净月高新区2023-2024学年度下学期模拟练习
九年级数学
本试卷包括三道大题，共24道小题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（ ）
A. B. C. D.
2. 2024年春节期间，吉林省凭借滑雪、度假、雾凇、冰雕等特色冰雪旅游元素，接待国内游客约20517000人次，同比增长，将20517000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆锥 D. 圆柱
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N（点M在上方），作直线交边于点D；在和上分别截取、，使，分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，若射线恰好经过点D，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，点、在反比例函数图象上，点的坐标，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 2.5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：__________．
10. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为________．
11. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为______．
12. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C、D均在格点上．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
13. 如图，四边形是边长为的正方形，点在直线上，若，连接，过点作，交直线于点，连接，点是的中点，连接，则________ ．
14. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：其中．
16. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
17. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，已知每台新型机器人比每台旧型机器人每天多搬运20吨货物，且每台新型机器人搬运960吨货物的时间和每台旧型机器人搬运720吨货物的时间相同．求新型机器人每天搬运的货物量．
18. 如图，为圆O的直径，C，D为圆O上的点，连接，连接并延长交于点E，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值
19. “杨花榆荚无才思，惟解漫天作雪飞”，每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：
治理杨絮——您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他______
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有______人；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，求扇形的圆心角度数．
20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹．
（1）在图①中的线段上找一点，连接，使；
（2）在图②中的线段上找一点，连接，使；
（3）在图③中的内部找一点，连接、，使．
21. 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往距离学校360千米的基地进行研学活动．大巴车匀速行驶1小时后，学校因事派人乘坐轿车匀速沿同一路线追赶，大巴车降低速度继续匀速行驶，轿车行驶小时后追上大巴车，两车继续匀速行驶到达基地．如图表示大巴车和轿车离学校的距离（千米）与大巴车出发时间（时）之间函数关系的部分图象．结合图中提供的信息，解答下列问题：
（1）轿车速度为______千米/时，大巴车行驶1小时后的速度为______千米/时；
（2）求大巴车出发1小时后与的函数解析式，并补全函数图象；
（3）轿车到达基地时，大巴车距离基地还有多远？
22. 【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页部分内容．
如图，、都是等腰直角三角形，，画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．
数学课上，同学们连结便解决了此问题，随后数学老师追问：与具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：
甲组：由于是由绕着点逆时针旋转后得到的，所以与为对应线段，所以．
乙组：根据题意，我们可以证明，因此．
请结合图①写出乙组证明方法的完整过程．
【类比探究】若将【教材呈现】中等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？
如图②，、都是等边三角形，连结、、．
①则与的数量关系是______．
②若，则长为______．
【拓展应用】、都是等边三角形，，若将绕着点旋转一周，在运动过程中，点到直线的距离设为，则的取值范围是______．
23. 如图，在中，，点为的中点．动点从点出发，沿折线向点运动，在边速度为每秒5个单位长度，在边速度为每秒个单位长度．当点不与点重合时，连接，以、为邻边作平行四边形．设点运动时间为秒．
备用图
（1）线段的长为______，的面积为______；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）当平行四边形是菱形时求的值；
（4）当点在线段上运动时，当点落在的高上时，直接写出的值．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当平行于轴时，求的值；
（3）将抛物线点和点之间的部分记为图象，当的最大值和最小值之差为1时，求的取值范围；
（4）以、为邻边作平行四边形，当对称轴将四边形分成两部分，且面积比为时，直接写出的值．净月高新区2023-2024学年度下学期模拟练习
九年级数学
本试卷包括三道大题，共24道小题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．根据正数和负数的意义求解即可．
