模型1 “加线三角形”模型
【问题背景】解三角形问题常常涉及“加线三角形”，如图1，中，点在上，线段把分成和，则，从而，代入余弦定理得到边的数量关系，此关系式可作为“加线三角形”的解题通法．
若是中线，则有，平方得，如果已知的长度以及角，就能求出中线的长度．此结论一般化，就是三角形中的“爪子”定理：若，则．
若是角平分线，则有，此结论揭示了角平分线分边所成的性质，即得到边的比值关系，解题时借助此性质可进行相关转化和消元．
图1
【解决方法】
【典例1】
（2024福建莆田二中9月第一次月考）
在中，内角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为______．
【套用模型】方法一 在中，由余弦定理得，
即 ①．
第一步：判断所加线段的特征．
因为，所以，点为边的中点，是中线．
第二步：挖掘特征线的相关性质．
，即，
【易错】注意此处为，而不是
在和中，由余弦定理可得，
即，即 ②．
第三步：转化和消元，联立①②消去．
联立①②消去，可得．
第四步：进一步求解问题，应用基本不等式求最值．
因为，当且仅当时等号成立，所以，即．
所以的面积．
故面积的最大值为．
方法二：
第一步：判断所加线段的特征．
因为，所以点是边的中点，是中线．
第二步：挖掘特征线的相关性质．
所以，则，
第三步：进行相关转化和消元．
又，所以，当且仅当时等号成立，
【易遗漏】有意识地养成习惯，遇到基本不等式就要验证等号能否取到，形成“肌肉记忆”
所以．
第四步：进一步求解问题．
所以的面积．
故面积的最大值为．
【典例2】
（2024江苏盐城响水中学9月测试）
在中，记内角所对的边分别为，已知，中线交于，内角平分线交于，且，则的面积为______．
【套用模型】第一步：判断三角形的特征．
，即，即，
移项得，即，所以．
【会转化】利用三角形特征，应用正弦定理进行角化边
第二步：挖掘特征线的相关性质．
由角平分线定理可知，，所以．
第三步：进行相关转化和消元．
又，所以，所以，可得．
第四步：进一步求解问题．
所以，所以，所以的面积．
【典例3】
（2024山东烟台牟平区9月测试）
已知在中，内角所对的边分别为，已知，若平分并交于，且，则的面积为______．
【套用模型】第一步：判断所加线段的特征．
在中，为的平分线，则．
第二步：挖掘特征线的相关性质．
，即，
又，则上式即，整理得．
第三步：进行相关转化和消元．
由，得，
【会转化】由余弦定理列方程，变形并替换，即可转化为关于的方程，把看作一个整体求解
又，则，而，得．
第四步：进一步求解问题．
所以
（2024·广东·校联考模拟预测）
1．已知在 中， 的平分线 把三角形分成面积比为4:3的两部分，则 .
（2024·广东深圳·深圳外国语学校二模）
2．已知的三个角所对的边为.若，为边上一点，且，则的最小值为 .
（2024·河南安阳·校联考一模）
3．已知是内的一点，且，，若，，的面积分别为，则的最小值为 ．
（2024·全国·模拟预测）
4．如图，某景区有三条道路，其中长为千米，是正北方向，长为千米，是正东方向，某游客在道路上相对东偏北度的且距离为千米的位置，则 .
（2024·江苏泰州·统考一模）
5．如图，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在上，则的边长是 ．
（2024·全国·模拟预测）
6．如图，在中，，，分别是，上一点，满足，.若，则的面积为 ．
（2024·盐城中学模拟预测）
7．中，，是的中点，若，则 ．
（2024·贵州贵阳·统考一模）
8．如图，平面四边形中，与交于点，若，，则 ．
（2023·福建漳州·统考二模）
9．中，内角、、所对的边分别为、、．若，，且点M满足．
（1）求角；
（2）求的长．
（2024·甘肃兰州·校考一模）
10．中，，点在边上，平分．
(1)若，求；
(2)若，且的面积为，求．
（2023·四川成都·统考一模）
11．如图，是等边三角形，是边上的动点(含端点)，记，.
(1)求的最大值；
(2)若，，求的面积．
（2023·吉林·东北师大附中校考二模）
12．的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）已知，，且边上有一点满足，求．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】根据角平分线以及面积之比可得,进而根据正弦定理得,由二倍角公式即可求解.
【详解】因为，所以，
故，由面积公式可得,因为，故可得，
由正弦定理得，又，即，由于,故.
