2023～2024学年下学期月考测试题
高二数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
满分150分；考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过观察，即可直接选出通项公式.
【详解】根据数列的特点，归纳可得其通项公式为：.
故选：D.
2. 等差数列满足，，则（ ）
A. 2008 B. 2010 C. 2024 D. 2025
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式即可求出.
【详解】等差数列中，，，则公差，
因此，
所以.
故选：B
3. 在和两数之间插入2023个数，使它们与，组成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差中项的性质，结合题意，即可求得结果.
【详解】根据题意可得，则，故.
故选：C.
4. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，蜘蛛网是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的周长是m，第n个正方形的周长为，侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为，则下面选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得，再利用等比数列的通项公式求解即可.
【详解】第个正方形的周长为，则边长为，
则第个正方形的边长为，周长，
所以数列是公比为，首项为的等比数列，
所以，，
，.
故选：D.
5. 已知为数列的前n项和，且满足，则（ ）
A. 100 B. 130 C. 150 D. 200
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的前n项和公式，结合所求和式，列式计算即得.
【详解】数列的前n项和，
所以.
故选：B
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2024 B. 2025 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用条件得，再根据为等差数列求解即可.
【详解】由得，
所以为公差为的等差数列，又，
所以，
则
故选：D.
7. 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别写出三角形数和正方形数的通项公式，根据通项公式可得答案.
【详解】三角形数：，可得其通项公式为；
正方形数：，可得其通项公式为，
均无正整数解，且，
所以，，是正方形数不是三角形数，
又，既是三角形数，又是正方形数.
故选：A.
8. 已知数列满足，，是数列的前n项和，则（ ）
A. 510 B. 508 C. 1013 D. 1011
【答案】C
【解析】
【分析】通过递推式求出，然后代入求即可.
详解】，
则
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列为周期数列
C. 数列为单调递增数列 D. 数列为常数列
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定函数式求出，求出的范围判断A；利用周期数列、递增数列、常数列的意义判断BCD.
【详解】依题意，，，
对于A，，则，A正确；
对于BCD，显然，则，即恒成立，
因此数列为单调递增数列，不是周期数列，也不是常数列，C正确，BD错误.
故选：AC
10. 观察下表中的数字排列规律，若表示第m行，第n个数，，则下列说法正确的是（ ）
1 …………第1行
2 2 …………第2行
3 4 3 …………第3行
4 7 7 4 …………第4行
5 11 14 11 5 …………第5行
6 16 25 25 16 6 …………第6行
…………
A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的数阵，结合给定的定义、等差数列及等比数列定义逐项判断即可得解.
【详解】对于A，数阵每一行的第一个数即为该行行数，即，数列是等差数列，A正确；
对于B，第5行的数依次为5，11，14，11，5，显然不成等比数列，B错误；
对于C，第6行的数依次为6，16，25，25，16，6，显然，
，，
亦有，因此，C正确；
对于D，由数阵知，有意义，则，且不是每行最右端的数，
则是从第3行第2个数起的数，且不是对应行最右端的数，
显然从第3行起的中间各数（除各行两端的数外）都等于其“肩上”两数的和，
因此有，D正确
故选：ACD
11. 现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（ ）
A. 堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管
B. 堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10
C. 堆放成正三角形垛用的钢管数为190根
D. 若再增加10根钢管，则所有钢管恰好可以堆放成正三角形垛
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意可知正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差为1的数列，由此可得，解出使不等式成立的的最大值，再求剩余的钢管数即可判断每个选项的正确性.
【详解】因为把200根相同的钢管堆放成正三角形垛，
所以正三角形垛的钢管数组成一个首项为1，公差为1的数列，
所以正三角形垛所需钢管总数,
令，解得当是使得不等式成立的的最大值，
此时，由此可得剩余钢管有10根，故错误，正确；
当时，，
故再增加再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛，故正确.
故选：BCD .
12. 设二次方程有二个实根和，且满足，则下面说法中正确的是（ ）
A. 数列满足 B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列 D. 若时，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：根据韦达定理，结合已知条件，即可判断；对BC：根据等比数列的定义，结合递推公式即可判断；对D：构造等比数列，即可求得结果.
【详解】对A：根据题意可得，又，故，即，故A正确；
对B：若为常数列，则，，解得，则，
但此时二次方程的判别式，不满足题意，故，不为常数列；
又，不为常数，故数列不是等比数列，B错误；
对C：因为，故当时，，则；
故数列为等比数列，故C正确；
对D：因为，故可得，又，，
故数列为首项，公比的等比数列，故，则，故D正确；
故选：ACD.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 数列满足，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用赋值法可得数列为周期数列，即可得结果.
【详解】由，可得，
又，，
所以数列周期为3的周期数列，
.
故答案为：.
14. 已知数列的通项公式，则最小的项是第______项．
【答案】
【解析】
【分析】分离常数，然后利用数列单调性求最小项.
【详解】，
当时，，
当时，，要取最小的项需在此范围内取到，
又当时，为单调递减数列，
所以当时，最小.
故答案为：.
15. 已知数列的前n项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用可得数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解.
【详解】由，当时，，
则，即，
又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故答案为：.
16. 在等差数列中，当时，必定是常数数列．然而在等比数列中，对某些正整数，当时，非常数数列的一个例子是____________．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式确定．
【详解】是等比数列，公比为，则为，所以，例如取，为偶数时，满足题意．
，则，．
故答案为：（答案不唯一）．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的第8项及前20项和；
（2）问数列的前多少项和最小，最小值是多少？
【答案】（1），；
（2）前14或15项和最小，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立等差数列首项、公差的方程组，求出通项及前n项和即可得解.
