第四章 数列
第4.3.1讲 等比数列的性质及其应用（第2课时）
1．类比等差数列的性质，理解掌握等比数列的性质，能应用等比数列的性质解决简单问题．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
1、等比数列性质的应用
2、等比数列的实际应用
3、等比数列性质的综合应用
知识点一 等比数列通项公式的变形推广
1．（1）an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
（2）等比数列{an}的图象是指数型函数f(x)＝·qx的图象上的孤立点．
2．设{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*)．
知识点二 等比数列的性质
在等比数列{an}中，设{an}的公比为q.
（1）若m＋n＝s＋t(m，n，s，t∈N*)，则am·an＝as·at．
①如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，则am·an＝a．
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
（2）若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．
特别地，若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk．
题型1、等比数列性质的应用
1．在正项等比数列中，若，则的公比（ ）
A． B．2 C． D．4
2．已知等比数列的前3项积64，，则等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
3．已知等比数列满足，，则（ ）
A．26 B．78 C．104 D．130
4．在等比数列中，如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，，那么( )
A． B．或 C． D．或
题型2、等比数列的实际应用
6．某工厂去年产值为，计划10年内每年比上一年产值增长，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过？（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
7．折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，，3．记，若成立，则n的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：
A．17.9万亿 B．19.1万亿
C．20.3万亿 D．21.6万亿
10．古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（ ）
A．数列是等差数列，且公差为
B．数列是等比数列，且公比为
C．数列是等比数列，且公比为
D．数列是等差数列，且公差为
题型3、等比数列性质的综合应用
11．设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．没有最大值
12．正项等比数列中，，，则（ ）
A． B．3 C．6 D．9
13．在等比数列中，如果，，那么（ ）
A．72 B．81 C．36 D．54
14．已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（ ）
A． B． C．是递减数列 D．存在最小值
15．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
一、单选题
16．在等比数列中，若，则（ ）
A．6 B．9 C． D．
17．在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
18．在正项等比数列中，，则的公比为（ ）
A．或3 B．3 C．2或 D．2
19．已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
20．等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知等比数列中，，则公比（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22．等比数列为递减数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．6
23．设，，数列的前项和，，则存在数列和使得（ ）
A．，其中和都为等比数列
B．，其中为等差数列，为等比数列
C．，其中和都为等比数列
D．，其中为等差数列，为等比数列
二、多选题
24．已知等比数列中，，则（ ）
A． B．
C．当时， D．的前10项积为1
25．设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A． B．当时，
C． D．
三、填空题
26．已知等比数列中，，，则的值是 ．
27．设等比数列满足，，若为数列的前项积，则的最大值为 .
四、解答题
28．已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足，求；
(2)若，，求；
(3)若，，求的值．
29．等比数列满足：，，公比．求的通项公式．
30．（1）已知等比数列满足，，求的值；
（2）已知等比数列为递增数列.若，且，求数列的公比.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据等比数列的性质可得，结合等比数列的定义分析求解.
【详解】因为数列为正项等比数列，则，
由，可得，
由题意可得：，解得.
故选：B.
2．A
【分析】由等比数列的性质计算即可得.
【详解】由等比数列的前3项积为64，故，即，
由，即，即.
故选：A.
3．B
【分析】根据已知求出，然后即可根据等比数列的性质得出答案.
【详解】设等比数列公比为，
根据已知可得，，
所以，，解得，
所以，.
故选：B.
4．C
【分析】根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解.
【详解】由等比数列性质知，，，，成等比数列，其首项为，公比为，所以.
故选：C.
5．B
【分析】根据等比数列性质求解.
【详解】，
当时，，
当时，.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
6．C
【分析】由题意可得，今年的产值为，且每年的产值构成一个等比数列，公比为1.1，写出等比数列的通项公式，列出不等式，代入选项，即可得解.
【详解】由题意知，今年的产值为，且每年的产值构成以为首项，公比为1.1的等比数列，则
，即，
又，，.
故选：C
7．A
【分析】根据等比数列的性质，结合等面积法即可求解.
【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折5次后，得到腰长为等腰直角三角形，斜边长为，
设该等腰直角三角形的内切圆半径为，则由等面积法可得，解得.
故选：A.
8．C
【分析】根据规律确定的关系式，进而可得，从而求得，然后求解可得结果.
【详解】由题意得，
，
即，则，又，
∴是以6为首项，3为公比的等比数列，
∴，则，且随着的增大而增大，
当时，；当时，，
故成立时，n的最小值为8．
故选：C．
9．B
【分析】
确定从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列，确定首项和公比，根据等比数列的通项公式，即可求得答案.
