模型1 公切线模型
【问题背景】曲线的切线问题是近年来新高考的热点问题，而其中公切线问题由于涉及曲线、参数数量较多，求解难度大，考生往往无法把握解题的关键．此类问题，核心都是设未知数，表示出切线方程并求解，常常与函数、不等式、三角等知识结合在一起考查．
【解决方法】
【典例1】（2024江苏南通8月期初检测）已知函数，则曲线与的公切线方程为______．
【套用模型】第一步：设切点，分别表示出两条曲线的切线方程．
因为，所以，
设曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，
则切线方程为，即，
整理得．
又切线方程也可表示为，即，
整理得．
第二步：得出关于切线方程系数的方程．
所以消去，整理得．
【点技巧】合理消元，若消去，则会产生对数，求解复杂，应该消去，由，得
第三步：构造函数，利用函数的单调性求解切点坐标．
令，
则．
令，
因为，所以函数在上单调递增，又函数在上单调递增，
所以在上单调递增．
又，所以当时，；当时，．
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
因此函数只有一个零点，即关于的方程只有一个解．
【破瓶颈】此方程无法直接求解，构造函数，应用导数分析函数单调性，求得零点
第四步：求得公切线方程．
由得切线方程为，所以公切线方程为．
【典例2】（双空题 2024江苏基地大联考第一次质量监测）已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：______，______．
【套用模型】第一步：设切点，分别表示出曲线和的切线方程．
设直线与曲线和分别切于点，
由可得切线方程分别为，即．
第二步：得出关于切线方程系数的方程．
因此，则，又，
所以．
【指点迷津】根据曲线和的公切线斜率相等，可得，根据两个切线方程的对应系数相等列方程，化简整理求解
第三步：化简求切点横坐标．
化简得，解得或．
第四步：求得两条切线方程．
当时，，切线方程为；当时，，切线方程为．
【典例3】（2024安徽合肥一中9月模拟）曲线与的两条公共切线的斜率分别为，设两切线的夹角为，则______．
【套用模型】第一步：设切点横坐标，分别表示出曲线与的两条公共切线的方程．
设两条公切线与曲线相切的两个切点横坐标分别为，与曲线相切的两个切点横坐标分别为，其中，则且．
由，可得．
斜率为的切线方程为，也可以表示为；
斜率为的切线方程为，也可以表示为．
第二步：得出关于切线方程系数的方程．
所以整理得，同理得．
【会类比】与的“地位”一样，得到的关系式，可同理得到的关系式
第三步：构造函数，利用函数的单调性得切点横坐标的关系式．
因此是方程的根，又，
所以若是方程的根，则也是方程的根．
设，
易知，则在上单调递增，
于是函数在上各有一个零点，即方程有两个不等根，
则，即．
【扫清障碍】函数无法求出零点，但可分析得到，进而可得
第四步：求代数式的值．
令斜率为的切线倾斜角分别为，则，
，所以．
（2024·安徽·高三校联考阶段练习）
1．已知函数，，若直线与曲线及均相切，且切点相同，求公切线的方程为 ．
（2024·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）
2．若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为 .
（2024·福建厦门·统考模拟预测）
3．已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ．
（2024·江苏南通·高三统考期末）
4．已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程： ， ．
（2024·高三上·江苏泰州·期中）
5．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的最小值为 ．
（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）
6．曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
（2024·广东·校联考模拟预测）
7．曲线与的公共切线的条数为 ．
（2024·广东深圳·深圳外国语学校二模）
8．已知曲线在点处的切线与曲线相切于点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有2个零点
B．函数在上单调递增
C．
D．
（2024·河南安阳·校联考一模）
9．已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)试判断曲线与是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线的方程；若不存在，请说明理由.
（2024·全国·模拟预测）
10．如果有且仅有两条不同的直线与函数的图象均相切，那么称这两个函数为“函数组”．
(1)判断函数与是否为“函数组”，其中为自然对数的底数，并说明理由；
(2)已知函数与为“函数组”，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．．
【分析】由条件可知，求得切点后，再求切线方程.
【详解】设切点为，
由，得 解得，，
故切线方程为，即．
故答案为：
2．
【分析】先分别求出和的导数，然后设公共切点的坐标为，，根据题意有，，代入相应表达式列出方程组，解出与的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程．
【详解】，，则有，．
设公共切点的坐标为，，则
，，
，．
根据题意，有
，解得．
公切线的切点坐标为，切线斜率为2．
公切线的方程为，即．
故答案为：
3．##0.5
【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.
