江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.2，5，4 B.2，﹣5，4 C.﹣2，﹣5，4 D.2，﹣5，﹣4
3．某公司为了了解一年内的用水量，抽查了其中10天的用水量，结果如表：
用水量（吨） 25 32 40 43 47 50 110
天数 1 1 1 2 3 1 1
关于这10天的用水量的统计分析，下列说法正确的是( )
A.众数是43 B.中位数是45 C.中位数是43 D.平均数是49.6
4．下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 109 108 113 113
方差 4.1 1.0 4.3 0.8
根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5．下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是( )
A. B. C. D.
6．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为______.
8．将函数的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位后的图象所表示的解析式是______.
9．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______.
10．已知抛物线经过、、三点，则、、的大小关系是______（用“＜”连接）
11．如图所示，中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.如果、分别从、同时出发，那么______秒后，线段将分成面积1：2的两部分.
12．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则______.
三、解答题
13．解下列方程：
(1)；
(2).
(3).
14．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.
15．已知关于x的方程有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数m使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
16．已知是x的二次函数.
(1)当m取何值时，该二次函数的图象开口向下？
(2)在（1）的条件下
①当时，求y的取值范围：
②当时，求x的取值范围.
17．“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的餐后垃圾质量.从七、八年级各随机抽取10个班餐后垃圾质量的数据（单位：），进行整理和分析（餐后垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息.
七年级10个班餐后垃圾质量：，，，，，，，，，.
八年级10个班餐后垃圾质量中B等级包含的所有数据为：，，，，.
七、八年级抽取的班级餐后垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比
七年级 a
八年级 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a，b，m的值；
(2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数；
18．已知关于的一元二次方程.其中分别为三边的长.
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由.
19．突如其来的新冠疫情影响了某厂经济效益，在复工复产对产品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件.
(1)该商品的售价和进价分别是多少元？
(2)在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2035元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？
20．某中学为全面普及和强化急救知识和技能，特邀某医疗培训团在全校开展了系列急救培训活动，并于结束后在七、八年级开展了一次急救知识竞赛.竞赛成绩分为、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分.学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.7 9 1.01
八年级 8.7 9 1.175
(1)根据以上信息可以求出：______，______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少？
21．为加快数字化城市建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个，随着居民对智能充电桩需求量的增加，到第三个月新建充电桩432个.
(1)求这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率；
(2)若市场上有A，B两种充电桩，A种充电桩的价格是每个0.5万元，B种充电桩的价格是每个0.6万元.该市决定再追加购买A，B两种充电桩共100个，且A种充电桩的个数不超过B种充电桩的个数，求本次追加购买最少花费多少钱？
22．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形.
(1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则______；
(2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则______；
(3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系.
23．如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为.
(1)求直线和抛物线的函数解析式.
(2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)若抛物线上有一点(在第一象限内)使得，求点坐标.
参考答案
1．答案：C
解析：A、，是二元一次方程，不符合题意；
B、，整理，得：，是一元一次方程，不符合题意；
C、，是一元二次方程，符合题意；
D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
故选C.
2．答案：D
解析：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4.
故选：D.
3．答案：B
解析：A、47出现的次数最多，所以众数是47，故本选项说法错误；
B、按照从小到大排列后，第5个数是43、第6个数是47，所以中位数是，故本选项说法正确；
C、由选项B可知，本选项说法错误；
D、平均数，故本选项说法错误；
故选：B.
4．答案：D
解析：，丙和丁的平均数最大，
成绩好且发挥稳定的同学是丁，
故选：D.
5．答案：D
解析：A、，故该选项不符合题意；
B、，无实数根，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D.
6．答案：B
解析：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误；
B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确；
C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误；
D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误；
故选：B.
7．答案：4
解析：把代入方程中，
得：，
解得，
方程化为，
，
，
解得：，
故答案为：.
8．答案：
解析：由“左加右减”的原则可知，二次函数y=4x2的图象向左平移2个单位得到y=4（x+2）2，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=4（x+2）2的图象向上平移3个单位可得到函数y=4（x+2）2+3，
故答案是：y=4（x+2）2+3.
9．答案：6070
解析：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
，
故答案为：.