（2）由（1）求出，借助单调性求解即得.
小问1详解】
设等差数列的公差为，由及，
得，即，解得，
则，，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，，显然数列是等差数列，其首项为，公差为1，
显然数列是递增数列，前14项均为负数，第15项为0，从第16项起为正数，
因此数列的前14项和与前15项和最小，，
所以数列的前14或15项和最小，最小值为.
18. 已知等比数列的前n项和为，且的前3项和为，的前6项和为78．
（1）求数列的通项公式及前n项和；
（2）若数列为首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的通项公式列方程组求解；
（2）先利用等比数列的通项公式出，然后利用错位相减法求和.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
由已知得，解得，
所以；
【小问2详解】
由已知得，所以，
所以，
则，
所以，
两式相减得，
整理得.
19. （1）若数列满足，，求；
（2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意化简联立方程组可解出；
（2）将求出并代入，利用数学归纳法证明见解析.
【详解】（1）由，又有，
所以易知，且，联立解得；
（2）由题意知：，
所以令
，
即证明，
因为n为大于1的自然数，
当时，左边，右边，
左边右边，所以时，不等式成立；
假设当时原不等式也成立，
即成立；
则当时， ，
即，
所以依然成立，即时，原不等式仍成立，
所以且时原不等式总成立.
故.
20. 2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态．今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词．某创新公司落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元．
（1）问创新公司第几年开始获利？
（2）经过多少年创新公司获得的年平均利润最大？最大年平均利润是多少？
【答案】（1）3； （2）7年，120万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定信息，构造等差数列，利用等差数列前项和公式求出利润关于关系式，再列出不等式求解即得.
（2）由（1）求出年平均利润的关系式，再求出最大值即得.
【小问1详解】
依题意，每年的创新费用构成以120万元为首项，40万元为公差的等差数列，
前年的利润，
由，得，解得，而，则，
所以创新公司第3年开始获利.
【小问2详解】
由（1）知，经过年创新公司获得的年平均利润为：
，当且仅当，即时取等号，
所以经过7年创新公司获得的年平均利润最大，最大年平均利润是120万元.
21. 设数列的前n项和为，已知，，，是数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足的最大正整数n的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用得到数列是等比数列，根据等比数列的通项公式求解；
（2）先求出，进而可得，求出代入不等式左边整理化简，然后解不等式即可.
【小问1详解】
因为，
所以，即，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
所以，则，
则
，
所以，又，解得，
所以正整数n的最大值为.
22. 已知是等差数列，，且的前n项和为，，且成等比数列，点在上．
（1）求及；
（2）判断是否存在正整数m、k使得、、成等比数列．若存在，求出所有m、k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由等比中项及等差数列的通项公式，代入计算，即可得到，，从而得到结果；
（2）根据题意假设存在，利用等比中项的性质，列出方程，分析运算，即可得到结果．
【小问1详解】
因为点在上，所以，所以，
因为，又成等比数列，所以成等比数列，
则，
当时，，解得或（舍）
当时，，解得（舍）或（舍），
综上得，则，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
假设存在正整数，，使得，，成等比数列，
则，即，
所以，
因为是奇数，所以是奇数，
所以当为偶数时，一定是偶数，找不到这样的正整数
当为奇数时，一定是奇数，找不到这样的正整数，
综上不存在正整数m、k使得、、成等比数列．2023～2024学年下学期月考测试题
高二数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
满分150分；考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
2. 等差数列满足，，则（ ）
A. 2008 B. 2010 C. 2024 D. 2025
3. 在和两数之间插入2023个数，使它们与，组成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
4. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，蜘蛛网是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的周长是m，第n个正方形的周长为，侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为，则下面选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知为数列前n项和，且满足，则（ ）
A. 100 B. 130 C. 150 D. 200
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2024 B. 2025 C. D.
7. 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列满足，，是数列的前n项和，则（ ）
A 510 B. 508 C. 1013 D. 1011
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列为周期数列
C. 数列单调递增数列 D. 数列为常数列
10. 观察下表中的数字排列规律，若表示第m行，第n个数，，则下列说法正确的是（ ）
1 …………第1行
2 2 …………第2行
3 4 3 …………第3行
4 7 7 4 …………第4行
5 11 14 11 5 …………第5行
6 16 25 25 16 6 …………第6行
…………
A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列
C. D.
11. 现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（ ）
A. 堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管
B. 堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10
C. 堆放成正三角形垛用的钢管数为190根
D. 若再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛
12. 设二次方程有二个实根和，且满足，则下面说法中正确的是（ ）
A. 数列满足 B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列 D. 若时，则
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 数列满足，，则______．
14. 已知数列的通项公式，则最小的项是第______项．
15. 已知数列的前n项和为，若，，则______．
16. 在等差数列中，当时，必定是常数数列．然而在等比数列中，对某些正整数，当时，非常数数列的一个例子是____________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的第8项及前20项和；
（2）问数列的前多少项和最小，最小值是多少？
18. 已知等比数列的前n项和为，且的前3项和为，的前6项和为78．
（1）求数列的通项公式及前n项和；
（2）若数列为首项为1，公比为3等比数列，求数列的前n项和．
19. （1）若数列满足，，求；
（2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：．
20. 2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态．今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词．某创新公司落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元．
（1）问创新公司第几年开始获利？
（2）经过多少年创新公司获得的年平均利润最大？最大年平均利润是多少？
21. 设数列的前n项和为，已知，，，是数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足的最大正整数n的值．
22. 已知是等差数列，，且的前n项和为，，且成等比数列，点在上．
（1）求及；
（2）判断是否存在正整数m、k使得、、成等比数列．若存在，求出所有m、k值；若不存在，请说明理由．