【详解】，
假设两曲线在同一点处相切，
则，可得，即，
因为函数单调递增，且时，
所以，则，此时两曲线在处相切，
根据曲线的变化趋势，若，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，
所以的最大值为.
故答案为：.
4．
【分析】设出切点，利用切点求解切线方程，联立方程即可求解切点处的值，代入即可求解切线方程
【详解】，，
设直线与曲线和相切于点，则所以切线方程分别为，因此则，又，将代入可得或，解得或，将其代入中，因此当时，切线方程为，当时，切线方程为，
故答案为：,
5．
【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来列方程组，得到与满足的关系式，将原式中的替换，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】曲线在点A处的切线可写作
设该切线在曲线上的切点为，
则有，消去t得
则
当且仅当，即时取得该最小值.
故答案为：.
6．
【分析】根据导数的几何意义可求出；将此公切线恒在函数的图象上方，转化为恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.
【详解】由得，
设曲线过点的切线的切点为，
则切线的斜率为，切线方程为，
由于该切线过点，所以，
设该切线与曲线切于，因为，所以，所以该切线的斜率为，
所以切线方程为，将代入得，得，
所以，所以，所以，所以.
由以上可知该公切线方程为，即，
若此公切线恒在函数的图象上方，
则，即恒成立，
令，则，
令，得，得，
令，得，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为时，，所以当时，取得最小值.
所以.
【点睛】关键点点睛：求解第二个空时，转化为不等式恒成立，利用导数求解是解题关键.
7．2
【分析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则
，则公切线条数为零点个数.
【详解】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则，
注意到，，则由，可得
.
则公切线条数为方程的根的个数，
即函数的零点个数.
，令，则，
得在上单调递增.因，
则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，
故，
又注意到，
，则，
使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.
本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题有范围，故选择消掉，构造与有关的方程与函数.
8．BCD
【分析】利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断A，利用导数判断函数的单调性，即可说明B，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到方程组，从而判断C、D.
【详解】对于A：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
函数的极大值为，极小值为，
因此当时，，
当时，，
又，所以，则在上存在零点，
因此函数只有一个零点，故A不正确；
对于B：，
则，
令，，则，所以在上单调递减，
又在上单调递减，
当时，函数单调递减，所以当时，，
所以函数在上单调递增，故B正确；
对于C：，
因此曲线在点处的切线方程为：
，
由，
因此曲线相切方程为：
，
因为曲线在点处的切线与曲线相切于点，
所以，
因此，故C正确；
对于D：由上可知：，
因此有
，故D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：涉及公切线问题，一般是利用导数的几何意义表示出切线方程，根据两切线相同得到方程组，从而整理得到.
9．(1)在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.
(2)存在，
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）假设曲线与存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为，即可得到，则有，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可知方程在上有唯一实数根，即可得到切点横坐标，再根据导数的几何意义计算可得.
【详解】（1）解：因为定义域为，
所以，令，解得.
当且时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由定义域为，，
假设曲线与存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为，
则，即，
其中即，
记，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
故方程在上有唯一实数根，经验证也满足，
于是，，
所以曲线与的公切线的方程为，即.
10．(1)它们为“函数组”，理由见解析
(2)
【分析】（1）设出切点，得到两函数的切线方程，根据斜率相等得到，代入两切线方程，对照系数得到，解得或，求出两条切线方程，得到答案；
（2）设出切点，得到两切线方程，求出，再联立，转化为方程有两个正数根，构造，求导得到其单调性，极值最值情况，数形结合得到答案.
【详解】（1）函数和是“函数组”，理由如下：
设直线与曲线和相切于点，
，，
则切线方程分别为．
因此，则．
故，
，
由于两切线为同一直线，故，
即，又，
故，解得或，
当时，切线方程为，
当时，切线方程为，
因此切线方程为或．
因为有且仅有两条不同的直线与函数和的图象均相切，
所以它们为“函数组”．
（2）因为函数与为“函数组”，
所以它们的图象有且仅有两条公切线．
由，得，
设切点坐标为，，则切线方程为，
，设切点为，则切线方程为，
由题意得有解，因为，所以．
联立，所以．
由判别式，可得．
依题意，关于实数的方程恰有两个不同的正数解．
令，则，
故当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减，
所以．
又，当时，；
所以．又，所以，
实数的取值范围是．
【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程；
当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
