2024届中考数学二轮复习—全等、相似的辅助线问题
1.如图，在中，平分，，，则的长为( )
A.3 B.11 C.15 D.9
2.如图，在矩形中，，E是的中点，于点F，则的长是( )
A.1 B. C. D.2
3.如图，在等腰直角三角形中，，.点是上一点，，过点作，交于点.则为( )
A. B. C. D.
4.数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理.以的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接.若，，则的面积为( )
A.40 B.32 C.24 D.18
5.在中，，AD平分，，F是AD上一动点，取AB中点E，连接EF、BF，若，则周长的最小值是( )
A.6 B. C. D.
6.如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则的值为( )
A.6 B.5 C.4.5 D.5.5
7.如图，中，于点H，，，，点D，E为线段，上两点，满足，则的比值是( )
A. B. C. D.
8.如图，中，，，，半径为5的与AC，BC分别相切于点E，F，与AB交于点M，N，则MN的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝5，AC＝3，AD＝2，则CD的长为______.
10.如图，边长的等边中，点D为上一点，且，点E为边上的一个动点，点E绕点D顺时针旋转得到点F，则的最小值为______.
11.如图，中，于点D，平分交于点E，交于点F，若，，，则_____.
12.如图，正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边和上，且，，，则的长_____.
13.请阅读下列材料，完成相应的任务.
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线. 所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长-部分与中线相等，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法. 如图①，在中，是边上的中线，若，，求的长的取值范围. 解题思路：如图①，延长到点E，使，连接，则可证得（依据），得出，在中，，，，即可得到的取值范围，进一步得到的取值范围.
任务：
(1)上述解题思路中的“依据”是___________（填序号）
①
②
③
④
⑤
(2)如图②，在中，D为边的中点，已知，，，求的长.
(3)如图③，在矩形中，，点E是边的中点，连接，点F在直线上，且，若，请直接写出的长.
14.如图.在正方形中，点E在边上，点F在延长线上，，连接交于点H，连接.
（1）求证；
（2）求的值；
（3）探究、、三条线段之间的数量关系，并证明.
答案以及解析
1.答案：B
解析：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，
∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11.
故选：B.
2.答案：C
解析：如图，延长交于点M，
∵E是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，∴，
∵，即，∴，
故选：C
3.答案：A
解析：过E作于F，如图：
∵，，，
∴，，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，
而，∴，
∴，即，
∴，∴，
而，∴，
∴，
故选：A.
4.答案：B
解析：延长，过点E作于点M，如图所示：
则，
四边形为正方形，，，
为直角三角形，，
，
，，
，，
.
故选：B.
5.答案：D
解析：如图，过点B作于点G，连接，
平分，，，
，，在中，，
点E是的中点，，
在中，，
，
在和中，
，
，，
的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点B，F，G共线时，取得最小值，
则周长的最小值为，
故选：D.
6.答案：A
解析：如图，过点D作，交于点M，
是的中线，，
，，
，，，
，，
，，
，，
故选：A.
7.答案：A
解析：过点C作交AD延长线于点F，如图，
，，
在和中，
，
，，
，，
，，
，，
，
，，，
则.
故选A.
8.答案：D
解析：如图，连接OM，ON，OE，OF分别交AB于点P，点Q，过点O作于点H，
则，，
，，四边形OECF是正方形，
，
，，
，，
，，
，，
，，
即，，
解得，，
，，
，
，即，
，
在中，
，
，
故选：D.
9.答案：
解析：如图，延长AD至点E，使ED＝AD，连接EB，
∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，
在△EDB和△ADC中，
∵，
∴△EDB≌△ADC(SAS)，∴EB＝AC＝3，
∵AE＝2AD＝4，AB＝5，且32+42＝52，
∴△ABE为直角三角形，∠E＝90，
∴，∴CD＝BD＝.
故答案是：.
10.答案：
解析：如图，在上截取，连接，，
是等边三角形，
，，
，是等边三角形，
，，，
点E绕点D顺时针旋转得到点，
，，，
在和中，
，
，，
，，
点F在过点H平行于的直线上运动，
当时，有最小值，
此时，
，
，，，
故答案为：.
11.答案：3
解析：如图所示，作交于G，
平分，，
，，
，，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
设，则，
，
解得：，
，
故答案为：3.
12.答案：
解析：过点P作交于点M，交于点N；过点P作交于点G，交于J.
四边形是正方形，是对角线，
，，，
，，
，，
，，
是等腰直角三角形，，
过点E作交于点H，设，
，，
，，
，
，，
，
，，
解得，
，.
故答案为：.
13.答案：(1)①
(2)
(3)4或
解析：（1）根据题意可得的依据是，
故选：①
（2）延长到E，使，连接.
D为的中点，，
在和中，
，
，，
，，，
，
为以为斜边的直角三角形，
，
，
；
（3）如图所示，当F在线段上时，延长交直线于点G，
四边形是矩形，，，
，
又，，
，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得：（负值舍去），
；
如图所示，当F在的延长线上时，
同理可得，
设，则，，
，
在中，，
，
解得：（负值舍去），
.
综上所述，的长为4或.
14.答案：（1）见解析
（2）
（3），理由见解析
解析：（1）过E作交于点M，如图1，
四边形是正方形，，
，为等腰直角三角形，
，
，，
，
又.，.
（2）连接，，如图2，
四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
又H为中点，.
（3）.
理由如下：
连接，，过H作交延长线于G，如图3.
，，
为等腰直角三角形，
，，
由（2）得，为等腰直角三角形，H为中点，
，，
，
又，
，，
，，.
