2024年四川省雅安中学中考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
2．近几年，雅安市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，年突破亿大关．亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．今年“父亲节”佳佳给父亲送了一个礼盒，该礼盒的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1=28°，则∠2的度数是（ ）
A．62° B．108° C．118° D．152°
5．若式子有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1
6．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2=2a4 B．a6÷a2=a3 C．（﹣a3）2=a6 D．（ab）2=ab2
7．不等式组的解集为（ ）
A．x＞ B．x＞1 C．＜x＜1 D．空集
8．如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣
9．某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
鞋的尺码 23 24 25
销售量/双 1 3 3 6 2
A．， B．，24 C．24，24 D．，24
10．已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小
11．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数图象如图所示，，下列结论：
①；②；③；④点都在抛物线上，则有．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
13．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是 ．
14．若，则的值为 ．
15．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 ．
16．如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，点在上（不与点重合），连接．若，则 度．
17．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分．
18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．
（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．
四、解答题：本题共6小题，共59分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
20．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注.我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”.
（1）被调查的总人数是_____________人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为_______.
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有__________人；
（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.
21．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：
（1）△AFG≌△AFP；
（2）△APG为等边三角形．
22．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
23．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若tanC=2，求的值．
24．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可求得答案．
【详解】解：的相反数是2．
故选：D
2．B
【分析】本题考查科学记数法，根据将一个数写成（1≤a<10，n为整数）的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案；
【详解】解：亿，
故选：B．
3．C
【详解】【分析】根据主视图是从物体正面看得到的视图进行判断即可得.
【详解】由图可得，该礼盒的主视图是左边一个矩形，右面一个小正方形，
如图所示，
故选C．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，明确主视图是从物体正面看得到的是解本题的关键.
4．C
【详解】【分析】依据AB∥CD，即可得出∠2=∠ABC=∠1+∠CBE．
【详解】如图，∵AB∥CD，
∴∠2=∠ABC=∠1+∠CBE=28°+90°=118°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
5．D
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
∴m≥﹣2且m≠1，
故选D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.
6．C
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂除法法则、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐项进行计算后即可得.
【详解】A、a2+a2=2a2，故A选项错误；
B、a6÷a2=a4，故B选项错误；
C、(-a3 )2=a6，故C选项正确；
D、(ab)2=a2 b2，故选项D错误，
故选C．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握各运算的运算性质和法则是解题的关键．
7．B
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再取两个不等式的解集的公共部分即可得不等式组的解集．
【详解】解不等式2x>1-x，得：x>，
解不等式x+2<4x-1，得：x>1，
则不等式组的解集为x>1，
故选B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．A
【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=AB=1，再根据公式即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE=AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是×4×1-=2-π，
故选A．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
9．A
【分析】本题主要考查了求众数和求中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做中位数，据此求解即可．
【详解】解：∵鞋码为的销售量最多，
∴这组数据中，众数为，
把这组数据按照鞋码尺寸从低到高排列，处在第8位的鞋码尺寸为，则中位数为．
故选：A．
10．C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键．
11．D
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
【详解】如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE=BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2，
∴AB=3，
∴，
∴，
∴DF=，
故选D．
【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．
12．B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a、b、c的符号，即可得出结论①正确，利用对称轴公式，可得结论②正确；利用平方差公式，可得结论③正确，利用图象法可以判断出④错误
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵，，
∴，
∴，故②正确，
∵时，，
∴，
∵时，，
∴，
∴，
∴，故③正确，
∵点都在抛物线上，
观察图象可知，故④错误．
综上，正确的结论是①②③，
故选：B．
13．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．
【详解】列表如下：
-2 -1 1 2
-2 2 -2 -4
-1 2 -1 -2
1 -2 -1 2
2 -4 -2 2
由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果，
∴积为大于-4小于2的概率为=，
故答案为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．-2
【分析】将两方程相加可得4a-4b=8，再两边都除以2得出a-b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．
【详解】解：由题意知，
①+②，得：4a-4b=8，
则a-b=2，
∴b-a=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．
15．1
【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解.
