黔东南2024年初中学业水平第一次模拟考试卷
数 学
同学你好！ 答题前请认真阅读以下内容：
1．本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟．
2．一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．
3．不能使用计算器．
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用HB或2B铅笔在《答题卡》上填涂正确选项的字母框，每小题3分，共36分．
1．在实数，，0，3中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在国家“一带一路”倡议下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧专列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000km，将13000用科学记数法表示应为( )
A． B． C． D．
4．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．小星记录了某地一周每天的最高气温，数据如下表所示：
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温 23 25 24 22 25 24 25
则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A． B． C． D．
6．计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
7．汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（ ）
A． B． C． D．
8．如图①是某商场某品牌的椅子，图②是其侧面图， 与地面平行，则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB是的直径，C，D是上的两点，连接AC，CD，AD，若，则的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
10．已知，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，按下列步骤尺规作图：①以为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和；②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．以下结论错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
12．如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．计算： ．
14．现从甲、乙、丙三名同学中，随机抽取一名同学参加学校举行的“学法用法知识竞赛”，则抽到乙的概率为 ．
15．分解因式： ．
16．如图，在矩形中，，点P是边上的一个动点（点P不与点A，D重合），将沿折叠，使点A落在点的位置，连接，若，则的长为 ．
三、解答题（本大题共10题，共 98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
18．下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：移项，得 第一步 二次项系数化为1，得 第二步 配方，得 第三步 由此可得 第四步 所以， 第五步
①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；
②请写出你认为正确的解答过程．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当x为何值时，请直接写出x的取值范围．
20．某校文学社为了解学生课外阅读情况，对本校七年级的学生进行了课外阅读知识水平检测．为了解情况，从七年级学生中随机抽取部分女生和男生的测试成绩，将这些学生的成绩x（单位：分，）分为5组：
A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．
并提供了这5个组的如下4条信息：
①不完整的扇形统计图和条形图
②女生成绩在的数据为：70，72，72，72；
③男生成绩在的数据为：72，68，62，68，70；
④抽取的男生和女生测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
平均数 中位数 众数
男生测试成绩 76 a 68
女生测试成绩 76 72 b
请根据以上信息解答下列问题：
(1) ， ．
(2)从七年级一共抽取了多少名学生？
(3)在抽取的学生中，你认为男生测试成绩好还是女生测试成绩好？ 并说明理由．
21．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于 F．
(1)求证：；
(2)连接，若的面积为2，求平行四边形的面积．
22．年月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．
市场调研：
某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息：
信息一 信息二
商场从厂家购进、两款书包，其中款书包个，款书包个，共付款元，已知每个款书包的进价比每个款书包贵元． 商场将款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个款书包仍可获利．
问题解决：
(1)每个款书包的进价为 元，每个款书包的进价为 元；
信息应用：
(2)在信息二中，款书包实际销售时打多少折出售？
23．随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，如图①是一款太阳能路灯实物图，图②是某校兴趣小组测量太阳能路灯电池板距离地面高度的方案示意图，其中测角器的高在点C处安置测角器，测得点A的仰角，在与点C相距的点D处安置测角器，测得点A的仰角（点C，D，B在同一条直线上） ．
(1)设，用含x的代数式表示的长；
(2)求电池板距离地面的高度的长．
（结果精确到；参考数据：）
24．如图，是的外接圆，，连接，延长交于点，交于点．
(1)的度数为 度，写出图中一对全等的三角形： ；
(2)求证：；
(3)若，试求的度数．
25．小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；
(3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．
26．如图，在边长为2的正方形中，点E在边上，点F在边上，连接，，与相交于点 P．
(1)【动手操作】在图1中画出线段，；
(2)【问题探究】若．
①利用图2 探究的值；
②过点P作，垂足分别为M，N，连接，试求的最小值．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查有理数的分类．由正数和负数的概念，即可判断．
【详解】解：在实数，，0，3中，，是负数，共2个，
故选：B．
2．B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐一判断即可．
【详解】解：第一个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第二个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；
第三个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第四个图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此图案不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
3．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：将13000用科学记数法表示为：．
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4．C
【分析】本题主要考查了平方差公式，同底数幂乘除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解；A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了求中位数和求众数，众数是一组数据中出现最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的数据或最中间的两个数据的平均数，据此求解即可．
【详解】解：∵气温为的有3天，出现的次数最多，
∴众数为，
把这7天的温度从低到高排列，处在第4名的温度为，
∴中位数为，
故选：C．
6．C
【分析】根据同分母分式的加法法则，即可求解．
【详解】解：原式=，
故选C．
【点睛】本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．
7．B
【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，直接用油箱中的油量除以平均耗油量即可得到答案．
【详解】解：，
∴汽车最多能行驶，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据邻角互补的定义求出的度数，再利用两直线平行内错角相等的性质即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．A
【分析】连结BC，根据直径所对圆周角可得 ，由同弧所对圆周可求出∠ABC的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数即可．
【详解】解：连结BC，
∵AB是的直径，
，
∵∠ABC=∠ADC=75°，
，
故选A．
【点睛】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．
