2023-2024 学年质量检测数学模拟试题（五）
考试时间：120 分钟 满分：120 分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．五边形的外角和等于( ) A．180° B．360° C．540° D．720°
2．下列多边形中，内角和等于 360°的是( )
题 2 题 3 图 题 4图 题 5图
3．如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，下列结论一定正确的是( )
A．AC 平分∠BAD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
4．如图，在菱形 ABCD 中，∠C＝80°，则∠ABD 的度数为( )A．80° B．70° C．60° D．50°
5．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形 ABCD 为平行四边形，则下列正确的是( )
A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．∠A＝∠C D．AB＝AD
题 6图 题 7图 题 8 图 题 9 图 题 10 图
6．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AD，OD 的中点，若 EF＝2，则 AC 的长是
( ) A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，在矩形 ABCD 中，∠AOB＝60°，AB＝3，则 BD 的长是( )A．3 B．5 C．3 3 D．6
8．如图，在正方形 ABCD 外侧作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则∠BFC 等于( )
A．75° B．60° C．55° D．45°
9．如图，在直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为(－2，0)，∠AOC＝60°．将菱形 OABC 沿 x 轴向右平移 1 个
单位长度，再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度，得到菱形 O'A'B'C'，其中点 B'的坐标为( )
A．(－2， 3－1) B．(－2，1) C．(－ 3 ，1) D．(－ 3 ， 3－1)
10．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME＝MC，以 DE 为边作正方形 DEFG，
点 G 在 CD 边上，则 CG 的长为( ) A． 3－1 B． 5＋1 C．3－ 5 D． 5－1
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11．如果一个多边形每一个外角都是 60°，那么这个多边形的边数为 .
12．如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠CAB 的大小是 °．
题 12 图 题 13 图 题 14 图 题 15 图 题 16 图
13．如图，在 ABCD 中，过点 C作 CE⊥AB，垂足为 E，若∠EAD＝40°，则∠BCE 的度数为 ．
14．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F分别是 AO，AD 的中点，连接 EF，若 AB＝6 cm，BC＝8
cm，则 EF 的长是 ．
15．如图，E，F是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形 BEDF 的周长是 ．
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16．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点 E在边 AD 上，点 F 在边 BC 上，且 AE＝CF，连接 CE，DF，则 CE＋DF 的
最小值为 ．
三、解答题(一)：本大题共 4 小题，第 17、18 题各 4 分，第 19、20 题各 6 分，共 20 分．
17．如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 AC 上，且 AF＝CE．求证：BE＝DF．
题 17 图
18．如图，已知 EF∥AC，B，D分别是 AC 和 EF 上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形 BCDE 是平行四边形．
题 18 图
19．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE＝DF．求证：平行四边形 ABCD 是菱形．
题 19 图
20．如图，点 M在 ABCD 的边 AD 上，BM＝CM，请从以下三个选项：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4 中，选择一
个合适的选项作为已知条件，使 ABCD 为矩形．
(1)你添加的条件是 (填序号)； (2)添加条件后，请证明 ABCD 为矩形．
题 20 图
数学模拟试题 第 2 页 共 4 页
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四、解答题(二)：本大题共 3 小题，第 21 题 8 分，第 22、23 题各 10 分，共 28 分．
21．如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上的点．
(1)连接 AE，CE，求证：AE＝CE；(2)过点 E作 EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别是点 M，N，求证：四边形 EMCN 是矩形．
题 21 图
22．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形 OCED 是菱形；(2)若 BC＝3，DC＝2，求四边形 OCED 的面积．
题 22 图
23．如图，在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点,过点 O 作直线分别与矩形的边 AD，BC 交于 M，N两点，连接 CM，AN．
(1)求证：四边形 ANCM 为平行四边形；(2)若 AD＝4，AB＝2，且 MN⊥AC，求 DM 的长．
题 23 图
五、解答题(三)：本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分．
24．综合与实践．
折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形
的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图 1，在矩形 ABCD 中，点 M 在边 AD 上，将矩形纸片 ABCD 沿 MC 所在的直线折叠，使点 D落在点 D'处，MD'
与 BC 交于点 N．
【猜想】MN＝CN．
【验证】(1)请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片 ABCD 沿 MC 所在的直线折叠，∴∠CMD＝ ，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC(矩形的对边平行)，
