新惠中学 2023—2024 学年度高一下学期月考试题
数学试题（2024.04.16）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知集合 A {1,2,3,4}， A B {1, 2,3, 4,6}， A B {2,4}，则 B
A．{1,4,6} B．{2,4,6} C．{2,3, 4} D．{1,2,4}
2．设命题 p：sin > 1
π
，q：x> ，则 p是 q的
2 6
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在如图所示的图形中，圆的半径均为 1，且相邻的圆都相切，A,B,C,D是其中四个圆的圆
心，则 + = A D
A. 6 B．6
C . C 2 3 D．2 3
B
4. ΔABC中， a、b、 c分别是内角A、 B、C的对边，
2 2 2 a b c ( A B A C
若 S 且 ) BC 0 ABC ，则 ABC的形状是4 | AB | | AC |
A．有一个角是 的等腰三角形 B．顶角是 45°的等腰三角形
6
C．等腰直角三角形 D．不能确定三角形的形状
5. cos 310°+ cos 110°
2
计算 的值为
1 cos20°
3
A 1 B 1． ． 2 C． D．22
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6. 平面向量 a，b，e 满足 = 1， =1， =2，则 + 的最小值为
A.3 B. 2 C. 3 D. 1
2
7．对于函数 f (x)，在使 f (x) M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数 f (x)的
“下确界”. 若函数 f (x) 3cos 2x 1， x
1
,m 的“下确界”为 ，则m的取值范围 3 6 2
是
, , , 5 5 A． B． C
． D．
6 2 6 2 6 6
,
6 6
8. 在 ABC 中，若 = = = ， = = 2，∠BAC=120°，则
的取值范围是
A. 2，8 B. 2，6 C. 4，8 D. 4，6
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的或不选得 0分.
9．下列关于平面向量的说法中正确的是
A．设 a,b ,c 为非零向量，则 a b c a b c
B．设a,b 为非零向量，若 | a b | | a b |，则 ⊥
C．设a ,b 为非零向量，若a b 0，则 a,b 的夹角为锐角
D．若点G为 ABC的重心，则GA GB GC 0
10．在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，下列说法正确的是
π
A．若 A ， sin2 A sin B sinC，则 ABC3 为等边三角形
B．A B 是cos2A cos2B成立的充要条件
b a2 2 c b
2
C ABC ．若 的面积为 ，则 A B π
4a 2
1 2
D．若D点满足 BD BC，且2sinC sin B，则 sin BAD sin CAD
4 3
11．已知定义域均为R 的奇函数 f x 和偶函数 g x ，满足 f x g x 2cos 2x 2sin 2x，
则
A． f x 0, π 在 上单调递增 4
B． f
5π
g
5π
6 6
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3π
C．函数 f x 的图象向左平移 个单位长度，即可得到函数 g x 的图象
4
π 16
D．当 x 0, 时， f x f x 的最大值为 8 2
12．在 ABC中，D,E,F分别是边BC, AC, AB中点，下列说法正确的是
A．DA EB FC 0
B．点M 在边 BC AM
2 1
上，且 AB AC，则 1AMC的面积是 ABC面积的
3 3 3
A B AC 3 A D C．若 AB AC AD ，则BD是BA在 BC的投影向量
D．若点 P是线段 AD 1上的动点，且满足 BP BA BC，则 的最大值为
4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知向量，a (k,3),b (1,4),c (2,1)且 (2a 3b ) c ,则实数 k __________.
f x cos2x 1 π π14．若函数 sin x ，当 x ,
时，函数的值域是 .2 3 2
15．在 ABC中，三个内角 A、B 2π、C所对的边分别为a、b、c， a 2 3， A ，则b c3
的取值范围为 ．
π
16．如图，公园要在一块圆心角为 ，半径为10m的扇形草坪
3
OAB中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若EF //AB，
则文化景观区域CDEF 面积的最大值为 m2．
第Ⅱ卷
四、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
e ,e π ,a
17．（本题满分 10分）已知单位向量 1 2 的夹角为 2e1 e2 ,b 2e2 3e1 .3
(1)求 a
；
(2)求a与b 的夹角.
18 2 2．（本题满分 12分）已知函数 f x 3 sin x sin 2x 3 cos x .
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)若 f x0
6
x
5π 2π
，
5 0
, ，求 cos2x 的值.