10．D
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
【详解】解；∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵，，都在反比例函数的图象上，且，
∴，
故选：D．
11．D
【分析】本题考查了尺规作图角平分线的作法，角的直角三角形，三角形的外角及面积比较，垂直平分线的判定等知识点，根据所给的信息判断出尺规作图所作的线段是解题的关键 ．
根据作图步骤可判断出为的角平分，即可判断A；利用角的等量关系即可判断B和C，利用角的直角三角形的比值关系得到的值，即可判断D．
【详解】解：根据①②③的作图步骤，可判断出为的角平分，故A正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴点 D在线段的垂直平分线上，故C正确；
∵在中，，
∴，
∴，
，故D错误；
故选：D．
12．D
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点．根据求得即可．
【详解】解：分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点，
都是反比例函数图象上的两点，
，
，
，
，
，
故选：D．
13．
【分析】本题考查了平方的运算，根据运算的法则运算即可．
根据平方的运算法则进行运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了概率公式，把乙的情况数除以总情况数，即可作答．
【详解】解：依题意，∵现从甲、乙、丙三名同学中，随机抽取一名同学参加学校举行的“学法用法知识竞赛”
∴抽到乙的概率为
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解；，
故答案为：．
16．
【详解】解：过点作于点，
，
是的垂直平分线．
．
设，于是．
则．
T由题意可证
，
即
解得：
依题意，只能取．
17．6
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先算乘方以及绝对值以及零指数幂，再算加减法，即可求解．
【详解】解：
．
18．①第三步；②详见解析
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程变为，然后配方为，再开平方即可．
【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；
②，
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
由此可得，
所以，．
19．(1)一次函数的表达式为：；反比例函数的表达式为：
(2)，或
【分析】此题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结合的思想．
（1）先将点A代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将求出的A、B两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求出该不等式的解集．
【详解】（1）解：将点代入中得：
，
反比例函数的表达式为：，
把代入，
，即，
将点代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为：；
（2）解：根据图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，
当时，或．
20．(1)71，72
(2)从七年级一共抽取了20名学生
(3)女生测试成绩比男生好，理由见解析
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
（1）用C组的人数除以所占百分比可得总人数，再根据中位数和众数的求法求出a，b即可；
（2）用C组的人数除以所占百分比可得总人数
（3）从中位数、众数的意义进行判断即可．
【详解】（1）解：本次调查人数为：（名），
B组的人数为：（人），B组中的女生有：（名），
调查人数中：女生有（人），男生有人，
抽查人数中，成绩处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是71，即，
在10名女生成绩中，出现次数最多的是72，因此众数是72，即，
故答案为：71，72，
（2）解：本次调查人数为：（名）
（3）解：女生，理由为：女生成绩的中位数、众数均比男生的高，
故答案为：女生，女生成绩的中位数、众数均比男生的高．
21．(1)详见解析
(2)4
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）证明，即可；
（2）过点作，根据三角形的面积公式以及分割法求四边形的面积即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形
，
，
为边的中点，
∴，
又，
，
．
（2）过点作．
的面积为2
四边形是平行四边形
．
22．(1)60，100；
(2)在信息二中，B款书包实际销售时打九折出售
【分析】本题考查了一元一次方程利润型问题，根据图标信息建立方程是解题的关键．
（1）设每个款书包为元，则款书包为元，利用款书包的总价款书包的总价付款总额列出方程求解即可；
（2）设折扣为，根据成本售价折扣，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设每个款书包为元，则款书包为元，
由题意可得：，
解得：，
∴，
∴每个款书包为元，则款书包为元；
（2）解：设折扣为
由题意可得：
解得：，
∴打了九折，
答：在信息二中，B款书包实际销售时打九折出售
23．(1)
(2)电池板距离地面的高度约为
【分析】本题考查锐角三角函数的应用，构造直角三角形求解是解题的关键．
（1）延长交于点M，设在中，利用求出结论；
（2）在中，利用正切定义得出，求出x的值，即可解答．
【详解】（1）解：延长交于点M，
，
，
∵，
∴四边形是矩形，
米，，
∴四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
；
（2）在中，，，，
，
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：电池板离地面的高度的长为米．
24．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了圆周角圆心角的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定及性质等知识点，灵活运用同圆中等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角为直角即可得到的度数，再利用HL即可证明出；
（2）运用同圆中相等的弧所对的圆周角相等证出和，即可得到；
（3）根据推理出，利用含角的直角三角形边的比值关系可推理出，再利用圆周角与圆心角的数量关系转角即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：为的直径，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴（HL）；
（2）解：由（1）可得：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）连接如图所示：
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵在中， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．(1)
(2)坐标为
(3)符合条件的的整数值为7，8
【分析】（1）利用待定系数法确定函数即可得到答案；
（2）根据题意，可得直线与轴的交点就是所求的点，如图所示，求出直线的解析式，得到直线与轴的交点即可得到答案；
（3）根据题意，设接球点为点，点坐标为，如图所示，得到，将和代入，得到即可确定答案．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：直线与轴的交点就是所求的点，如图所示：
的顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
当时，解得，即直线与轴的交点为，
点坐标为；
（3）解：小明在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到球，
设接球点为点，点坐标为，如图所示：
则，
把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
，
符合条件的的整数值为7，8．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数图象与性质、直线的图象与性质、解不等式等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键．
26．(1)图见解析
(2)①2；②
【分析】（1）根据题意作线段即可；
（2）①如图2，证明，则，，求解作答即可；②如图2，则四边形是矩形，取的中点，连接，则，，即点在以为直径的上，当三点共线时，最小，最小值为：，由勾股定理计算求解，进而可得的最小值．
【详解】（1）解：如图1，
图1
（2）①解：如图2，
图2四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为2；
②解：如图2，则四边形是矩形，取的中点，连接，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
点在以为直径的上，
当三点共线时，最小，最小值为：，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了画线段，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆，勾股定理等知识．熟练掌握画线段，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆，勾股定理是解题的关键．
