2024年江苏省盐城市亭湖区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 化简所得结果等于（）
A. B. C. D.
3. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（）
A. B. C. D.
4. 2022年温州市居民人均可支配收入约为63000元，其中数据63000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，点、在线段上，且：：：：．以点为圆心，记以为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则()
A. 豆子落在区域Ⅰ概率最小 B. 豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C. 豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D. 豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同
6. 表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（）
A. B. C. D.
7. 如图，在菱形OABC中，AC＝6，OB＝8，点O为原点，点B在y轴正半轴上，若函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值是（ ）
A. 24 B. 12 C. ﹣12 D. ﹣6
8. 如图所示，平面直角坐标系中点A为y轴上一点，且，以为底构造等腰，且，将沿着射线方向平移，每次平移的距离都等于线段的长，则第2023次平移结束时，点B的对应点坐标为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将正确答案填写在答题纸相应位置上）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
10. 分解因式：x2+2x+1=_______
11. 如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB=36°，则∠AOB=________．
12. 分式方程的解为x=____．
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．
14. 如图，在中，平分，点E是的中点，且于点D．若，，则的长为______．
15. 如图，矩形的顶点A和对称中心在反比例函数上，若矩形的面积为16，则k的值为__________．
16. 如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间距离为5，连接、，则的最小值为__________．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 解不等式组．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 已知为钝角三角形，其中，有下列条件：
①；②；③；
（1）你认为从中至少选择______个条件，可以求出边的长；
（2）你选择的条件是______（直接填写序号），并写出求的解答过程．
21. 读懂一座城，从博物馆开始．年月日上午，江苏盐城市博物馆正式开馆．盐城市博物馆新馆坐落于先锋岛西侧，整体建筑风格雅致，主馆建筑为传统宝塔造型，又充满中国皇家宫廷风韵．学校数学兴趣小组利用无人机测量该宝塔的高度，无人机的起飞点与宝塔（），无人机垂直升到处测得塔的顶部处的俯角为，测得塔的底部处的俯角为．
（1）求宝塔的高度；
（2）若计算结果与实际高度稍有出入，请你提出一条减少误差的建议．（结果精确到m，参考数据：）
22. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中A组所在扇形圆心角度数为______°，并将条形统计图补充完整．
（2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100，求这组数据的中位数和众数．
（3）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%确定最后得分，达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．
（4）经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表法或画树状图的方法求冠亚军恰好是一男一女的概率．
23. 如图，等腰三角形中，，点坐标为，顶点在反比例函数的图象上，且的面积为．
（1）．
（2）过点直线对应的解析式为与双曲线在第一，三象限交点分别为点，．
①求点，的坐标．
②直接写出不等式的解集．
24. （1）问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使平分，请用无刻度的直尺作图；
（2）尝试应用：如图2，是的直径，是切线，，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D；
（3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接，判断与的位置关系并证明；
②若，求，与围成的图形面积．
25. 如图所示，在中，，，在上取点O，以O为圆心，以为半径作圆，与相切于点D，并分别与，相交于E，F（异于点B）．
（1）求证：平分；
（2）若点E恰好是的中点，求扇形的面积．
26. 如图1，在菱形中，点P对角线上一点，连接和，在射线上取点E，使得，射线交射线于点Q，设．
（1）如图2，若，连接，交于点O，求证：；
（2）【探究】如图3，若，，请画出图形，并求的值；
【归纳】若，的值为______．（用含k、α的表达式表示）
27. 抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，点和点都在抛物线上．
（1）求出抛物线表达式；
（2）如图1，若点在直线的上方，过点作，垂足为，
①当点是抛物线顶点时，求的长，
②求的最大值；
（3）如图2，，直接写出点的坐标________．2024年江苏省盐城市亭湖区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定．
解：的倒数为．
故选C．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
2. 化简所得的结果等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可．
解：，
故选A
【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．
3. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从组合体正上方看到的平面图形即可得到答案．
解：由题意得组合体的俯视图是：
，
故选：D．
【点睛】此题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
4. 2022年温州市居民人均可支配收入约为63000元，其中数据63000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
解：，
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．
5. 如图，点、在线段上，且：：：：．以点为圆心，记以为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则()
A. 豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B. 豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C. 豆子落在区域Ⅲ概率最小 D. 豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，设，，分别求得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积，比较大小，即可求解．
解：：：：：，
设，，
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积分别为，，，
∵，
豆子落在区域Ⅰ的概率最小．
故选：A．
6. 表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点在数轴上的位置，确定出大小关系，再根据不等式的性质进行判断即可．
解：由图可知：，
A、，∴，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查实数与数轴．不等式的性质．根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，是解题的关键．
7. 如图，在菱形OABC中，AC＝6，OB＝8，点O为原点，点B在y轴正半轴上，若函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值是（ ）
A. 24 B. 12 C. ﹣12 D. ﹣6
【答案】C
【解析】
【分析】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．
解：在菱形OABC中，AC=6，OB=8，
∴C（-3，4），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点C，
∴k=（-3）×4=-12．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式．
8. 如图所示，平面直角坐标系中点A为y轴上一点，且，以为底构造等腰，且，将沿着射线方向平移，每次平移的距离都等于线段的长，则第2023次平移结束时，点B的对应点坐标为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到点......的坐标，从而得到平移的规律；本题考查了等腰三角形的性质和在平面直角坐标系中的平移规律，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
解：作于点C，
∵，
∴，，
在中，，
∴由图观察可知，第1次平移相当于点向上平移个单位，向右平移1个单位，第2次平移相当于点向上平移个单位，向右平移2个单位，
…
∵点B的坐标为，
∴第n次平移后点B的对应点坐标为，
按此规律可得第2023次平移后点B的坐标为；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将正确答案填写在答题纸相应位置上）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
∵在实数范围内有意义，
∴x 5 0，解得x 5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a 0，同时也考查了解一元一次不等式．
10. 分解因式：x2+2x+1=_______
【答案】##
【解析】
【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．
解：x2+2x+1=（x+1）2，
故答案为：（x+1）2．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．
11. 如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB=36°，则∠AOB=________．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．
解：∵∠ACB=∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
12. 分式方程的解为x=____．
【答案】3
【解析】
解：去分母得：2x﹣2=x+1，
解得：x=3，
经检验：x=3是分式方程的解，
故答案是：3．
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，进行计算即可得到答案．
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
14. 如图，在中，平分，点E是的中点，且于点D．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长交AB于点
，先证明，得出，然后利用三角形中位线定理求解即可．
解：如图，延长交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
15. 如图，矩形的顶点A和对称中心在反比例函数上，若矩形的面积为16，则k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．设A点的坐标为则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数，求出中心的横坐标为，进而可得出的长度，根据矩形的面积即可求得．
解：如图，延长交y轴于点E，
∵四边形是矩形，
设A点的坐标为则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，，
∵矩形的中心都在反比例函数上，
∴，
∴矩形中心的坐标为
∴
∵，
∴．
，
∵点在上，
∴,
∴，
解得：
故答案为：．
16. 如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解．