10．答案：
解析：过、、三点，
，，，
，
，
，
故答案为：.
11．答案：2或4
解析：根据题意，知，.
线段将分成面积1：2的两部分，
则根据三角形的面积公式，得，
整理得：.
解得，
即线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒.
故答案为：2或4.
12．答案：或2
解析：由题意知，当时，，
解得，或，
∵时，，
∴，不符合要求，舍去；
∵时，，
∴符合要求；
当时，，
解得，或，
∵时，，
∴符合要求；
∵时，，
∴，不符合要求，舍去；
综上所述， 或，
故答案为：或2.
13．答案：(1)，
(2)，
(3)，
解析：（1）
∴，
解得，；
（2）
∴或
解得，；
（3）
∴或
解得，.
14．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABC即为所求.
15．答案：（1）
（2）存在，m=-1
解析：（1）根据题意得△，
解得；
（2）存在.
根据题意得，，
，
，
即，
整理得，解得，，
；
的值为.
16．答案：(1)
(2)
解析：（1）∵是x的二次函数，该二次函数的图象开口向下，
∴，
解得；
（2）①由（1）得：，
∵当时，，当时，，而时，y的最大值为0；
∴；
②∵时，，当，
∴.
17．答案：(1)，，
(2)6个
解析：（1）七年级10个数据中0.8出现的次数最多，所以众数，
八年级B等级有5个，C、D等级分别为个，个，
所以A等级有个，
所以，即，
所以中位数为，
综上：，，.
（2）由（1）可知，八年级A等级样本占比为
∴（个），
答：估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数为6个.
18．答案：（1）△ABC为等腰三角形，理由见解析
（2）△ABC为直角三角形，理由见解析
解析：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x=1代入方程得b-c-2a+c+b=0，
则a=b，
所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ=（-2a）2-4（b-c）（b+c）=0，
整理得b2-c2=a2，即b2 =a2+c2，
所以△ABC为直角三角形.
19．答案：(1)商品的售价和进价分别是32元/件、24元/件
(2)3元
解析：（1）设进价为每件元，则售价为每件元，
由题意可得，，
解得，
，
答：商品的售价和进价分别是元件、元件；
（2）设该商品应涨价元，
由题意可得，，
解得，，，
每天所得的销售利润为元时，且销量尽可能大，
，
答：该商品应涨价元.
20．答案：(1)9，8.5，补全统计图见解析
(2)七年级的成绩更好，理由见解析
(3)估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人
解析：（1）由七年级竞赛成绩统计图可得，
七年级C组的人数为：（人），
∴七年级B组的人数最多，
∴七年级的众数为；
由八年级竞赛成绩统计图可得，
将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组，
∴中位数，
补充统计图如下：
（2）七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，
七年级中位数大于八年级中位数，说明七年级一半以上人不低于9分，
七年级方差小于八年级方差，说明七年级的波动较小，
所以七年级成绩更好.
（3）（人），
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人.
21．答案：(1)这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为20%
(2)本次追加购买最少花费55万元
解析：（1）设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x.
由题意，得方程：.
化简，得，
解得（舍去）.
答：这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为20%.
（2）设购买A种充电桩a个，则购买B种充电桩个.
根据题意，得，解得.
设本次追加购买共花费w元，则；
∵，
∴w随a的增大而减小.
∴当时，w有最小值，此时.
答：本次追加购买最少花费55万元.
22．答案：(1)
(2)4
(3)
解析：（1）函数的图像如下：
抛物线是美丽抛物线时，则AC=2，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），
将点D的坐标代入得：，
解得；
故答案为：；
（2）∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得；
故答案为：4；
（3）∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得.
23．答案：(1)直线的解析式为；抛物线解析式为
(2)或或或
(3)
解析：（1）设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以直线的解析式为；
把代入得，
所以抛物线解析式为；
（2）∵
∴，
①当时，或；
②当时，点是线段的垂直平分线与轴的交点.
设
解得：
.
③当时，
；
解得：（舍去）或
∴；
综上所述，符合条件的点的坐标为：或或或.
（3）联立，
解得：，
∴，
∴
设，
∵
∴
解得：或（舍去）
∴