∴∠CMD＝ ( )，
∴ ＝ (等量代换)， ∴MN＝CN( )．
【应用】如图 2，继续将矩形纸片 ABCD 折叠，使 AM 恰好落在直线 MD'上，点 A 落在点 A'处，点 B 落在点 B'处，折痕
为 ME．
(2)猜想 MN 与 EC 的数量关系，并说明理由；(3)若 CD＝2，MD＝4，求 EC 的长．
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25．综合运用．
如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4 cm，点 O 是对角线 AC 的中点，动点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，点 P以 1 cm/s 的
速度沿边 AB 向终点 B匀速运动，点 Q 以 2 cm/s 的速度沿折线 BC－CD 向终点 D 匀速运动，连接 PO 并延长交边 CD 于点
M，连接 QO 并延长交折线 DA－AB 于点 N，连接 PQ，QM，MN，NP，得到四边形 PQMN．设点 P 的运动时间为 x(s)(0＜x＜
4)，四边形 PQMN 的面积为 y(cm2)．
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{#{QQABRQyQoggAAJBAARgCAQ3ACECQkBCCAAoGQAAAsAABiAFABAA=}#}2023-2024 学年质量检测数学模拟试题（五）
考试时间：120 分钟 满分：120 分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．五边形的外角和等于( ) A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
2．下列多边形中，内角和等于 360°的是( )
【答案】B
题 2 题 3 图 题 4图 题 5图
3．如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，下列结论一定正确的是( )
A．AC 平分∠BAD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
【答案】C
4．如图，在菱形 ABCD 中，∠C＝80°，则∠ABD 的度数为( )A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】D
5．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形 ABCD 为平行四边形，则下列正确的是( )
A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．∠A＝∠C D．AB＝AD
【答案】C
题 6图 题 7图 题 8 图 题 9 图 题 10 图
6．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AD，OD 的中点，若 EF＝2，则 AC 的长是
( ) A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
7．如图，在矩形 ABCD 中，∠AOB＝60°，AB＝3，则 BD 的长是( )A．3 B．5 C．3 3 D．6
【答案】D
8．如图，在正方形 ABCD 外侧作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则∠BFC 等于( )
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】D
9．如图，在直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为(－2，0)，∠AOC＝60°．将菱形 OABC 沿 x 轴向右平移 1 个
单位长度，再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度，得到菱形 O'A'B'C'，其中点 B'的坐标为( )
A．(－2， 3－1) B．(－2，1) C．(－ 3 ，1) D．(－ 3 ， 3－1)
【答案】A
10．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME＝MC，以 DE 为边作正方形 DEFG，
点 G 在 CD 边上，则 CG 的长为( ) A． 3－1 B． 5＋1 C．3－ 5 D． 5－1
【答案】C
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11．如果一个多边形每一个外角都是 60°，那么这个多边形的边数为 .
【答案】6
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12．如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠CAB 的大小是 °．
【答案】132
题 12 图 题 13 图 题 14 图 题 15 图 题 16 图
13．如图，在 ABCD 中，过点 C作 CE⊥AB，垂足为 E，若∠EAD＝40°，则∠BCE 的度数为 ．
【答案】50°
14．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F分别是 AO，AD 的中点，连接 EF，若 AB＝6 cm，BC＝8
cm，则 EF 的长是 ．
【答案】2.5cm
15．如图，E，F是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形 BEDF 的周长是 ．
【答案】8 5
16．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点 E在边 AD 上，点 F 在边 BC 上，且 AE＝CF，连接 CE，DF，则 CE＋DF 的
最小值为 ．
【答案】 2 2
三、解答题(一)：本大题共 4 小题，第 17、18 题各 4 分，第 19、20 题各 6 分，共 20 分．
17．如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 AC 上，且 AF＝CE．求证：BE＝DF．
【答案】
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AF＝CE，∴OE＝OF，
OB = OD
在△BEO 和△DFO 中， ∠BOE = ∠DOF，
OE = OF
∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE＝DF. 题 17 图
18．如图，已知 EF∥AC，B，D分别是 AC 和 EF 上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形 BCDE 是平行四边形．
【答案】
证明：∵EF∥AC，
∴∠EDC＋∠C＝１８０°，
∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠C＝１８０°，
∴EB∥DC，
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形 BCDE 是平行四边形.
