2023年四川省眉山市仁寿县鳌峰初级中学中考数学一模试卷（3月份）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．无理数的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
2．下列运算正确的是（ ）
A．·＝ B．3－＝3 C．·＝ D．＝＋
3．年2月日，电影《刺猬索尼克》在美国上映，据悉总票房票，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列条件中，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB＝BC C．AC平分∠BAD D．AC⊥BD
6．已知关于x的分式方程有增根，则k的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．已知关于的二元一次方程组的解为，则的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠BAC＝20°，则么∠ADC＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．关于的不等式组的解集为＞3，则的取值范围是（ ）
A．＞1 B．＜1 C．≥1 D．≤1
10．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．6 B．2 C．4 D．30
11．二次函数 的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，正方形的边长为，点在边上运动且不与点、重合，，点在射线上，且，与相交于点，连结、，．则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）的周长为．其中正确的结论是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．分解因式：2x2﹣8=
15．一组数据：1，3，4，3，5，2，这组数据的众数是 .
16．一次函数，若y随x的增大而减小 ．
17．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD= ．
18．如图①，在中，，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设，．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么的值为 ．
三、解答题：（本题8个小题，共78分）
19．＋＋4cos30°－│1－│
20．先化简，再求值：，其中．
21．为了解我县中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成绩分成如下四个组：：，：，：，：，并制作出如下的扇形统计图和直方图．请根据图表信息解答下列问题：
(1)扇形统计图中的m=________，并在图中补全频数分布直方图；
(2)小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在________组；
(3)4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A，C两组学生的概率是多少？请列表或画树状图说明．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出时，x的取值范围；
(3)若P点在x轴上，且满足的面积等于4，请求出点P的坐标．
23．如图，某人为了测量小山顶上的塔的高，他在山下的点处测得塔尖点的仰角为45°，再沿方向前进60m到达山脚点，测得塔尖点的仰角为60°，塔底点的仰角为30°，求塔的高度．（结果保留根号）
24．今年春节，疫情缓解后，湿地公园游客大幅度增长．为了方便更多的游客在景区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
(1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
25．如图，在中，，过点作，垂足于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若半径为4，，求阴影部分的面积；
(3)求证：．
26．如图①，已知抛物线的图象经过点，，其对称轴为直线，过点A作轴，交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当m为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值．
(3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在；直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据绝对值的定义来求解即可．
【解答】解：无理数的绝对值是．
故选：．
【点拨】本题考查了算术平方根，无理数，实数的性质，正确理解负数的绝对值是正数是解答关键．
2．C
【分析】根据运算法则和计算公式对照判定即可．
【解答】∵·＝，
∴A错误，不符合题意；
∵3－＝2，
∴B错误，不符合题意；
∵·＝，
∴C正确，符合题意；
∵，
∴D错误，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，二次根式的乘法，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式展开是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查科学记数法，根据将一个数写成的形式叫科学记数法求解即可得到答案；
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由两直线平行，同位角线段得到，再由三角形外角的性质即可得到．
【解答】解：如图：
∵，
∴，
∴．
故选：B．
5．A
【分析】根据矩形的判定定理，逐一验证判断即可．
【解答】∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴A符合题意；
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴B不符合题意；
∵AC平分∠BAD无法判断平行四边形是矩形，
∴C不符合题意；
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴D不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
6．A
【分析】先化成整式方程，把x=2代入整式方程，确定k值即可．
【解答】∵－＝1，
∴k+3=x-2，
∵关于的分式方程－＝1有增根，
∴x-2=0，
∴k= -3，
故选：A．
【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的增根的意义是解题的关键．
7．B
【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：把代入方程组，
得：，
解得：，
，
故选B．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于、的方程组是解此题的关键．
8．C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，互余的性质，同弧上的圆周角相等计算即可．
【解答】∵AB是⊙O的直径，∠BAC＝20°，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°，
故选C．
【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，互余的性质，同弧上的圆周角相等，熟练掌握性质是解题的关键．
9．D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并不等式组的解集求解即可．
【解答】解：解3x+13＜7x+1，得：x＞3，
解不等式，得：x＞k+2，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴k+2≤3，
解得k≤1，
故选：D．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式分解因式，熟练掌握和灵活进行公式变形是解题的关键．根据根与系数关系定理，结合完全平方公式进行变形计算即可．
【解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
故选：B．
11．D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标判断出a、b、c的符号，进而可得A正确；根据时，，时，y有最大值为，可得B正确；根据当时，，可得C正确；根据对称轴得到与对称即可判别D错误即可得到答案；
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∴，
故选项A结论正确，
当时，，
时，y有最大值为，
∴，
∴，
∴，
故选项B结论正确，
由图象知，当时，
即，
故选项C结论正确；
由题意可得，与关于对称轴为对称，
∴当时，，
∴，
故选项D结论不正确，
故选：D．
12．B
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．在上截取，连接，证明即可判断①②，延长到，使得，证明，即可判断③④．
【解答】解：在上截取，连接，如图：
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，故②正确，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故①正确，
延长到，使得，如图：
