2024年来凤县实验中学九年级数学第一次月考试卷
一、选择题（共10小题）
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可得出结果．
【详解】解：，
的绝对值是3，
故选：A．
2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷、用科学记数法表示3830000是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法，绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，n为整数位数减1，据此即可解答．
【详解】解：可表示为．
故选：A．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，除法法则，合并同类项法则，逐一进行计算即可得出结论．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
4. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据左视图是从左面看到的视图，进行判断即可．
【详解】解：几何体的左视图为：
故选D．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握左视图是从左往右看到的图形，是解题的关键．
5. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵直尺的两边平行，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
6. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
7. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
∵，即：，
∴，
又∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
9. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数图象；根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．
【详解】解：由图可得，
甲的速度为：（米秒），故③错误，不符合题意；
乙的速度为：米秒，
，故①错误，不符合题意；
，故②正确，符合题意；
设当甲、乙相距米时，甲出发了秒，
两人相遇前：，
解得；
两人相遇后：，
解得；故④正确，符合题意；
故选：C．
10. 折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN．
【详解】解：如图，连接BM，
由折叠可知，MN垂直平分BD，
又AB∥CD，
∴BON≌DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝×MN×BD，
即5×4＝×MN×，
解得MN＝．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，勾股定理，菱形的面积公式的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．
二、填空题（共6小题）
11. 因式分解：__________．
【答案】a（a+1）2
【解析】
【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a±2ab+b=（a±b）
【详解】：a3+2a2+a，
=a（a2+2a+1），
=a（a+1）2．
【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握运算法则是解题关键
12. 若、是方程的两个根，则______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，，求解即可．
【详解】解：、是方程的两个根，
，，
，
故答案为：．
13. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为_____________米．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解．
【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，
由题意可得，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵博雅楼顶部E的俯角为，
∴，
∴，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
由题意可得四边形是矩形，
∴，
∵尚美楼顶部F的俯角为，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_________．
【答案】120
【解析】
【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
15. 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为________．
【答案】57
【解析】
【分析】根据题意得出第n个图形中菱形的个数为；由此代入求得第⑦个图形中菱形的个数．
【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，；
第②个图形中共有7个菱形，；
第③个图形中共有13个菱形，；
…，
第n个图形中菱形的个数为：；
则第⑦个图形中菱形个数为．
故答案为：57．
【点睛】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律．
16. 如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；
当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
三、解答题（共8小题）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，掌握分式和实数的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．
（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
（2）利用分式的运算法则先化简分式，再代入特殊角的函数值确定，最后利用二次根式的性质得结论．
【详解】（1）解：
．
（2）解：原式
．
当时，
原式．
18. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）18，6，
（2）480人 （3）
【解析】
【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．
【小问1详解】
解：参与调查的总人数为：（人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，；
小问2详解】
解：（人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理．
19. 已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0，
（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；
（2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）k=2；菱形的面积是9．
【解析】
【分析】（1）首先计算根的判别式，再根据判别式的值判断方程根的情况；
（2）由根与系数关系及x1x2+2x1+2x2＝36可以得到关于k的一元二次方程，解方程可以得到k的值，再根据菱形面积等于可以求得答案．
【详解】（1）证明：根据题意得：△＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2．
∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0，
∴无论k为何值，原方程都有实数根；
（2）∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2，
∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2，
∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36，
整理，得（k+7）（k﹣2）＝0．
解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2．
∴x1x2＝×2（k+1）2＝（2+1）2＝9．
即菱形的面积是9．
【点睛】本题考查一元二次方程与菱形的综合应用，熟练求解根的判别式及利用根与系数关系求出k的值是解题关键．
20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：对于，当时，，
∴，
，
∵，
过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得．
点P纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
22. 如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明，见解析
（2）证明，见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，得，根据平行线的判定和性质，即可；
（2）由（1）得，，根据，，相似三角形的判定和性质，即可；
（3）根据，则，设的半径为，则，根据勾股定理求出；根据，，根据勾股定理求出，再根据，在根据勾股定理求出，根据，即可．
【小问1详解】
连接
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
【小问2详解】
证明，如下：
由（1）得，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
∵，
∴，
设的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的运用．
23. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】（1），理由见解析
（2）①；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解；
（2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形，
由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解．
【小问1详解】
解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．
24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为，，
（2）或或
（3）
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
【小问2详解】
∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
【小问3详解】
解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．2024年来凤县实验中学九年级数学第一次月考试卷
一、选择题（共10小题）
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷、用科学记数法表示3830000是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
6. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
9. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
10. 折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
二、填空题（共6小题）
11. 因式分解：__________．
12. 若、是方程的两个根，则______.
13. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为_____________米．（结果保留根号）
14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_________．
15. 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为________．
16. 如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）
三、解答题（共8小题）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍概率．
19. 已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0，
（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；
（2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积．
20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
22. 如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
23. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
24 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