12 3 0
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19．（本题满分 12分）已知 ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，向量 = ， ，
= ， 且 = sin + .6
(1)求角 B的大小；
(2)若 = 2，b = 6，，求cos 2 的值.
20.（本题满分 12分）高三年级学生李波研究函数 = 时，发现它的定义域是 R，图像
连续不断，而且 f（x）在 ∞，1 上单调递增，在 1，+∞ 上单调递减. 请你根据李波的研
究成果，讨论一下方程 = 0的解的个数.
21．（本题满分 12分）在 ABC中，2 3cos2 B + sin B = 1 + 3
2
(1)求角 B的大小； A
(2)若 E 为 BC 的中点，F是 AC边上的点，且满足 BF⊥AE F，
2 sin BC cos = 0，求 的值． B E C
22．已知函数 f (x)= 3sin( x )
x
2sin2 1( 0,0 π)为奇函数，且 f (x)图
2
π
象的相邻两对称轴间的距离为 .
2
x [ π , π（1）当 ]时，求 f (x)的单调递减区间；
2 4
π
2 1（ ）将函数 f (x)的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 2 （纵坐标不变），6
y g(x) x [ π , π得到函数 的图象，当 ]时，求函数 g(x)的值域.
12 6
4 π 4π
（3）对于第（2）问中的函数 g(x)，记方程 g(x) 在 x [ , ]上的根从小到大依次为x ，
3 6 3 1
x ， x2 n，试确定 n的值，并求 x1 2x2 2x3 2xn 1 xn的值.
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数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D A C C A A B BD ABD BC AC
3 13
填空题：13. 3 14. , 15. 2 3,4 16. 100(2 3) 2 8
一、单选题
1. 【答案】B
2. 【答案】D
3.【答案】A
【详解】由图可得 = ， A E D
所以 + = + = ，
F C
如图易知， AEF中，AE = EF = 2 ,∠AEF = 120°,
∴ AF = 2 3且∠AFE = 30° B
所以， + = = 2 3 × 2 × cos 150° = 6
故选：A．
4.【答案】C
AB
【详解】如图所示，在边 AB、 AC上分别取点D、 E，使 AD 、 AE
A C ，
| AB | | AC |
以 AD、 AE为邻边作平行四边形 ADFE，
则 AF AD AE，显然 | AD | | AE | 1，
AB AC
因此平行四边形 ADFE为菱形，AF平分 BAC，而 ( ) BC 0，则有
| AB | | AC | AF BC 0，
即 AF BC，
于是得 ABC是等腰三角形，即b c，令直线 AF交 BC于点 O，则 O是 BC边的中点，
1 a2 b2 c2S ABC a AO
1 1 1
，而 S ABC a
2，因此有 AO a BC，从而得 BAC 90 ，
2 4 4 2 2
所以 ABC是等腰直角三角形.
故选：C
5.【答案】C
{#{QQABKQQQogCoAJIAARhCAQnwCAMQkBACCAoGwAAEoAIBSBFABAA=}#}
cos 310°+ cos 110° 2 = cos 50° cos 70°
2
= cos 60° 10° cos 60°+10°
2
【详解】
1 cos 20° 1 cos 20° 2 210°
= 3.
2
故选：C.
6.【答案】A
【详解】设 e=（1,0），a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a e=1 得 x1=1，b e=2 得 x2=2，
所以 a=（1，y ），b=（2 y ），所以 a+b=（3，y +y ），所以 + = 32 + 1 + 2 21 ， 2 1 2 ≥ 3，
故选：A
7．【答案】A
【详解】由题意 f (x)
3cos 2x 1， x
,m
1
的最小值是 ，
3 6 2
f ( 又 ) 3cos(
) 1 2 1 3cos 1 ，
6 3 3 3 2
由3cos(2x
1 1 2
) 1 ，得 cos(2x ) ，2k 2x 2k
2
，
3 2 3 2 3 3 3
k x k ,k Z， k 0时， x ，所以 m ．
6 2 6 2 6 2
故选：A．
8.【答案】B
【详解】因为 = = = ，所以 O为 ABC的外心，且 P为 ABC外接圆上
的动点，又 = = 2，∠BAC=120°，所以 BC=2 3，所以 ABC外接圆的半径 r=2，
如图，作 PD ⊥ AB,垂足为 D则 = A P A B cos ∠PAD = A P A D = 2 A D .
