河北省曲阳县第一高级中学
2023-2024学年度高一下学期期中考试
数学模拟卷 范围：人教A版（2019）必修二6.1-8.3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知平面向量，且，则
A． B． C． D．
2．已知向量，其中，且，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
3．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
6．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为棱长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
10．已知三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（ ）
A．球的内接正方体的棱长为1
B．球的表面积为
C．球的外切正方体的棱长为
D．球的内接正四面体表面积为
11．对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，则的面积为
C．在锐角中，不等式恒成立
D．若且有两解，则的取值范围是
三、填空题
12．已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为 ．
13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 .
14．如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于 .
15．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为 ；若点是线段上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
16．已知复数，，（，是虚数单位）．
(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
17．已知向量，.
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若向量与互相垂直，求的值.
18．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求的值.
19．在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为2，求的最小值。参考答案：
1．B
【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B.
考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.
2．B
【分析】求得，根据夹角公式求得与的夹角.
【详解】由于，所以，
设与的夹角为，
则，
由于，所以.
故选：B
3．B
【分析】根据复数的运算法则求出复数即可判断.
【详解】由题意知，，
所以在复平面内所对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
4．D
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解.
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
5．C
【分析】由平面向量共线定理求解即可.
【详解】因为向量，是平面上两个不共线的单位向量，所以，可以作为一组基底，
对于A，因为，，若三点共线，
设，，则，无解，所以三点不共线，故A错误；
对于B，若三点共线，
设，，则，无解，所以三点不共线，故B错误；
对于C，因为，
因为有公共点，所以三点共线，故C正确.
对于D，因为，
，设，，
则，无解，所以三点不共线，故D错误；
故选：C.
6．C
【分析】根据斜二测画法还原四边形，由梯形面积公式求解．
【详解】如图，作平面直角坐标系，
使与重合，在轴上，且，在轴上，且，
过作∥，且，连接，则直角梯形为原平面图形，
其面积为．
故选：C.
7．A
【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积.
【详解】
设上下两个底面的中心分别为，连接，
因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，
所以直三棱柱外接球的球心为的中点，
连接，在等边中，，
在直角中，，
所以直三棱柱外接球的半径，
所以球的表面积为.
故选：A
8．A
【分析】根据图形，几何体的体积由圆柱的体积加正方体的体积减去正方体遮住圆柱的部分求解.
【详解】由图可知，组合体的体积为：
，
故选：A.
9．ACD
【解析】由，的坐标，根据向量模、夹角的坐标表示及向量垂直、平行的判定即可判断各选项的正误.
【详解】∵，，
∴，，
∴，故A正确；
∵，
∴与不平行，故B错误；
又，C正确；
∵，又，
∴与的夹角为， D正确.
故选：ACD
10．BD
【分析】
先求得球的半径，然后根据球和几何体的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
设球O的半径为r，的外接圆圆心为，半径为，
由正弦定理得，
因为球心O到平面的距离等于球O半径的，
所以，，，
所以球O的表面积，选项B正确；
球O的内接正方体的棱长满足（正方体的体对角线长等于外接球的直径），
，所以选项A不正确；
球O的外切正方体的棱长满足，所以选项C不正确；
先求解正四面体的棱长和其外接球半径间的关系：
设正四面体的边长为，将其补形成正方体如下图所示，
则正方体的边长为，
正方体的体对角线长为，
所以正四面体的外接球的直径为，半径为.
所以球的内接正四面体的棱长满足，
所以正四面体的表面积为，选项D正确.
故选：BD
【点睛】
求解几何体与球的内接、外切问题，主要是求解球的半径.如果几何体是正方体、长方体，则外接球的直径是几何体的体对角线.求解正四面体的外接球问题，可以补形成正方体来进行求解.
11．ACD
【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.
【详解】选项A：中，若，
即，所以由正弦定理得，
又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确；
选项B：中，若，则由正弦定理得，解得，
所以或，所以或，的面积或，B说法错误；
选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，则，
又因为在单调递增，所以，C说法正确；
选项D：如图所示，
若有两解，则，解得，D说法正确；
故选：ACD
12．6
【分析】由复数的几何意义求解即可.
【详解】设(为实数)，
则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点，
则表示的几何意义是圆上的点到的距离，
根据圆的性质可知，所求最大值为.
故答案为：6.
13．
【分析】根据投影向量的概念结合数量积的坐标运算以及模的坐标运算，即可求得答案.
【详解】由题意得在上的投影向量为
，
故答案为：.
14．
【分析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.
【详解】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于，
圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，
所以组合体的表面积为.
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥，圆柱的侧面积的公式，组合体的表面积的理解，属于容易题.
15．
【分析】
根据直角三角形斜边上中线的性质确定球心，即可计算半径及表面积，利用翻折后，由平面上两点之间距离最短确定Q位置，再由余弦定理求解最小值.
【详解】
如图，
设中点为O，
由底面，底面，所以,
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得，
因为，，所以，
所以在中，
，
所以O为四棱锥外接球的球心，为该球半径，
所以其表面积为；
将绕AC翻折到与所在面重合，此时运动到处，连接，交AC于点Q，如图，
此时最小，因为，，
所以，又，，
所以.
所以的最小值为.
故答案为： ；
16．(1)
(2)
【分析】（1）运用复数减法结合复平面可知：在复平面对应的点坐标为，
根据题意可得求解；
（2）把打入方程整理得，根据复数相等得．
【详解】（1）∵
则在复平面对应的点坐标为，在复平面对应的点落在第一象限，∴，解得．
（2）∵是方程的根
则，即，
所以，解得．
17．(1).
(2).
【分析】（1）利用平面向量的数量积即可求得结果.
（2）利用两向量垂直的条件即可求得结果.
【详解】（1）由，，
所以，
，，
设向量与的夹角为，则.
（2）若向量与互相垂直，
则，
所以.
18．(1)14海里小时；
(2).
【分析】（1）由题意知，，，.
在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度.
（2）在△中，，，，，
由正弦定理，即可解出的值.
【详解】（1）(1）依题意，，，，.
在△中，由余弦定理，得
.
解得.故渔船甲的速度为海里小时.
即渔船甲的速度为14海里小时.
（2）在△中，因为，，，，
由正弦定理，得，即.
的值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
（2）由于点是上的点，平分，且，
则，
由，得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最小值为.
20.【详解】解：因为，
所以，即，由余弦定理易得，又
平分角A，．由，
得，即，即，
，当且仅当时等号成立，
即的最小值为18．
答案第1页，共2页