可得，
，
，
，
，，
，
，
，，
，故③正确，
的周长
，故④错误，
正确的有①②③，共3个，
故选：B．
13．且．
【分析】根据分式与二次根式有意义的条件可得答案．
【解答】解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．．
【点拨】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．
14．2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【解答】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点拨】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
15．3
【分析】根据众数的定义去解答即可．
【解答】∵数据3出现了2次，次数最多，
∴这组数据的众数是3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了众数即数组中，出现次数最多的数据，正确理解定义是解题的关键．
16．##
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，据此可得，解之即可得到答案．
【解答】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
解得．
故答案为：．
17．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==
∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，
故答案为-1．
【点拨】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
18．7
【分析】将C沿折叠得到，连接交于O，连接，则，故当三点共线时，最小，即此时最小，由图②可知，当最大时，，则，据此求出；证明是等边三角形，得到，则，，再求出，得到，则，即可得到，则．
【解答】解：如图，将C沿折叠得到，连接交于O，连接，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，
由图②可知，当最大时，，
∴当点P与点B重合时，，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴；
∵，，
∴，
由翻折的性质可得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，从函数图象获取信息等等，正确根据图②求出的长是解题的关键．
19．-1
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的函数值，绝对值的化简，二次根式的化简计算即可．
【解答】解：＋＋4cos30°－│1－│
= -+1
=
= -1．
【点拨】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的函数值，绝对值的化简，二次根式的化简，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
20．，
【分析】首先计算小括号里面的分式的减法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再代入a的值可得答案．
【解答】解：原式，
，
．
当时，原式
【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及分母有理化，关键是熟练掌握分式的减法和除法计算法则．
21．(1)144，补全图见解析
(2)C
(3)
【分析】（1）根据：有人，圆心角为，即可求出总数，再求出：的人数，即可得出的值；
（2）因为抽查的总人数为，故中位数为：第个数和第个数的平均数，这两个数都落在组；
（3）列表格求出概率即可．
【解答】（1）解：调查的总人数为（人），
组人数为（人），
所以；
补全图形如下：
（2）解：第个数据和第个数据在组，所以数据的中位数在组，
所以他的成绩在组，
故答案为：；
（3）解：列表如下：
由表可知共有种等可能结果，抽到、组人的共有两种结果，
∴．
【点拨】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，熟练数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据点、的坐标结合图象即可求得；
（3）设，求得直线与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式得出关于的方程，进而方程即可求得．
【解答】（1）把代入可得，
反比例函数的解析式为，
把点代入，可得，
．
把，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）由图象可得，
当时或；
（3）如图，
一次函数的解析式为，令，则，
一次函数与轴的交点，
令，则，
一次函数与轴的交点，
，
设，
，
的面积为5，
，
或，
或．
23．塔高约为m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解；先求出，得出，然后设，则，然后根据，可得，列出方程求出的值，即可求出．
【解答】解：由题知，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
设，则，
，
由题知，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∴
解得：
答：塔高约为m．
24．(1)弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元
(2)购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用
【分析】（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为元，
根据题意，得，解答即可．
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅张，则，
解得；解不等式解答即可．
本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟练掌握解不等式，正确确定等量关系是解题的关键．
【解答】（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为元
根据题意，得根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故 (元)．
答：弧形椅的单价为160元，则条形椅的单价为120元．
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅张
，
解得；
设购买休闲椅所需的费用为W元，
则，
即，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，W有最小值，，
；
答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用．
25．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查圆的综合题型，涉及圆周角定理，相似三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，三角函数，扇形面积计算．
（1）连接，证明即可；
（2）连接，作于，先求得，再得，，根据可得；
（3）连接，证明即可．
【解答】（1）证明：如图1，
连接，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）如图2，
连接
∴
∵为的直径，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴；
（3）证明：如图3，连接
∵是的直径
∴
∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
即．
26．(1)
(2)当时，S有最大值是
(3)存在，点P的坐标是：或或或．
【分析】（1）设抛物线与x轴的另一个交点为D，利用对称思想求得点D的坐标，设出抛物线的交点式，解答即可；
（2）过点P作轴交直线于点F，设，则，
则，把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积．
（3）根据等腰直角三角形的定义，分类解答即可．
【解答】（1）设抛物线与x轴的另一个交点为D，
∵抛物线的图象经过点，其对称轴为直线，
∴，
解得，
故，
设抛物线解析式为，
把代入解析式，得
，
解得，
故抛物线解析式为；
（2）∵平分，且，
∴，
∵轴，交抛物线于点C，
∴，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴点，
∴，
设的解析式为，
∴，
解得，
∴的解析式为，
过点P作轴交直线于点F，
设，则，
则，
∴
，
∴，
，
∴当时，四边形面积最大，最大值为．
（3）①当P在对称轴的左边，过P作轴，交于N，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
则，
∴或
∴或，
解得（舍去），或（舍去），，
∵，
∴或，
∴P的坐标为或；
②当P在对称轴的右边，如图4，过P作轴于N，
同理得，
∴，
∵，
则，
∴或
∴或，
解得，（舍去）或，（舍去），
∵，
∴或，
∴P的坐标为或；
综上所述，点P的坐标是：或或或．
【点拨】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，构造二次函数求面积最值，解一元二次方程，全等三角形的性质和判定，等腰三角形分类计算，熟练掌握待定系数法，正确构造二次函数，活用分类思想是解题的关键．