所以，当 PD与圆相切时， 取最值，
即 P在 P1处取最大值 6，在 P2处取最小值 2，
所以 取值范围是 2，6 故选：B
二、多选题：
本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分.
9．【答案】CD
{#{QQABKQQQogCoAJIAARhCAQnwCAMQkBACCAoGwAAEoAIBSBFABAA=}#}
【详解】对于 A， a ,b ,c 为非零向量，则 a b c表示与c 共线的向量，
a b c 表示与 a共线的向量，而a,c不一定共线，故 a b c a b c 不成立，A错误；
对于 B，当 a,b 0 时，a b | a || b | 0，
故a b 0，则 a
,b 的夹角为锐角或零角，B错误；
对于 C，a,b 为非零向量，若 | a b | | a b |，则 (a b)2 (a b)2 , a b 0，
即a b，C正确；
对于 D，如图设 D为BC的中点，点G为 ABC的重心，
则 AG 2GD GB GC，即GB GC AG 0
即GA GB GC 0，D正确，
故选：CD
10．【答案】ABD
π
【详解】选项 A，因为 A ， sin2 A sin B sinC，由正弦定理得到 a2 bc，3
又由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos
π
，得到bc b2 c2 bc，即 (b c)2 03 ，
所以b c，故选项 A正确；
选项 B，因为cos2A cos2B，所以1 2sin2A 1 2sin2B，即 sin2A sin2B，
又 A,B (0, π)， sin A 0,sin B 0，所以 sinA sinB，
由正弦定理得， a b，又由三角形中，大边对大角，得 A B ，又以上过程均可逆，故选
项 B正确；
b a2 c2 b2
选项 C，因为 S 1 acsin B 2bac cosB ，整理得 a sin B bcosB，
2 4a 4a
又由正弦定理可得 sin Asin B sin B cosB，即 sin A cosB，所以 sin A cos(
π
A) cosB，
2
π π π
故 A B或 A B
π
，得到 A B 或 A B ，故选项 C错误；
2 2 2 2
BD AB
选项 D，如图，在 ADB中， ，在△ADC
DC AC
中， ，
sin BAD sin BDA sin CAD sin CDA
BDsin CAD ABsin CDA 1
两式相比得 ，因为BD BC，且 2sinC sin B，
DCsin BAD ACsin BDA 4
1
所以 BD DC
sin CAD 3
， 2AB AC，且sin BDA sin CDA，所以 ，
3 sin BAD 2
{#{QQABKQQQogCoAJIAARhCAQnwCAMQkBACCAoGwAAEoAIBSBFABAA=}#}
故 sin BAD
2
sin CAD，所以选项 D正确.
3
故选：ABD.
11．【答案】BC
f x g x 2cos 2x 2sin 2x
【详解】由题意及诱导公式可知：
f x g x 2cos 2x 2sin 2x
，
两式相加得2g x 4cos2x g x 2cos2x，所以 f x 2sin 2x，
π
对于 A， x 0, 2x
0,
π
， 4 2
由正弦函数的图象与性质可知 f x 2sin 2x单调递减，即 A错误；
f 5π 2sin 5π 3 g 5π 5π 对于 B，根据诱导公式易知 2cos 1，
6 3 6 3
即 B正确；
3π
对于 C，函数 f x 的图象向左平移 个单位长度，
4
即可得到函数 2sin
2 x 3π 2sin
2x 3π
4 2
2cos 2x g x ，故 C正确.
对于 D x ， 0,
π
时，易知 f x 2sin 2x 2,0 ，令 t f x ，
2
16
由对勾函数的性质可知 y t t 2,0 在 t 2时取得最大值 10，故 D错误
t
故选：BC
12．【答案】AC
【详解】对选项 A，如图所示：
1 1 DA EB FC AB AC BA 1 BC CA CB
2 2 2
1 1 1 1 1 1
AB AC BA BC CA CB
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
AB AC AB BC AC BC 0，故选项 A正确；
2 2 2 2 2 2
2 1
对选项 B，因为点M 是边BC上的点，且 AM AB AC，
3 3
所以M 为边 BC上靠近点 B的三等分点，
S AMC CM 2
S ，故 B不正确； ABC CB 3
{#{QQABKQQQogCoAJIAARhCAQnwCAMQkBACCAoGwAAEoAIBSBFABAA=}#}
AB
对选项 C， ,
A C , A D
AB AC AD 分别表示平行于 AB, AC, AD的单位向量，
AB AC
由平面向量加法可知： 为 BACAB AC 的平分线表示的向量，
因为
A B A C 3AD
AB AC AD ，所以 AD为 BAC的平分线，
又因为 AD为 BC的中线，所以 AD BC，如图所示：
BD
BA在 BC的投影为 BA cosB BA BD ，
BA
所以 BD是 BA在 BC的投影向量，故选项 C正确；
对选项 D，如图所示：
BP BA BC BA 2 BD
因为 P在 AD上，即 A,P,D三点共线，
2 1 2 2 ，
1 1 ，当且仅当 2 时等号成立，
8 2
1取得最大值为 ，故选项 D错误．
8
故选：AC．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.【答案】3
【详解】
(2a 3b ) c
(2a 3b ) c 0 2a c 3b c 0 2(2k 3) 3 6 0 k 3.
