重庆市凤鸣山中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2．下列各对数中，满足方程组的是( )
A. B. C. D.
3．若关于x的方程和有相同的解，则m的值是( )
A.10 B. C. D.8
4．“今有人盗库绢，不知所失几何.但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？(选自《孙子算经》)”.大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少.有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况.如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹.盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，根据题意可列方程组为( )
A. B. C. D.
5．下面是从小明同学作业本摘抄的内容，请你找出其中正确的是( )
A.方程，去分母，得.
B.方程，.
C.方程，去括号，得.
D.方程，系数化为1，得.
6．用加减法解方程组下列解法正确的是( )
A.，消去x. B.，消去y
C.，消去x. D.，消去y
7．某车间60名工人生产A、B两种类型的零件，其中每名工人每天可生产10个A种零件或15个B种零件，若1个A零件和3个B零件配成一套，则如何安排工人可以让每天生产的A零件和B零件刚好完全配套？如果设每天安排x名工人生产A零件，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8．如图，在大长方形中，放置个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和是( )
A. B. C. D.
9．如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，则的度数为( )
A. B. C. D.
10．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：，若，，则下列结论正确的个数为( )
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有3组整数解；
（4）若对任意有理数、都成立，则.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11．方程的解为______.
12．已知2x－3y =6，用含x的代数式表示y =______
13．已知，则______.
14．某水池有甲进水管和乙出水管，已知单开甲注满水池需6h，单开乙管放完全池水需要9h，当同时开放甲、乙两管时需要______h水池水量达全池的.
15．如图，线段，延长到点C，使，若点D是线段的中点，则的长为______.
16．如图所示，甲、乙两人沿着边长为8米的正方形的边按逆时针方向行走，甲从点出发以米/秒的速度行走，同时乙从点出发以1米/秒的速度行走.甲、乙第一次相遇在正方形的______边上.
17．已知关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为______.
18．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，则称该四位数为“和百数”.例如：四位数，∵，∴是“和百数”；又如四位数，∵，∴不是“和百数”.若一个“和百数”为，则这个数为______；若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的数的最大值是______.
三、解答题
19．解下列方程：
(1)
(2)
20．解下列方程组：
(1)
(2)
21．一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时.
(1)求水流速度和AB两地之间的距离；
(2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？
22．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同.
(1)求m，n的值.
(2)求的值.
23．如图，，是的平分线，是的平分线，且.
求证：.
证明：∵是的平分线，
∴______.
∵是的平分线
∴______.
∵，
∴______.
又∵，
∴______.
∴______.
24．对于有理数m、n定义一种新运算“”：.等式右边是通常的四则运算.例如.
(1)若，则______，______
(2)已知，且y为整数，求所有满足条件的整数a的值.
25．2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受人民喜爱.2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元.十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元.
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个.进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”打九折销售，“雪容融”销售单价不变.若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，获利11200元.则一月份购进“冰墩墩”多少个？
26．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a，b是方程的两解，与互为相反数.
(1)求a、b、c、d的值；
(2)若A、B两点以每秒6个单位的速度向右匀速运动，同时C、D两点以每秒2个单位的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，两点都运动在线段上（不与C、D两个端点重合）？
(3)在（2）的条件下，四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：是分式方程，故A错误；
是一元二次方程，故B错误；
是二元一次方程，故C错误；
是一元一次方程，故D正确；
故选D.
2．答案：B
解析：，
①+②×2得：7x=7，即x=1，
将x=1代入②得：y=1，
则方程组的解为.
故选B.
3．答案：B
解析：解方程得，
把代入得，
解得，
故选：B.
4．答案：A
解析：设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，依题意，得
，
故选：A.
5．答案：D
解析：方程，去分母，得，故A错误，不符合题意，
方程，合并同类项得：，系数化为1得：，故B错误，不符合题意，
方程，去括号，得，故C错误，不符合题意，
方程，系数化为1，得，故D选项正确，符合题意，
故选：D.
6．答案：D
解析：由题意可得，
，消去x，故A选项不符合题意，
，消去y，故B选项不符合题意，
，消去x，故C选项不符合题意，
，消去y，故D选项符合题意，
故选：D.