题 18 图
19．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE＝DF．求证：平行四边形 ABCD 是菱形．
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【答案】
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝９０°，
∠AEB = ∠AFD
在△ABE 和△ADF 中， BE = DF ，
∠B = ∠D
∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AB＝AD，
∴平行四边形 ABCD 是菱形.
题 19 图
20．如图，点 M在 ABCD 的边 AD 上，BM＝CM，请从以下三个选项：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4 中，选择一
个合适的选项作为已知条件，使 ABCD 为矩形．
(1)你添加的条件是 (填序号)； (2)添加条件后，请证明 ABCD 为矩形．
【答案】（１）①（或②）
（２）（选择①为例）
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠A＋∠D＝１８０°，
AB = DC
在△ABM 和△DCM 中， ∠1 = ∠2，
BM = CM
∴△ABM≌△DCM（SAS），∴∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝９０°，∴ ABCD 为矩形. 题 20 图
四、解答题(二)：本大题共 3 小题，第 21 题 8 分，第 22、23 题各 10 分，共 28 分．
21．如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上的点．
(1)连接 AE，CE，求证：AE＝CE；(2)过点 E作 EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别是点 M，N，求证：四边形 EMCN 是矩形．
【答案】
证明：（１）∵BD 为正方形的对角线，∴∠ABE＝∠CBE，
BE = BE
在△ABE 和△CBE 中， ∠ABE = ∠CBE，
AB = BC
∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE.
（２）∵四边形 ABCD 是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠NCM＝∠CME＝∠CNE＝９０°，∴四边形 EMCN 为矩形. 题 21 图
22．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形 OCED 是菱形；(2)若 BC＝3，DC＝2，求四边形 OCED 的面积．
【答案】（１）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 OCED 是平行四边形，
∵矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
１ １
∴AC＝BD，OC＝ AC，OD＝ BD，∴OC＝OD，
２ ２
∴四边形 OCED 是菱形.
（２）解：∵四边形 ABCD 是矩形，BC＝３，DC＝２，
∴OA＝OB＝OC＝OD，S矩形 ABCD＝３×２＝６，
１ １ 题 22 图
∴S△OCD＝ S 矩形 ABCD＝ ×６＝１.５，
４ ４
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{#{QQABRQyQoggAAJBAARgCAQ3ACECQkBCCAAoGQAAAsAABiAFABAA=}#}
∵四边形 OCED 是菱形，
∴菱形 OCED 的面积＝２S△OCD＝２×１.５＝３.
23．如图，在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点,过点 O 作直线分别与矩形的边 AD，BC 交于 M，N两点，连接 CM，AN．
(1)求证：四边形 ANCM 为平行四边形；(2)若 AD＝4，AB＝2，且 MN⊥AC，求 DM 的长．
【答案】
（１）证明：∵在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
∠AMO = ∠CNO
在△AOM 和△CON 中， ∠OAM = ∠OCN，
AO = CO
∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN， 题 23 图
∵AM∥CN，∴四边形 ANCM 为平行四边形.
（２）解：∵四边形 ANCM 为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形 ANCM 为菱形，
∴AM＝MC＝AD－DM＝４－DM，
在矩形 ABCD 中，AB＝CD＝２，∠D＝９０°，
∴在 Rt△CDM 中，根据勾股定理，得（４－DM）２＝２２＋DM２，
３
解得 DM＝ .
