广西师范大学附属中学2024年春季学期第一次教学质量检测试题
高二数学（答案）
一、单选题
1、C
2、C
3、C
4、D
5、D
6、C
7、A
8、D
二、多选题
9、BD
10、AC
11、ACD
三、填空题
12、512
13、
14、
四、解答题
15、解
17、
18、
19、
(1）f'(x)=3x2+2bx+c,依题意有
f"(-2)=0,即12-4b+c=0
f'(2)=0
12+4b+c=0
解得b=0,c=-12。
函数f(x)
的解析式为f(x)=x3-12x+1。
(Ⅱ)由条件可知，函数f(x)有极大值
f(←2)=17，极小值f(2)=-15
因为f(x)的图象与直线y=m恰有三个公共点，
所以，-15<<17。
解：(1)证明：因为△PAD是正三角形，
O是AD的中点，
所以PO⊥AD.
又因为CD⊥平面PAD,POC平面PAD,
所以PO⊥CD.
AD∩CD=D,AD,CDC平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.
(2)如图，以0点为原点，分别以OA、OG、OP所在直线为x
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。
D
则0(0,0,0)，A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,
0),G(0,4,0),P(0,0,25),E(-1,2,W3),F(-1,03),E㎡=
(0,-2,0),Ed=(1,2,-5),
设平面EFG的一个法向量为m=(x,y,z),
E家.m=0
所以{
EC.m=0'
即2y=0,
1x+2y-3z=0,
令z=1,则m=(3,0,1),
又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),
设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为O,
所以sg=
-1
√/(3)2+12×1
2
所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为牙，
(3)假设线段PA上存在点M,
使得直线GW与平面EFG所成角为石，
即直线CM与平面EFG的一个法向量m所成的角为牙，
设PM=入P,入∈[0,1]，
GM =CP+PM =CP+PA,
所以G=(2入，-4,2√3(1-A)),
所以cos号=lcos(c,m)1=
3
2√4λ2-6A+7
整理得22-3入+2=0，
△<0，方程无解，
所以，不存在这样的点M.
(1)解E(X)=0×0.4+1×0.3
+2×0.2+3×0.1=1.
(2)证明设f(x)=p3x3+p2x2十
(p1-1)x+p0,
因为p3+p2十p1十p。=1,
故f(x)=p3x3+p2x2-（p2十p0十
p3)x十p0,
若E(X)≤1，则p1十2p2十3p3≤1，
故p2十2p3≤p0.
f'(x)=3p3x2+2p2x-（p2十po+p3),
因为f'(0)=-（2+p。+p3)<0,
f'(1)=p2+2p3-po≤0，
故f'(x)有两个不同零点x1,x2,且
x1<0<1≤x2,
且x∈(-∞，x1)U(x2,十∞)时，
f'(x)>0;x∈(x1,x2)时，
f'(x)<0,
故f(x)在(-∞，x1),(x2,+∞)上
单调递增，在(x1,x2)上单调递减，
若x2=1,因为f(x)在(x1,x2)上单
调递减且f(1)=0,
而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1,
x2)上单调递减，
故f(x)>f(x2)=f(1)=0,
故1为p0十p1x十p2x2十p3x3=x
的一个最小正实根，
若x2>1,因为f(1)=0且在(0，x2)
上单调递减，故1为p,十p1x十p2x2
十p3x3=x的一个最小正实根，
综上，若E(X)≤1，则p=1.
若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,广西师范大学附属中学2024年春季学期第一次教学质量检测试题
高二数学
一、单选题
1.已知等差数列中，，则公差的值为
A. B.1 C.-1 D.
2.的展开式中的系数为
A.10 B.20 C.40 D.80
3.已知直线与直线互相垂直，则
A.-1 B. C.1 D.4
4.点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为
A. B. C. D.
5.从1,2,3,4,5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，至少有一个是奇数的概率为
A. B. C。 D。
6.已知圆则“两圆内切”是
“”的
A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线的渐近线上一点，且，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
8.已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点是的内心成立，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知某产品的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）之间的关系如下表：
（单位：万元） 0 1 2 3 4
（单位：万元） 10 15 30 35
若根据表中的数据用最小二乘法得与的回归直线方程为，则下列说法中正确的是
A.产品的销售额与广告费用成正相关 B.该回归直线过点
C.当广告费用为10万元时，销售额定为74万元 D.的值是20
10.已知点是所在平面外一点，若，下列结论正确的有
A. B. C. D.
11.法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法中正确的是
A.椭圆的蒙日圆方程为
B.过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为为直角时，直线的斜率为
C.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
D.若为正方形，则的边长为
三、填空题
12.已知递增的等比数列中，，则数列的前6项积为
13.若曲线处的切线与直线垂直，则
14.对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，数列的“差数列”，则数列的前n项和
四、解答题
15.(本小题13分)
已知数列是等差数列，是的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
16.(本小题15分)
已知椭圆的焦距为2，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程
（2）经过椭图的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求线段的长。
17.(本小题15分)
已知函数的单训递增区间是单调递减区间是.
求函数的解析式；
若的图象与直线恰有三个公共点，求的取值范围
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，△是正三角形，平面，分别是的中点.
（1）求证：⊥平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求
线段的长度；若不存在，请说明理由。
19.(本小题17分)
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，
(1)已知；
(2)设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义。
