2023-2024学年广东省阳江市两阳中学高二（下）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直角坐标系中，直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.把个相同的小球分给个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点在棱上，且满足，设，，，则( )
A. B.
C. D.
4.数学家杨辉在其专著详解九章算术法和算法通变本末中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列，，，，，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列，，，，新数列，，，为等差数列，则称数列，，，，为二阶等差数列现有二阶等差数列，其中前几项分别为，，，，，，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.如图，已知圆柱的轴截面为矩形，，，分别为圆柱上、下底面圆周上一点，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8.如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于的展开式，下列判断正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式的各二项式系数的和为
C. 展开式的第项的二项式系数为 D. 展开式的各项系数的和为
10.已知数列和满足，，，则( )
A. 是等比数列 B. 是等差数列
C. D.
11.已知点在圆上，点，，则( )
A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点坐标是______．
13.在等比数列中，，，为该数列的前项和，为数列的前项和，且，则实数的值是______．
14.已知，若对任意，，都有，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是正项等差数列，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
记的前项和为，且，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
17.本小题分
已知函数，且，是函数的两个极值点．
求与的值；
若函数在上有最小值为，在上有最大值，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，
当时，求函数在上的最大值和最小值；
讨论函数的单调性；
若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，记的轨迹为．
求的方程；
过点的直线与交于，两点，，，设直线，，的斜率分别为，，．
Ⅰ若，求；
Ⅱ证明：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，设它的倾斜角为，
则有，且，，
故选：．
由直线的方程求出它的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有种．
故选：．
元素相同问题用隔板法．
本题主要考查组合及简单计数问题，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算，中线向量，属于基础题．
直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果．
【解答】
解：在三棱锥中，点在棱上，且满足，设，，，
故，，
所以，
由点为棱的中点，
所以，
故．
故本题选B．
4.【答案】
【解析】解：法一：根据题意知，数列，，，，，，
满足，
所以．
法二：由题意得，新数列为，，，，，，，，故．
故选：．
根据观察法，即可得出结果．
本题考查数列的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意知，的展开式的通项公式为，
展开式中含项的系数为．
故选：．
写出二项式的通项，分别求出含的项与含的项的系数，再由多项式乘多项式求解．
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
设，则，，结合，，
可得，，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
建立空间直角坐标系，设，根据已知得出，，即可根据异面直线夹角的向量求法得出答案．
本题考查圆柱的结构特征、向量的夹角公式、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，定义域为，
，
令，
所以在和上单调递增，排除，
当时，，，所以，排除．
故选：．
利用导数判定单调性即可得出选项．
本题主要考查了函数图象的变换，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的方程和性质，考查计算能力和转化能力，属于中档题．
设，根据双曲线的定义得到，，再结合，求出，进而求解结论．
【解答】
解：设，
则由双曲线的定义可得：，，
，
，
可得，
故BF，，，
，可得，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，二项式展开式共有项，故A错误；
对于，展开式的各二项式系数的和为，故B正确；
对于，展开式的第项的二项式系数为，故C错误；
对于，令可得展开式的各项系数的和为，故D正确．
故选：．
根据二项式定理的性质逐项判断即可．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由，，
两式相加可得，即，
即是首项为，公比为的等比数列，可得，故A正确，C错误；
由，，两式相减可得，
即有是首项为，公差为的等差数列，可得，故B正确；
由，，解得，故D正确．
故选：．
对已知数列的递推式两边相加和相减，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，即可判断正确结论．
本题考查数列的递推式和等差数列和等比数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：将圆化为标准方程得：，
则圆心，半径
又，所以，
因为点在圆上，
所以，所以存在点，使得，故A对；
因为，所以点在圆外，又，
则点在圆内，
所以当与圆相切时，取最大值，
此时，所以，故C对；
设，若，则，
即，
所以，
又点在圆上，所以一定成立，故D对，错．
故选：．
由圆上的点与定点的距离求法可判断；由直线与圆相切的知识可判断；求出与的关系即可判断，．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，抛物线的方程为：，其标准方程为；
其焦点在轴正半轴上，且，
其焦点坐标为；
故答案为：．
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析其焦点位置以及的值，即可得答案．
本题考查抛物线的焦点坐标，注意将抛物线的方程变形为标准方程．
13.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
则，解得，
故，
，
，
所以，
，
，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
令，则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调减，在上单调增，
所以，
所以，
因为对任意，，都有，
所以只需，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
对求导，求出的最值，由任意，，都有，可得，再求出的范围即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．
15.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，，
，，成等比数列，
，
即，
化简整理，得，
解得，或，
，
，．
由可得，，
则，
．
【解析】先设等差数列的公差为，再根据等差数列的定义及等比中项的性质列出关于公差的方程，解出的值，进一步计算出首项的值，即可计算出等差数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出前项和的表达式，进一步推导出数列的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前项和．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列的定义及等比中项的性质的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16.【答案】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，依题意得，，
，，，
所以，，
则，所以，
由已知，且，，平面，
所以平面；
解：已知，由可知平面，
又平面，所以，
故即为平面与平面的夹角，
设点的坐标为，则，
设，则有，
即，，，
设，则有，解得，
则点的坐标为，即，
又点的坐标为，所以，
所以，
又为锐角，所以，
即平面与平面的夹角大小为．
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得，结合，即可证得结论；
由已知，证得即为平面与平面的夹角，利用向量夹角公式即可求得两平面夹角的大小．
本题考查线面垂直的判定，考查两平面夹角的求法，属中档题．
17.【答案】解：，，
由条件知，
即，解得，，
由可知，则，
令，得或，
，随的变化情况如下表：
， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
，，，
函数在上有最小值为，
，解得，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
，
画出图象如图所示，由于函数在上有最大值，根据图象可知，
即．
【解析】由已知可得，求解即可；
利用导数可得函数的单调性，进而可得，，，可得最小值，可求，进而可得的取值范围．
本题考查导数的应用，考查求参数的取值范围，属中档题．
18.【答案】解：当时，，所以，
令时，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，所以在取得极小值，也是最小值，
，
又
．
在上的最大值为，最小值是；
当时，令，解得：，
令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，在上恒成立，
所以在上为减函数，
当时，在恒成立，
所以在上单调递减．
综上，当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在上单调递减．
，依题意：，解得：，
所以，
又对恒成立，即，
所以在上恒成立．
令，
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
时，
故，
所以的取值范围为．
【解析】利用导数求函数在闭区间上的最值；
利用导数分类讨论函数的单调性；
利用导数的几何意义确定的值，接着分离参数得在上恒成立，令，利用导数求函数的最小值，实数的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值问题，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
所以曲线为以为焦点的椭圆，
其中，
所以椭圆方程：．
Ⅰ易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，
由，得，
则，
则，，，
所以
，
因为，所以．
Ⅱ证明：因为，
所以为定值．
【解析】根据椭圆的定义可判断曲线是椭圆，即可求出其方程；
Ⅰ设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理和斜率公式求出的值，即可求出结果；
Ⅱ利用斜率公式求出，利用点在椭圆上，消元即可求出，再利用Ⅰ的结论，即可证明．
本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
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