北京市第五十七中学初二第二学期期中试题
数 学 2024.04
学校 姓名 准考证号
考生须知 本试题共 8 页，28 道题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。 试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 答案一律填涂或书写在答题卡上， 试卷上作答无效。 答题卡上，选择题用 2B铅笔作答，其他题用黑色字迹 签字笔作答。
选择题（本题共 20 分，每小题 2 分）
1．下列各组数据能组成直角三角形的是
A．2，3，4 B．4，5，6 C．8，15，17 D．11，12，13
2．如图，□ABCD的对角线 AC，BD 相交于点 O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD 的周长为
A．13 B．5 C．7 D．8
3．下列等式不成立的是
A． B．
C． D．
4、图1是一面旗帜，图2是其示意图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在线段 DA 的延长线上，若∠C =112°，则∠EAB =
A． 38° B． 78° C． 68° D．112°
5、如图，在水塔 O 的东北方向 16m 处有一抽水站 A，在水塔的东南方向 12m 处有一建筑工地B，在 AB 间建一条直水管，则水管的长为
A． 21m B． 20m C． 19m D．22m
6. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，且 OA=OC ，OB=OD ，下列结论不一定成立的是
A．AD=BC B．AB∥CD
C．∠DAB=∠BCD D．∠DAC=∠DCA
7. 在Rt△ ABC 中， D 为斜边 AB 的中点，且 BC=6， AC=8，则线段 CD 的长是
A． 5 B．3 C． D．2
8. 如图，矩形 ABCD 和矩形 BDEF ，点 A 在 EF 边上，设矩形 ABCD 和矩形 BDEF 的面积分别为 S1，S2 ，则 S1 与 S2 的大小关系为
A． S1>S2 B． S1
9.如图，正方形 ABCD 的面积为 4，菱形 AECF 的面积为 2，则 EF 的长是
A． 1 B． C．2 D．
10. 如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将△ ADE 绕点 A 顺时针旋转90°到△ ABF 的位置，连接 EF ，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H ，与 BC 交于点 G。若 BG=6， CG=4，则 CE 的长为
A． B． C．8 D．9
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
11. 在□ABCD 中∠A =50°，则∠C 的度数为 。
12. 使代数式有意义的 x 的取值范围是 。
13. 已知，化简= 。
14. 如图，在数轴上点A表示的实数是 。
15. 如图，在平面直角坐标系 中，菱形ABCD 的顶点D 在 x 轴上，边 BC 在 y 轴上，若点 A 的坐标为（12，13），则点 B 的坐标是 。
16. 如图，正方形 ABCD 中，AB =8，将 △ADE 沿 AE 对折至 △AEF ，延长 EF 交 BC 于点 G，G点刚好是 BC 边的中点，则 ED 的长是 。
17. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，P 为 AB 边上一动点（不与点 A，B 重合），PE⊥OA 于点 E ，PF⊥OB 于点 F，若 AB=8，∠BAD =60°，则线段EF 的最小值为 。
18. 如图，点 A，B，C 为平面内不在同一直线上的三点。点 D 为平面内一个动点。线段 AB ，BC , CD ，DA 的中点分别为 M，N，P，Q 在点 D 的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形 MNPQ 是平行四边形；
②只有有限个中点四边形 MNPQ 是菱形；
③存在无数个中点四边形 MNPQ 是矩形；
④存在两个中点四边形 MNPQ 是正方形。
所有正确结论的序号是 。
三、解 答 题（本题共 64分，第 19、28每 题 8分，第 20、21、22每题 5分，第 23、24每题 6 分，第 25-27题每 题7分）
19. 计算：
（1） （2）
20.下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程
已知: △ABC.