【详解】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了解方程，涉及完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出的度数是解此题的关键．连接，根据切线的性质求出，求出，即可求出答案．
【详解】解：如图所示
连接，
切于，
，
，
，
的度数是，
的度数是，
，
故答案为：．
17．
【详解】【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．
【详解】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，
∴BC==9，
S△ABC=AB AC=BC AF，
∴3×6=9AF，
AF=2，
∴AA'=2AF=4，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴，
∴，
∴A'E=，
即AD+DE的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.
18．（1）；（2）；（3）0＜x＜3．
【详解】分析：（1）由点C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由菱形的边长确定出点A坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意的x的范围即可．
详解：（1）由点C的坐标为（1，），得到OC=2，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=OA=2，BC∥x轴，
∴B（3，），
设反比例函数解析式为y=，
把B坐标代入得：k=3，
则反比例函数解析式为y=；
（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（2，0），B（3，）代入得：，
解得：
则直线AB的解析式为y=x﹣2；
（3）联立得：，
解得：或，即一次函数与反比例函数图象的交点坐标为（3，）或（﹣1，﹣3），
则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为0＜x＜3．
点睛：此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数图象的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19．（1）；（2），
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，分式的化简求值；
（1）根据化简绝对值，负整数指数幂，化简二次根式，进行计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算进行化简，然后将字母的值代入，即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式．
20．（1）50，216°；（2）补图见解析；（3）180；（4）
【详解】分析：（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；
（2）总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；
（4）用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．
详解：（1）被调查的总人数为5÷10%=50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×=216°，
（2）B类别人数为50-（5+30+5）=10人，
补全图形如下：
（3）估计该校学生中A类有1800×10%=180人;
（4）列表如下：
女1 女2 女3 男1 男2
女1 --- 女2女1 女3女1 男1女1 男2女1
女2 女1女2 --- 女3女2 男1女2 男2女2
女3 女1女3 女2女3 --- 男1女3 男2女3
男1 女1男1 女2男1 女3男1 --- 男2男1
男2 女1男2 女2男2 女3男2 男1男2 ---
所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，
∴被抽到的两个学生性别相同的概率为．
点睛：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证；
（2）由（1）的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证．
【详解】证明：（1）由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，
∵DC∥MN∥AB，
∴F为PG的中点，即PF=GF，
由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，
在△AFP和△AFG中，
，
∴△AFP≌△AFG(SAS)，
（2）∵△AFP≌△AFG，
∴AP=AG，
∵AF⊥PG，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，
∴△APG为等边三角形．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，以及矩形的性质，熟练掌握相关的性质与定理是解本题的关键．
22．（1）该商店3月份这种商品的售价是40元；（2）该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论．
【详解】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得：
，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得：（40﹣a）×=900，
解得：a=25，
∴（40×0.9﹣25）×=990（元）．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23．（1）证明见解析；（2）BG：GA=1：4．
【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG即可；
（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题.
【详解】解：（1）如图，连接AD、OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴FG是⊙O的切线；
（2）∵tanC==2，BD=CD，
∴BD：AD=1：2，
∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠GDB=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠GDB=∠GAD，
∵∠G=∠G，
∴△GDB∽△GAD，设BG=a．
∴，
∴DG=2a，AG=4a，
∴BG：GA=1：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，正确添加辅助线构造三角形的中位线或相似三角形是解题的关键.
24．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）点P的坐标为（1，）或（2，1）；（3）存在，理由见解析．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，
设点P（x，﹣ x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），
∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，
∴S△PBC=OB DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x，
又∵S△PBC=1，
∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，）或（2，1）；
（3）存在．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OC=OA=1，
∴∠BAC=45°，
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点，
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，
解得：x=（负值已舍去），
∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．