故答案为:
2．
【分析】设,则,则由可以推得,
再利用面积公式可以解出,从而根据,可以推出,最后利用基本不等式即可得出结论.
【详解】设,()则,
,
,即,
化简得,即,
故,,
又,
所以,
即,即,
,(当且仅当时取等号),
故答案为:.
【点睛】本题考查解三角形和基本不等式的综合运用,难度较大.
3．
【详解】试题分析：由，得，，所以，则即．所以当且仅当时，取得最小值．
考点：均值不等式求最值．
【方法点睛】本题应先从已知条件入手，得到适当的结论，即利用面积关系得到，，此时才能看到已知与所求的关系，然后对所求式子进行变形得求最值得关键，接下来易求最大值．本题的难点在于，不能直接看到条件和所求的关系，我们应相向考虑即由已知可得到什么，所求需要什么，这样考虑一步，题目可能就有思路了，望同学们做后多思．
4．
【分析】方法一：利用等面积法可知，再利用同角三角函数的基本关系化简计算可得结果.
方法二：有垂直可以考虑建立坐标系：，，利用三点共线（向量公式或者斜率公式）即可.
【详解】千米,千米,
三角形的面积，由面积和法得：，
，两边平方可得：
，∴，
，
解得：，由，
解得：.
法二：由题意可知,以为坐标原点，为轴建立坐标系，则有，，,
因为,所以，
化简可得：
两边平方可得：
，∴，
，
解得：，由，
解得：.
故答案为：.
5．
【详解】试题分析：设的边长是，则，由得：解得
考点：两角和余弦公式应用
6．
【分析】过点E作EF⊥AC于F，然后结合相似三角形的性质和余弦定理求得EF的长度，最后结合面积公式求解的面积即可.
【详解】如图所示，过点E作EF⊥AC于F.
由∠A=90°，知EF//AB，由BE=4CE，得EF=AB.
设EF=x，则AB=5x.
又∠ADB=∠CDE=30°,得BD=10x，AD=，∠BDE=120°.
由勾股定理，得.
又由余弦定理，得，
又，所以，则.
解得：或(不合题意，舍去).
故.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形的面积公式，相似三角形的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．
【分析】利用正弦定理，求得，列出方程，整理即可求得结果.
【详解】设Rt△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c.
在△ABM中，由正弦定理，
∴sin∠AMB＝sin∠BAM＝.
又sin∠AMB＝sin∠AMC＝，
∴＝，整理得(3a2－2c2)2＝0.
则＝，故sin∠BAC＝＝.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属基础题.
8．##
【分析】
由向量对应的比例关系、正弦定理，首先可列方程结合求得，进一步结合余弦定理可表示出，由此即可得解.
【详解】
如图，设，，，
，
则：在中，有，
在中，有，
两式相除得，化简得，又，
所以，即，
所以.
在中，由余弦定理，解得，
进一步继续在中，由勾股定理有，所以，
所以.
故答案为：.
9．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理边角互化、诱导公式化简可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理计算出的值，由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长．
【详解】（1），由正弦定理可得，
，，可得，，
，；
（2），则，
，则，，
由余弦定理可得，
整理得，，解得，
.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
10．(1)或；
(2).
【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的关系，求出，的正余弦值，再由互补关系求出；
（2）由和的面积为，分别求出和，再根据余弦定理求出的值.
【详解】（1）由正弦定理得，AB＝2AC，C＞B，
又∵，∴，
∵，
∵AB＝2AC，∴C＞B，即大边对大角，，
又∵，∴，
∵，
∴
或，
（2）设AB＝2AC＝2t，∠CAD＝θ，∴AD＝AC＝t，
∵，∴，
∴，
∵为三角形的内角，，∴，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
在△ABC中，运用余弦定理可得，
，
∴．
11．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到，利用两角和与差公式将所求化为，从而结合的取值范围即可得解；
（2）利用三角函数的平方关系与和差公式求得，再利用正弦定理求得，从而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）由是等边三角形，得，，
，
又，
故当时，即时，取得最大值.
（2）由，且得，
故，
在中，由正弦定理得，又，
故,
故.
12．（1）；（2）.
【分析】(1)由正弦定理化边为角，借助诱导公式及二倍角公式即可得解；
(2)由给定关系探求AD是的平分线，再借助三角形面积即可作答.
【详解】（1）在中，因sin(A+B)=sinC，则有，由正弦定理得，
又，则，即，
显然，，于是有，从而得，
所以；
（2）设边上的高为，边上的高为，
因，，，则有，
从而得，则是的内角平分线，即，
由得，于是有，
所以.
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