解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为的值，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根、特殊角的三角函数值、零次幂的性质化简，再合并即可求解．
解：
【点睛】此题主要考查了立方根，零次幂、特殊角的三角函数值，正确计算是解题关键．
18. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可，
本题考查了解不等式组，解题的关键是：熟练掌握不等式组的解法．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简后的结果，再把化为，再整体代入计算即可．
解：
，
，
原式．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，掌握完全平方公式与平方差公式的应用是解本题的关键．
20. 已知为钝角三角形，其中，有下列条件：
①；②；③；
（1）你认为从中至少选择______个条件，可以求出边的长；
（2）你选择的条件是______（直接填写序号），并写出求的解答过程．
【答案】（1）3（2）选择①②③，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了运用勾股定理、三角函数解直角三角形等知识点，灵活运用勾股定理解直角三角形成为解答本题关键．
（1）根据解直角三角形的条件即可解答；
（2）过点A作于点D，再根据勾股定理求得的长，然后根据勾股定理求得的长，最后求出答案即可．
【小问1】
解：根据解直角三角形的条件再结合题意可得，至少满足题干的三个条件，方可求得的长
故答案为3；
【小问2】
解：选①②③，，理由如下：
过点A作于点D，如图所示：
，
设，
∴，
，
根据勾股定理，得，
解得，
∴，
根据勾股定理，得，
∴．
21. 读懂一座城，从博物馆开始．年月日上午，江苏盐城市博物馆正式开馆．盐城市博物馆新馆坐落于先锋岛西侧，整体建筑风格雅致，主馆建筑为传统宝塔造型，又充满中国皇家宫廷风韵．学校数学兴趣小组利用无人机测量该宝塔的高度，无人机的起飞点与宝塔（），无人机垂直升到处测得塔的顶部处的俯角为，测得塔的底部处的俯角为．
（1）求宝塔的高度；
（2）若计算结果与实际高度稍有出入，请你提出一条减少误差的建议．（结果精确到m，参考数据：）
【答案】（1）m
（2）答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）延长交于点，根据题意可得：，m，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据多次测量求平均值，可以减小误差，即可解答．
【小问1】
如图：延长交于点，
由题意得：，m，
在中，，
（m），
在中，，
（m），
（m），
宝塔的高度约为m；
【小问2】
一条减少误差的建议：多次测量求平均值，可以减小误差（答案不唯一）．
22. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为______°，并将条形统计图补充完整．
（2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100，求这组数据的中位数和众数．
（3）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%确定最后得分，达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．
（4）经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表法或画树状图的方法求冠亚军恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）54，图见解析
（2）众数为96，中位数为
（3）小敏能参加决赛（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数;
（1）先用组的人数除以组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算组人数所占的百分比，最后用360°乘以组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以组所占百分比，即可求出组的人数，即可补充条形统计图;
（2）根据众数和中位数的定义，即可进行解答即可；
（3）将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答；
（4）画出树状图，根据概率公式求解即可；
【小问1】
参加此次竞赛总人数：（人），
A组所占百分比：，
A组所在扇形的圆心角度数，
B组人数：（人），
条形统计图如图所示：
故答案为：54．
【小问2】
排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为：，
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
综上：众数为96，中位数为；
【小问3】
小敏最后得分：，
∴小敏能参加决赛．
【小问4】
画树状图如下：
∴一共有20种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有12种情况，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为．
23. 如图，等腰三角形中，，点坐标为，顶点在反比例函数的图象上，且的面积为．
（1）．
（2）过点直线对应的解析式为与双曲线在第一，三象限交点分别为点，．
①求点，的坐标．
②直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）①，；②或．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点的求法，函数与不等式的关系，
（1）过点作于点，利用三角形面积求得即可求得点的坐标是，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）①求得一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求解；
②根据图象即可求得．
【小问1】
解：过点作于点，
等腰三角形中，，点坐标为，
，
的面积为12，
，
，
，
顶点在反比例函数的图象上，
解得：，
故答案为：12；
【小问2】
①把点的坐标代入得：，
，
过点直线解析式为，
联立，解得或，
，；
②观察图象，不等式的解集是或．
24. （1）问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E使平分，请用无刻度的直尺作图；