【详解】解：冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作，
故选：B．
2. 2024年春节期间，吉林省凭借滑雪、度假、雾凇、冰雕等特色冰雪旅游元素，接待国内游客约20517000人次，同比增长，将20517000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键．
【详解】解：
故选：C．
3. 如图所示，是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆锥 D. 圆柱
【答案】D
【解析】
【分析】根据上底面、下底面、侧面展开图即可得知结果．
【详解】解：由展开图可知上、下底面均为圆，侧面展开图为长方形，因此该几何体为圆柱．
【点睛】本题考查立体图形的展开图，熟悉常见立体图形的展开图是关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则分别计算，即可得出正确答案．
【详解】解：A．，故该选项错误，不合题意；
B．，故该选项错误，不合题意；
C．，故该选项错误，不合题意；
D．，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等知识点，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．
5. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据正弦的定义计算即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
【详解】解：在中,
（米）．
故选：．
6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案
【详解】解：设半径为 ，则
在 中，有
，即
解得
故选：D
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件．
7. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N（点M在上方），作直线交边于点D；在和上分别截取、，使，分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，若射线恰好经过点D，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查线段垂直平分线作图及性质、角平分线作图及性质以及三角形的内角和定理，根据题意得到垂直平分，平分是解题的关键．根据垂直平分得，则有，根据角平分线得，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：由题意得：垂直平分，平分，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
8. 如图，在中，，点、在反比例函数的图象上，点的坐标，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
【详解】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交的延长线于点N．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴．
∴，
∵点A、B都在反比例函数上，
∴，
解得：，（舍去），
∴点A的坐标为，
∴．
故选：C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，直接提取公因式，分解因式，即可得出答案，解题关键掌握提公因式法．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式，代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程有两个相等的实数根判别式为零是解题的关键．
11. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C、D均在格点上．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积、勾股定理及逆定理，先利用勾股定理求得，，再利用勾股定理的逆定理得，再根据即可求解，熟练掌握扇形的面积公式及勾股定理及逆定理是解题的关键．
【详解】解：取的中点，连接，，如图：
根据勾股定理得：，，
，
，
为圆的直径，点是的中点，
，，
，
故答案为：．
13. 如图，四边形是边长为的正方形，点在直线上，若，连接，过点作，交直线于点，连接，点是的中点，连接，则________ ．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：点在正方形外、点在正方形上，分别构造中位线后，综合运用全等三角形的判定与性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：①点在正方形外，
如图，取中点，连接，
四边形是边长为的正方形，
，，
，，，
，
即，
，
即，
和中，
，
，
，
，
是中点，是中点，
是的中位线，
且，
，
即，
在中，；
②点在正方形上，
如图，取中点，连接，
同理可得，，
，
是中点，是中点，
且，，
，
，
，
在中，．
综上，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理，解题关键是分情况讨论及利用中位线定理求解．
14. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米．
【答案】7
【解析】
【分析】建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2），过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可．
【详解】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：，点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
,
令，得
解得（舍），
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：其中．
【答案】，7
【解析】
【分析】根据乘法公式及多项式乘以多项式的法则可以完成化简，然后代入求值．
【详解】解：原式=
=
当x=时，原式==7．
考点：代数式的化简求值
16. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，已知每台新型机器人比每台旧型机器人每天多搬运20吨货物，且每台新型机器人搬运960吨货物的时间和每台旧型机器人搬运720吨货物的时间相同．求新型机器人每天搬运的货物量．
【答案】新型机器人每天搬运的货物量为吨
【解析】
【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨．根据题意，列方程解答即可．
本题考查了分式方程的应用，正确找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨．根据题意，得
．
方程两边乘，得
解得．
经检验，当是原方程的解且符合题意．
答：新型机器人每天搬运的货物量为吨．
18. 如图，为圆O的直径，C，D为圆O上的点，连接，连接并延长交于点E，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得到，再根据圆的内接四边形的性质得到，进而得到，由等腰三角形的性质得到，推出，即可得出结论；
（2）先证明，得到，，进而得到，由（1）知，易证，得到，即可得到，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点C，D为圆O上的点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
，
，
，，
，
，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，圆的内接四边形，相似三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键．
19. “杨花榆荚无才思，惟解漫天作雪飞”，每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：
治理杨絮——您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他______
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有______人；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，求扇形的圆心角度数．
【答案】（1）人
（2）详见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查考查了条形统计图和扇形统计图．
（1）将A选项人数除以总人数即可得；
（2）用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得；
（3）用乘以E选项人数所占比例可得．
【小问1详解】
本次接受调查的市民人数为（人），
【小问2详解】
补全条形图如下：
（人），
【小问3详解】
扇形统计图中，扇形的圆心角度数是
20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹．
（1）在图①中的线段上找一点，连接，使；
（2）在图②中的线段上找一点，连接，使；
（3）在图③中的内部找一点，连接、，使．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析 （3）详见解析
【解析】
【分析】本题考查格点作图，相似三角形的判定和性质，三角形的中线：
（1）根据中线平分三角形面积，取的中点，连接，即可；
（2）取点右侧一个格点，点左侧两个格点，连接两个格点形成的线段与的交点即为点，连接即可；
（3）取的中点，的中点，连接，两条线段的交点即为点．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
由作图可知：，
∴
【小问3详解】
如图，点即为所求；
由作图可知：，
∴，
∴．
21. 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往距离学校360千米的基地进行研学活动．大巴车匀速行驶1小时后，学校因事派人乘坐轿车匀速沿同一路线追赶，大巴车降低速度继续匀速行驶，轿车行驶小时后追上大巴车，两车继续匀速行驶到达基地．如图表示大巴车和轿车离学校的距离（千米）与大巴车出发时间（时）之间函数关系的部分图象．结合图中提供的信息，解答下列问题：
（1）轿车的速度为______千米/时，大巴车行驶1小时后的速度为______千米/时；
（2）求大巴车出发1小时后与的函数解析式，并补全函数图象；
（3）轿车到达基地时，大巴车距离基地还有多远？
【答案】（1）120；60
（2），详见解析
（3）大巴车距基地地的距离为还有90千米
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用、求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图象中横坐标与纵坐标代表的含义．
（1）根据函数图象中的数据可以求得轿车的速度和大巴车的速度；
（2）求出大巴车到基地的时间，然后根据待定系数法求解即可；
（3）由图知轿车到达基地时，大巴车行驶了4小时，然后根据路程=速度×时间，求出大巴行驶的路程，即可求解．
【小问1详解】
解：根据图象知：轿车的速度为千米/时，
大巴车行驶1小时后的速度为千米/时，
故答案为：120；60；
【小问2详解】
解：（小时）
由题意，设，将点、代入，
∴解得；
∴函数表达式为，
补全函数图象如下：
；
【小问3详解】
解：轿车达到基地时大巴车的行程为（千米）
∴大巴车距基地地的距离为（千米）
答：大巴车距基地地的距离为还有90千米．
22. 【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
如图，、都是等腰直角三角形，，画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．
数学课上，同学们连结便解决了此问题，随后数学老师追问：与具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：
甲组：由于是由绕着点逆时针旋转后得到的，所以与为对应线段，所以．
乙组：根据题意，我们可以证明，因此．
请结合图①写出乙组证明方法的完整过程．
【类比探究】若将【教材呈现】中的等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？
如图②，、都是等边三角形，连结、、．
①则与的数量关系是______．
②若，则长为______．