3 ,13
14．【答案】
2 8
1
【详解】 f x cos2x sin x 1 2sin2 x 1 3 sin x 2sin2 x sin x ；
2 2 2
x π π
3 3
当 , 时， sin x ,1 ， 令 t sin x ,1 ， g t 2t 2 t
3
，
3 2 2 2 2
g t 1为开口方向向下，对称轴为 t 的抛物线，
4
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1 1 1 3 13 g t g ， gmax t g
3 2 3 3 3 3 ，
4 8 4 2 8 min
2 4 2 2 2
x π π
3 13 3 13
当
,
3 2
时， f x 的值域为 , . 故答案为： , .
2 8 2 8
15．【答案】 2 3,4
2π
【详解】因为 a 2 3， A ，由余弦定理得 a23 b
2 c2 2bccosA，
所以12 b2 2
1 2 3 2
c bc b c 2 bc b c 2 b c b c ，4 4
当且仅当b c 2时等号成立．
b c 2∴ 16，又b c 0 ∴b c 4，又因为b c a 2 3，
所以 2 3 b c 4，即b c取值范围为 2 3,4 ．
故答案为： 2 3,4
16．【答案】100(2 3)
【详解】取D C中点M ，连结OM ，交 EF 于点 P，
交CD于点 N，连结OD，
DOM 0 π 设 ，
6
则DN CN 10sin ， DC 20sin ，
CF DE PN ON OP 10cos PF π 10cos 10 3 sin tan ，
6
文化景观区域面积：
SEFCD 20sin 10cos 10 3 sin 100sin 2 100 3(1 cos2 )
200sin(2 π ) 100 3，
3
π当 2 π π 3 2 ，即 时，文化景观区域面积取得最大值为100(2 3)(m
2)．
12
故答案为：100(2 3)．
第Ⅱ卷
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四、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【答案】(1) a = 7 (2)120
π 1 2 2
【详解】（1）因为 e1 e2 e1 e2 cos ，所以 a2 4 e1 4e1 e2 e2 7，所以 a = 7 .3 2
π 1 2 2e e e 7（2）因为 1 2 1 e2 cos ，所a b 2e1 e2 2e2 3e1 6 e3 2 1 e1 e2 2 e2 ，2
2 2 2
又a2
2
4 e1 4e1 e2 e2 7,b
2 4 e2 12e1 e2 9 e1 7，
a b 7 a
cos a b 1所以 ,设 与b 的夹角为 ， 所以 a b 2，
因为0 180 ，所以 =120° .
18. (1) π (2) 4 3 3【答案】
10
2
【详解】（1）由题意 f x 3 sin x sin 2x 3 cos2 x sin 2x 3 cos 2x 2sin 2x π
，
3
2π
所以函数 f x 的最小正周期为T π2 .
f x 2sin 2x π 6 sin 2x π 3（2）由题意 0 0 ，所以 ，
3 5 0 3 5
x 5π , 2π 2x π π
2
, π cos 2x π 1 3 4而 0 ，所以 0 ，所以12 3
，
3 2 0 3 5 5
所以 cos 2x
0 cos
2x
π π
0 cos 2x
π
0 cos
π
sin 2x
π π
0
sin
3 3
3 3 3 3
4 1 3 3 4 3 3
.