7．答案：B
解析：设每天安排x名工人生产A零件，列方程为，
故选：B.
8．答案：B
解析：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm，
依题意得：，
解得：，
∴阴影部分的面积之和为17×（2y+5）-6xy
=17×（2×3+5）-6×8×3
=17×11-6×8×3
=187-144
=43（cm2）.
故选：B.
9．答案：B
解析：设，
根据矩形和折叠性质得：，
解得：.
故选：B.
10．答案：B
解析：∵，，
∴，
解得，故（1）正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故（2）正确；
∵，
∴，
当时，则不成立，
∴，
∴，
∵m、n都是整数，
∴或或，
∴或或0或或或，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意有理数、都成立，
∴，故（4）错误；
故选B.
11．答案：
解析：移项得，
，
合并同类项得，
，
系数化为1得，
，
故答案为：.
12．答案：
解析：移项得，-3y=6-2x，
系数化为1得，y =.
故答案为.
13．答案：
解析：∵，，，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：.
14．答案：6
解析：设x小时水池水量达全池的，
根据题意得：，解得：..
故答案为：6.
15．答案：6
解析：∵，
∴，
∴，
∵点D是线段的中点，
∴，
故答案为：6.
16．答案：
解析：设出发x秒后甲第一次追上乙，
根据题意得：，
解得：.
，
，
∴甲、乙第一次相遇时，在正方形的边上.
故答案为：.
17．答案：
解析：解方程得，
，
∵关于x的方程的解为整数，
∴或或或或或，
解得：或或1或或或7，
∴所有整数m的和为：，
故答案为：.
18．答案：；
解析：∵是“和百数”，
∴，
解得，，
∴这个数为；
∵是“和百数”，
∴，
∴，
∵一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，
∴是整数，即是整数，
∵各数位上的数字均不为0，
∴，
∴，
当时，（不符合题意，舍去）
当时，，即，
∴，
此时为满足条件的数的最大，
∴满足条件的数为，
故答案为：；.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）
去括号得：，
移项并合并同类项：，
化系数为1：
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项：，
化系数为1：
20．答案：(1)
(2)
解析：（1），
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程的解为：；
（2），
原方程组可变为：，
由①得，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：.
21．答案：(1)水流速度为5千米/时，两地相距120千米
(2)相距千米
解析：（1）设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据题意得：
，
解得：，
答：水流速度为5千米时，两地相距120千米.
（2）设相距m千米，根据题意得：
答：相距千米.
22．答案：(1)
(2)
解析：（1）根据题意得：，
①②：，
把代入①：，
把代入得
解得：；
（2）把代入得：
原式.
23．答案：；；；；
解析：证明：∵是的平分线，
∴.
∵是的平分线
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴.
故答案为：；；；；.
24．答案：(1)6；
(2)
解析：（1）∵，且，
∴，
解得，；
∴；
故答案为：6，；
（2）∵，且，
∴
∴
∵y、a都是整数，
∴，且，
∴.
25．答案：(1)“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和80元
(2)一月份购进“冰墩墩”400个
解析：（1）设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x元和y元，
，解得，
答：“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和80元；
（2）设一月份购进“冰墩墩”m个，
，
，
答：一月份购进“冰墩墩”400个.
26．答案：(1)，，，
(2)
(3)存在，或4
解析：（1）是方程的两根，
∴，，
∵与互为相反数，则：
，
∴，，
∴，；
（2）经过时间t时，A的值为，B的值为，C的值为，D的值为，
要使A、B两点都运动在线段上，则必须满足条件：A在C的右侧，B在D的左侧（不与C、D两个端点重合），
则，
解得：，
故t的范围是：；
（3）存在.①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，此时：
，
，
由（1）中代数式可得，
，，
由题意得：，
解得：，
∵，满足条件；
∴；
②点A、B均在点D的右边，此时，
解得：，则：
，，
∴，
解得：，满足，
综上所述，存在时间或，使B与C的距离是A与D的距离的4倍.