【拓展应用】、都是等边三角形，，若将绕着点旋转一周，在运动过程中，点到直线的距离设为，则的取值范围是______．
【答案】【教材呈现】详见解析；【类比探究】①；②；【拓展应用】
【解析】
【分析】【教材呈现】 由等腰直角三角形性质，得，，，再证得，根据全等三角形判定，即可证得，然后根据全等三角形性质，可得；
【类比探究】根据等边三角形性质可得，，再根据全等三角形判定，证得，即可得到；再由，，得到，然后根据勾股定理得，计算即可得出答案；
【拓展应用】如图，以为半径，为圆心画圆得圆，将绕着点旋转一周，则点的轨迹为圆，过点作圆的切线，切点为，，连接，，，，得到，，且始终在和之间或在和上，结合图形可得点到的距离为的最小值，证得垂直平分，即可求得的最小值，当点与重合时，证得点到的距离为，当点不与重合时，令为点到直线的距离，则为直角三角形，为斜边，为直角边，根据直角三角形的斜边大于直角边，即可得出的最大值，进而得出结论．
【详解】解：【教材呈现】证明：连接，如图，
、都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
；
【类比探究】 ①、都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
②，，
，
，，
，
，
故答案为：；4；
【拓展应用】如图，以为半径，为圆心画圆得圆，将绕着点旋转一周，则点的轨迹为圆，过点作圆的切线，切点为，，连接，，，，则，，且始终在和之间或在和上，
由图可得当点与重合时，点到的距离为的最小值，
、都是等边三角形，，
，，
，，
，，
在上，且平分，
， ，
，
，，
，
，
点到的距离为，
当点不与重合时，令为点到直线的距离，则为直角三角形，为斜边，为直角边，
，
当点与重合时，最大，为8，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的切线性质，勾股定理解三角形，解题关键是利用全等三角形的判定与性质证明线段的数量关系，利用勾股定理解求线段长度，利用数形结合，合理添加辅助线，构造直角三角形并结合直角三角形性质求点到直线的距离范围．
23. 如图，在中，，点为的中点．动点从点出发，沿折线向点运动，在边速度为每秒5个单位长度，在边速度为每秒个单位长度．当点不与点重合时，连接，以、为邻边作平行四边形．设点运动时间为秒．
备用图
（1）线段的长为______，的面积为______；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）当平行四边形是菱形时求的值；
（4）当点在线段上运动时，当点落在的高上时，直接写出的值．
【答案】（1）线段的长为，的面积为40
（2）当时，；当时，
（3）或
（4）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，菱形的性质；
（1）①如图1中，过点作于点．解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出即可；
②分两种情形：当时，当时，分别求解即可；
（2）分别判断出点落在，上的时间，结合图形判断可得结论；
（3）分两种情形：如图2中，当时，四边形是菱形．过点作于点．如图4中，当时，四边形是菱形．过点作于点．分别构建方程求解即可；
（4）根据点落在的三条不同的高上分三种情形分别，画出图形构建方程求解即可．
小问1详解】
如图1中，过点作于点．
∵，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
当时，．
当时，；
【小问3详解】
如图3中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
，
．
如图4中，当时，四边形是菱形．过点作于点．
在中，，，，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
【小问4详解】
分别作三边的高，
当在上时，如图所示
∵
∴
又
∴
∴当在上时，点重合
∴，又
∴
∴；
当点在上时，由平行四边形可得，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，解得
当在上时，如图所示
∵，
∴，则
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
综上所述，
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当平行于轴时，求的值；
（3）将抛物线点和点之间的部分记为图象，当的最大值和最小值之差为1时，求的取值范围；
（4）以、为邻边作平行四边形，当对称轴将四边形分成两部分，且面积比为时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）或
（3）当或时，的最大值和最小值之差为1
（4）或
【解析】
【分析】（1）直接代入求解即可；
（2）当平行于x轴时，，据此列方程求解即可；
（3）根据二次函数的性质，分类讨论求解即可；
（4）用分割法，分别求出四边形和四边形的面积，再根据，分类讨论，建立方程，再分别求解即可．
【小问1详解】
抛物线经过点，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
，
∴抛物线顶点坐标为，
【小问2详解】
当平行于x轴时，，
，
解得或，
的值为0或16；
【小问3详解】
当时，最高点为顶点，最低点为P，
则，
解得：，（舍），
当时，最高点为顶点，最低点为A，
则，
当时，最高点为点P，最低点为A，
则，
解得，
当时，最高点为A点，最低点为P，
则，
解得 或（舍），
综合上述，当或时，G的最大值和最小值之差为1．
【小问4详解】
如图1，当时，
作轴于K，作轴于C，交于作轴于D，对称轴分别交轴于G，B，F，y轴交于E，则，
，
，
对称轴，
，
点的横坐标为m，
，
，
四边形平行四边形，
，
向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度得到，
N横坐标为，
，
，
四边形平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
设，
，
，
，
，即，
解得；
当时，如图2，
同理可得，，
，
，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数几何综合；涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，平行四边形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作出图像．