5 2 5 2 10
π
19.【答案】(1)B = 3 (2)
6 2
4
【详解】因为 = cos + cos ，且 = sin +
6
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cos 2 = cos 2 cos + sin 2 sin = 1 × 2 + 3 × 2 = 6 所以， 2
3 3 2 2 2 2 4
20 1 1．【答案】当 ≤ 0或 = 时，方程有 1个解；当 0 < < 时，方程有 2个解；
当 > 1 时，方程无解.
【详解】由 f（x）在 ∞，1 上单调递增，在 1，+∞ 上单调递减可画出函数 =
的可能图像如图，而方程 = 0解的个数即方程 = 的解的个数，等价于函
数 = 与函数 = 的图像的交点个数.
1
所以，当 ≤ 0或 = 时，方程有 1个解；
当 0 < < 1 时，方程有 2个解；
当 > 1 时，方程无解.
21 1．【答案】（1）B=90 ； （2）
2
【详解】（1）由 2 3cos2 B+ sin B = 1 + 3得 3 2cos2 B（ 1） + sin B = 1
2 2
所以， 3 cos B + sin B = 1 即 3 cos B + 1 sin B = 1， ，所以 sin +
= 1
2 2 2 3 2
B + π = 5π 所以 , B=
3 6 2
（2）由 2 sin BC cos = 0 及正弦定理得 2 sin sin sin A cos = 0
y
而 sinA≠0 1，所以 2 sin = cos 即 = 2
以 B为坐标原点，BC、BA所在直线分别为 x、y轴， A
F
1
建立平面直角坐标系如图，设 AB=1，则由 = 2
可得 BC= 2. 易知，A（0,1），C( 2，0)，E( 2，0) B x， E C
2
所以 = 2 , 1 , = 2， 1 ，设 F（x，y），则 = ， 1 ， = ， .
2
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= = = 2 设 ，则有 ，所以 ……… = 1
又 ⊥ ，所以 2 = 0， 将 式代入得 2 2λ 1 + λ = 0，
2 2
∴ λ = 1 = 1，即
2 2
22．【答案】（1）[ ,
] 20 ； （2）[ 2, 3]； （3）n 5， .
2 4 3
【详解】（1）由题意，函数 f (x)= 3 sin( x ) 2sin2
x
1
2
3 sin( x ) cos( x ) 2sin( x )
6
f x π因为函数 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以T ，可得w 2，
2
又由函数 f x 为奇函数，可得 f 0 2sin( ) 0，
6
所以 k ,k Z，因为0 π，所以
，所以函数 f x 2sin 2x，
6 6
3
令 2k 2x 2k ,k
Z，解得 k x
3
k ,k Z ，
2 2 4 4
可函数 f x 的递减区间为[ k , 3 k ],k Z ，
4 4
π π
再结合 x [ , ]，可得函数 f x 的减区间为[ , ] .
2 4 2 4
π
（2）将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，可得 y 2sin(2x )的图象，
6 3
1
再把横坐标缩小为原来的 y g(x) 2sin(4x )2 ，得到函数 的图象，3
π π 4x [ 2 当 x [ , ]时， , ]，
12 6 3 3 3
当4x
时，函数 g(x)取得最小值，最小值为 2，
3 2
当4x
时，函数 g(x)取得最大值，最小值为 3，
3 3
故函数 g(x)的值域[ 2, 3] .
g(x) 4 2sin(4x ) 4（3）由方程 ，即 ，即 sin(4x
) 2 ，
3 3 3 3 3
x [π , 4π
π
因为 ]，可得 4x [ ,5 ]，
6 3 3 3
设
π
4x ，其中 [ ,5 ] sin
2
，即 ，
3 3 3
2 π
结合正弦函数 y sin 的图象，可得方程 sin 在区间[ ,5 ]有 5个解，即 n 5，
3 3
{#{QQABKQQQogCoAJIAARhCAQnwCAMQkBACCAoGwAAEoAIBSBFABAA=}#}
其中 1 2 3 , 2 3 5 , 3 4 7 , 4 5 9 ，
即4x 1 4x2 3 ,4x2 4x3 5 ,4x
3 4x4 7 ,4x
4x 9
3 3 3 3 3 3 4 3 5 3
解得 x1 x
11 , x x 17 2 2 3 , x3 x
23
4 , x x
29
12 12 12 4 5 12
所以 x1 2x2 2x3 2x x (x x ) (x x ) (x x ) (x x )
20
4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 .3
{#{QQABKQQQogCoAJIAARhCAQnwCAMQkBACCAoGwAAEoAIBSBFABAA=}#}
