当y＝0时，－3x＋15＝0，
解得：x＝5，
∴G（5，0），
画出图如图2所示：
∴；
（3）①∵点P（x，y）是第一象限内的“美好点”，
∴2（x＋y）＝xy，
化简得：，
∵第一象限内的点的横坐标为正，
∴， 解得：x＞2，
∴y关于x的函数表达式为：（x＞2）；
②“对于图象上任意一点（x，y），代数式（2－x） （y－2）为定值．”理由如下：
∵， ∴，
∴对于图象上任意一点（x，y），代数式（2－x） （y－2）是为定值，定值为－4．
【点评】本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键．
22．（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段AC、线段BC交于点 E、F（点F与点 B、C不重合），写出线段CF、CE、BC之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB＝120°，D为AB的中点，∠MDN＝60°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段AC、线段BC交于点 E、F（点F与点 B、C不重合），直接写出线段CF、CE、BC之间的数量关系为 CF＋CEBC ；
（3）【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，DAB＝60°，过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，若CB＝6，DC＝2，则BE的长为 10 ．
【分析】（1）利用ASA证明△EDC≌△FDB，推出CE＝BF，则BC＝BF＋CF＝CE＋CF；
（2）取BC中点G，连接DG，利用已知条件和直角三角形斜边中线的性质先证△DCG是等边三角形，再证△EDC≌△FDG，推出CE＝GF，进而得到BC＝2CG＝2（GF＋CF）＝2（CE＋CF）；
（3）延长EA，CD交于点F，取G为CF的中点，同（2）证明△ACB≌△AGD，得出GD＝BC＝6，进而求出FC，再证CE＝CF，即可得出BE＝CE－BC＝16－6＝10．
【详解】解：（1）CF＋CE＝BC．证明如下：
∵等腰△ACB中∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，，∠A＝∠B＝45°，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴DC＝DB．
又∵∠MDN＝90°，
∴∠EDC＝∠BDF．
在△EDC和△FDB中，，
∴△EDC≌△FDB，
∴CE＝BF，
∴BC＝BF＋CF＝CE＋CF；
（2）CF＋CEBC．证明如下：
取BC中点G，连接DG，
∵等腰△ACB中∠ACB＝120°，D为AB 的中点，
∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°，，
∵在Rt△CDB中，点G是BC中点， ∴，
∴△DCG是等边三角形，
∴∠CDG＝∠CGD＝60°，DG＝DC，
又∵∠CDG＝∠MDN＝60°，
∴∠EDC＝∠FDG，
又∵∠ECD＝∠FGD＝60°，DG＝DC，
∴△EDC≌△FDG（ASA），
∴CE＝GF，
∴BC＝2CG＝2（GF＋CF）＝2（CE＋CF），
∴．
（3）延长EA，CD交于点F，取G为CF的中点，
∵AE⊥AC， ∴∠CAF＝90°，
在Rt△CAF中，点G是CF中点，
∴AG＝GC＝GF，
∵AC 平分∠BCD，∠BCD＝120°，
∴，
∴△ACG是等边三角形，
∴∠GAC＝∠AGD＝60°，AG＝AC，
又∵∠DAB＝60°，
∴∠GAD＝∠CAB，
又∵∠ACB＝∠AGD＝60°，AG＝AC，
∴△ACB≌△AGD（ASA），
∴GD＝BC＝6，
∴FC＝2CG＝2（GD＋DC）＝2×（6＋2）＝16，
∵∠F＝90°－∠ACD＝90°－60°＝30°，∠E＝90°－∠ACE＝90°－60°＝30°，
∴∠F＝∠E，
∴CE＝CF＝16，
∴BE＝CE－BC＝16－6＝10．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，第三问有一定难度，能够运用前两问的解题思路，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