【详解】依题意可得从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列，
其中，公比，
故2022年进出口累计总额约为（万亿），
故选：B
10．B
【分析】根据项与前项和的关系结合条件可得，根据等比数列的概念进而判断AB，结合条件可得，进而判断CD.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
即，又为大于1的常数，
所以，即数列是等比数列，且公比为，故A错误，B正确；
由上可知，又，
所以，，
所以不是常数，故C错误；
所以，不是常数，故D错误.
故选：B.
11．B
【分析】
根据给定条件，结合等比数列通项分析求出公比的范围，再逐项分析判断作答.
【详解】在等比数列中，由，，得，即有，，
若，则，，此时，与已知条件矛盾，因此，B正确，C错误；
显然数列是递减数列，由，得，则，A错误；
由于，当，，而，则，当时，，则，
因此当时，逐渐增大，当时，逐渐减小，所以的最大值为，D错误.
故选：B
12．B
【分析】根据题意和等比数列的性质计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，
因为数列为正项等比数列，所以，
由题，
则，所以，
所以.
故选：B
13．D
【分析】依题意设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式求出，最后根据计算可得；
【详解】解：设等比数列的公比为，因为，，
所以，所以；
故选：D
14．B
【分析】根据等比数列的性质分别进行判断即可.
【详解】A：当时，，，成立，当时，，，不成立，A选项错误；
B：成立，B选项正确；
C：当时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，C选项错误；
D：当时，存在最小值，当时，存在最大值，D选项错误；
故选：B.
15．D
【分析】利用除法求得公比.
【详解】等比数列满足，
.
故选：D
16．A
【分析】
根据等比数列性质直接求解即可.
【详解】
因为，所以（负值舍去），
所以.
故选：A
17．B
【分析】根据韦达定理可得，结合等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，是方程两根，
所以，即，
在等比数列中，，又，
所以，因为，所以，所以.
故选：B.
18．D
【分析】根据题意得，再利用等比数列的基本量计算求出公比.
【详解】由题意得，得，
由，得，得或（舍去）.
故选：D.
19．B
【分析】根据题意可得，利用等比数列的性质可得，再结合对数的运算性质即可求解.
【详解】∵，∴，
∴，又，
∴，得，
∴.
故选：B．
20．D
【分析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；
【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；
故选：D
21．A
【分析】利用求解即可.
【详解】等比数列中，
，
设等比数列的公比为，
又因为
所以，
故选：A.
22．A
【解析】，可得与为方程的两个根，又，解得，，再利用通项公式即可得出.
【详解】∵等比数列为递减数列，，，
∴与为方程的两个根，
解得，或，，
∵，∴，，
∴，
则，
故选:A.
23．D
【解析】由题设求出数列的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.
【详解】解：，
当时，有；
当时，有，
又当时，也适合上式，
，
令，，则数列为等差数列，为等比数列，
故，其中数列为等差数列，为等比数列；故C错，D正确；
因为，，所以即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错.
故选：D.
【点睛】方法点睛：
由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.
24．ACD
【分析】AB选项，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而判断AB；C选项，求出通项公式，得到时，；D选项，利用等比数列性质进行计算.
【详解】A选项，由，得等比数列的公比，所以，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，当时，，C正确；
D选项，由，可得的前10项积为，D正确.
故选：ACD．
25．BCD
【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC，根据基本不等式的应用判断D.
【详解】A选项：因为，所以，所以A不正确；
B选项：因为，，则，所以，所以，所以B正确；
C选项：因为，所以，所以，所以C正确；
D选项：，当且仅当时，等号成立．所以D正确．
故选：BCD．
26．##
【分析】在等比数列中，若，则.利用该性质可解决这个问题.
【详解】因为数列是等比数列，所以：，∴.
故答案为：
27．
【解析】根据等比数列的性质，由题中条件，先求出首项和公比，结合等比数列的单调性，即可判断出结果.
【详解】设等比数列的公比为，
由，可得
则，
所以，
因此，
当时，，
所以为使数列的前项积最大，只需或，
此时的最大值为.
故答案为：.
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用等比数列的性质求解即可.
（2）利用等比中项和等比数列的性质求解即可.
（3）利用等比数列的性质以及对数的运算求解即可.
【详解】（1）在等比数列中，
，，
.
（2）由等比中项，
，
，，
，
即，
，.
（3）由等比数列的性质，
，
.
29．
【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可求数列的通项公式．
【详解】由，且，
则解得，，或，，
又公比，则数列为递减数列，
所以，，则，得，
则，所以数列的通项公式为．
30．（1）；（2）2.
【解析】（1）根据等比数列的通项公式求出，可得；
（2）根据等比数列的通项公式求出或，再根据等比数列为递增数列，且，可得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由，得，
解得，∴，∴，∴.
（2）由，得，
易知，所以，即，
解得或.
因为等比数列为递增数列，且，所以，所以.
【点睛】关键点点睛：掌握等比数列的通项公式是解题关键.
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