（2）尝试应用：如图2，是的直径，是切线，，交于P点．请用无刻度直尺作出的中点D；
（3）问题解决：请在（2）尝试应用的条件下，解决以下问题：
①连接，判断与的位置关系并证明；
②若，求，与围成图形面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①与相切，证明见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了作图，特殊四边形的证明，圆的切线的判定，与圆有关的面积计算；
（1）先找到正方形的对角线的交点、，连接交线段于一点，连接并延长交半圆于点，点即为所求的点；
（2）连接并延长交圆于一点，连接、交于点，连接并延长交于点，则即为的中点；
（3）①与相切，证明四边形是矩形即可；
②先说明四边形是正方形，则所求面积等于．
解：（1）如图1，先找到正方形的对角线的交点、，连接交线段于一点，连接并延长交半圆于点，点即为所求的点．
证明如下：
正方形的对角线的交点为、，
是的中点，
是的中点，
是的中点，
是线段的中点，
，
，
，
，
，
平分；
（2）连接并延长交圆于一点，连接、交于点，连接并延长交于点，则即为的中点．
证明如下：
是切线，
，
，
是等腰直角三角形，
是的直径，
，
，
是中点，
是中点，
，
、是直径，
，
，
四边形是平行四边形，
是、的交点，
是的中点，
，
，
是的中点；
（3）①与相切．
证明：由（2）知，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
与相切；
②由①知四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
．
25. 如图所示，在中，，，在上取点O，以O为圆心，以为半径作圆，与相切于点D，并分别与，相交于E，F（异于点B）．
（1）求证：平分；
（2）若点E恰好是的中点，求扇形的面积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）连接，以此可得，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得，进而得到，由可得，即可证明；
（2）连接、，易得，根据直角三角形中线的性质的，因此为等边三角形，则，根据平行线的性质得，于是可证明为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可；
本题考查切线的性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、直角三角形的中线性质、扇形的面积公式根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【小问1】
证明：连接，如图，
∵与⊙O相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2】
解：连接、，如图，
∵是的中点，
，
在中，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
．
26. 如图1，在菱形中，点P是对角线上一点，连接和，在射线上取点E，使得，射线交射线于点Q，设．
（1）如图2，若，连接，交于点O，求证：；
（2）【探究】如图3，若，，请画出图形，并求的值；
【归纳】若，的值为______．（用含k、α的表达式表示）
【答案】（1）见解析（2）【探究】；【归纳】
【解析】
【分析】对于（1），先说明四边形是正方形，结合已知得，再根据“等边对等角”得，最后根据“两角相等的两个三角形相似”得出结论；
对于（2），先作出辅助线标注图形，再证明，接下来表示，并说明，可得，再根据线段垂直平分线可得，然后根据相似三角形的对应边成比例得出，进而得出，再结合已知条件表示出，最后根据得出答案．
对于【归纳】，根据（2）可表示，再设，则，然后根据，
并表示出，根据可得，再根据表示，并代入得出答案.
【小问1】
证明：如图，
∵，则，
又∵四边形菱形，
∴四边形是正方形，
∴.
∵，
∴.
∵P在上，，则，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2】
解：[探究]
如图所示，延长至Q′使得，连接，，过点作交的延长线于点M，作交的延长线于点S，
∵，
∴.
又∵，
∴.
∵，且四边形是菱形，
∴，
∴，
∴.
∵四边形是菱形，
∴，，
，
∴，则.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
.
∵P是上的点，垂直平分，
∴.
又，，
.
∵，
∴，
，
∴，
，
过点P作于点T，则，
∵，设，
则，
∵，
，
，
，
．
[归纳]
同（2）可得，
设，则，
∵，
.
，
，
.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了特殊的平行四边形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质和判定，准确的作出辅助线是解题的关键．
27. 抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，点和点都在抛物线上．
（1）求出抛物线表达式；
（2）如图1，若点在直线的上方，过点作，垂足为，
①当点是抛物线顶点时，求的长，
②求最大值；
（3）如图2，，直接写出点的坐标________．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）①如图所示，过点作轴交于点，设直线交轴于点，得出直线的解析式为，求得，，当为顶点时，则，，又，根据即可求解；
②过点作轴于点，过点作于点，设，则，分别求得，计算，根据二次函数的性质，即可求解；
（2）在轴上取一点，则，以为直径，的中点为圆心，作，则，根据，得出点在上，进而根据勾股定理即可求解．
【小问1】
解：将点，点代入，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2】
解：①如图所示，过点作轴交于点，设直线交轴于点，
∵抛物线解析式为，则顶点,
当，即，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，，
∴，，
当为顶点时，则，，
∴，
∵，,
∴,
∴；
②如图所示，过点作轴于点，过点作于点，
设，则，
∴，，
，
∴的横坐标为,
∴,
∴,
∴
∴
，
当时，的最大值为；
【小问3】
解：由，当时，，则
∵，
∴，
如图所示，
在轴上取一点，则，
以为直径，的中点为圆心，作，则，
∴，
∴，
∵，
∴点在上，
∵，
设，过点作于点，则，
在中，，，
∴，
即，
整理得，
∴，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
∴或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