２
五、解答题(三)：本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分．
24．综合与实践．
折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形
的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图 1，在矩形 ABCD 中，点 M 在边 AD 上，将矩形纸片 ABCD 沿 MC 所在的直线折叠，使点 D落在点 D'处，MD'
与 BC 交于点 N．
【猜想】MN＝CN．
【验证】(1)请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片 ABCD 沿 MC 所在的直线折叠，∴∠CMD＝ ，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC(矩形的对边平行)，
∴∠CMD＝ ( )，
∴ ＝ (等量代换)， ∴MN＝CN( )．
【应用】如图 2，继续将矩形纸片 ABCD 折叠，使 AM 恰好落在直线 MD'上，点 A 落在点 A'处，点 B 落在点 B'处，折痕
为 ME．
(2)猜想 MN 与 EC 的数量关系，并说明理由；(3)若 CD＝2，MD＝4，求 EC 的长．
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【答案】
解：（１）∠CMD' ∠MCN 两直线平行，内错角相等
∠CMD' ∠MCN 等角对等边
（２）EC＝２MN；理由如下：
∵由四边形 ABEM 折叠得到四边形 A'B'EM，
∴∠AME＝∠A'ME，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∴∠AME＝∠MEN，
∴∠A'ME＝∠MEN，∴MN＝EN，
∵MN＝CN，∴MN＝EN＝NC，即 EC＝２MN.
（３）∵矩形 ABCD 沿 MC 所在直线折叠，
∴∠D＝∠D'＝９０°，DC＝D'C＝２，MD＝MD'＝４，
设 MN＝NC＝x，∴ND'＝MD'－MN＝４－x，
在 Rt△ND'C 中，∠D'＝９０°，
∴ND'２＋D'C２＝NC２，∴（４－x）２＋２２＝x２，
５ ５
解得 x＝ ，∴MN＝ ，∴EC＝２MN＝５.
２ ２
25．综合运用．
如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4 cm，点 O 是对角线 AC 的中点，动点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，点 P以 1 cm/s 的
速度沿边 AB 向终点 B匀速运动，点 Q 以 2 cm/s 的速度沿折线 BC－CD 向终点 D 匀速运动，连接 PO 并延长交边 CD 于点
M，连接 QO 并延长交折线 DA－AB 于点 N，连接 PQ，QM，MN，NP，得到四边形 PQMN．设点 P 的运动时间为 x(s)(0＜x＜
4)，四边形 PQMN 的面积为 y(cm2)．
【答案】
解：（１）（４－x） x
（２）当０＜x≤２时，点 Q在边 BC 上，
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC，
∴∠QCO＝∠NAO，∠CQO＝∠ANO，
∵点 O是对角线 AC 的中点，∴CO＝AO，
∠QCO = ∠NAO
在△QCO 和△NAO 中， ∠CQO = ∠ANO，
CO = AO
∴△QCO≌△NAO（AAS），∴CQ＝AN.
∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC＝AB＝CD＝AD＝４ cm，
∵BQ＝２x cm，∴CQ＝BC－BQ＝（４－２x）cm，
∴AN＝（４－２x）cm，
∴DM＝CD－CM＝（４－x）cm，DN＝AD－AN＝２x cm，
１ １
∴S△APN＝ AP·AN＝ x（４－２x）＝２x－x２，
２ ２
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{#{QQABRQyQoggAAJBAARgCAQ3ACECQkBCCAAoGQAAAsAABiAFABAA=}#}
同理 S△CMQ＝２x－x２，S△BPQ＝４x－x２，S△DMN＝４x－x２，
∴y＝S正方形 ABCD－S△APN－S△CMQ－S△BPQ－S△DMN
＝４２－２（２x－x２）－２（４x－x２）
＝１６－４x＋２x２－８x＋２x２＝４x２－１２x＋１６；
当２＜x≤４时，点 Q在边 CD 上，如图，
同上△MCO≌△PAO，△QCO≌△NAO，
∴MO＝PO，QO＝NO，∴四边形 PQMN 是平行四边形，
∵AP＝x cm，AN＝CQ＝（２x－４）cm，
∴PN＝AP－AN＝x－（２x－４）＝（－x＋４）cm，
∴y＝AD·PN＝４（－x＋４）＝－４x＋１６.
4x2 12x + 16(0 < x ≤ 2)
综上，y＝ 4x + 16(2 < x ≤ 4) .
４ ８
（３）当四边形 PQMN 是轴对称图形时，x的值是 或 .
３ ３
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{#{QQABRQyQoggAAJBAARgCAQ3ACECQkBCCAAoGQAAAsAABiAFABAA=}#}