求作: BC 边上的中线 AD
作法:如图，
（1）分别以点 B , C 为圆心，AC，AB 长为半径作弧，两弧相交于 P 点
（2）作直线 AP ，AP 与 BC 交于 D 点
所以线段 AD 就是所求作的中线。
根据上述的作法，
（1）使用直尺和圆规，补全图形;（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明: ∵AC=BP ，AB=CP ,
∴四边形 ABPC 是平行四边形（① ）
∵ AP 、BC 交于点 D ，
∴ BD=CD（② ）
∴ AD 是 △ABC 的中线
21. 如图，点 E，F 分别是 □ABCD 的边 AB，CD 上的一点，连接 BE，DF ，若∠1=∠2,
求证：四边形 DEBF 是平行四边形。
22 . 如图,在 △ABC 中，点 D ，点 E 分别是边 AC，AB 的中点，点F在线段 DE 上，AF =5 BF =12 ，AB =13 ，BC =19 ，求DF的长度。
23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分 ∠BAD ，交 BC 于点 E ，BF 平分 ∠ABC，交 AD 于点 F ，AE 与 BF 交于点 P ，连接EF ，PD 。
（1）求证:四边形 ABEF 是菱形;
（2）若 AB =8，AD =12，∠ABC =60°，求线段 DP 的长。
24. 阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1，在△ABC ，DE//BC 分别交 AB 于 D ，交 AC 于 E。已知 CD⊥BE ，CD =3，BE =5，求 BC+DE 的值。
小明发现，过点 E 作 EF//DC ，交 BC 延长线于点 F ，构造 △BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）。
请回答: BC+DE 的值为 。
参考小明思考问题的方法，解决问题:
如图3，已知□ABCD 和矩形 ABEF ，AC 与 DF 交于点 G ，AC=BF=DF ，求∠AGF的度数
25. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较 和 的大小，我们可以把 a 和 b 分别平方，，，则 ，∴
请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较 ， 大小，c d（填写>，<或者=）。
（2）猜想 ， 之间的大小，并证明。
（3）已知，化简= （直接写出答案）。
26. 定义:平面内一点 P 到点A ，点B ，点C 三个点的距离分别为 PA，PB，PC ，若有PA2+PB2=PC2 ，则称点 P 为 A，B，C 三点关于点 C 的勾股点。
（1）若点 P 为 A，B，C 三点关于点 C 的勾股点，且PA=1 ，PB=3 ，则 PC = ;
（2）如图1，△ABC 与 △ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点 D 为边 BC 上一动点。求证:点 D 为 B，C，E 三点关于点 E 的勾股点;
（3）如图2，△AEC 为直角三角形，∠EAC=90°，点 P 为 A，B，C 三点关于点 C 的勾股点，连接 PA，PC ，作 PD⊥AC ，垂足为点 B ，交 EC 于点 D ，连接 BE ，且 BE∥AP，AP=10 ，EC=16 ，则 AE 的长为 。
27. 在△ABC 中，∠ABC =45°，∠CAB =30°，BC =8，E 是线段 AB 上一动点，连接 CE
（1）如图1，若 AE=AC ，△AEC 的面积为 。
（2）如图2，若 CE=CB ，将线段 CA 绕 C点逆时针旋转90°得到线段 CF ，连接 BF 。若点 G 是线段 BE 的中点，过点 G 作GP//EC 交 BC 于点 P ，交 AF 于点 H ，证明: AH=HF ;
（3）如图3，将 △CEB 沿 CE 翻折至 △CEB’，连接 AB’。D 是线段 AC 上的点，且 AD=BE ,直接写出当 CE+BD 取得最小值时的长度。
28. 在平面直角坐标系 x O y中，对于没有公共点的两个图形 M、N 给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任意一点，若 P、Q 两点间距离的最大值和最小值分别为 d1 和 d2，则称比值 为图形 M 和图形N 的“友谊关联值”，记为 k(M，N)。
已知 □ABCD 顶点坐标为 A（-2，2），B（，-2），C（2，-2），D（，2）
（1）若 E 为□ABCD 边上任意一点，则 OE 的最大值为 ，最小值为 ，因此 k（点O，口ABCD）= 。
（2）若 F（，）为 □ABCD 对角线 BD 上一点，G（，m）为 □ABCD 对角线 AC 上一点，其中
①若，则 k（线段FG,□ABCD）= ；
②若 (线段FG，□ABCD)<8 ，则 m 的取值范围 ；
（3）若 □HIJK 的对角线交点为 O ，且顶点 H（p，n）在直线 AC 上，顶点 K（q，n）在直线 BD上，其中 p6
