2024年数学学科调研测试试卷
2024.4
一 单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若（为虚数单位），则复数的模为（ ）
A.2 B. C. D.1
2.记为等比数列的前项和.若，则（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
3.将座位号为的四张电影票全部分给甲 乙两个人，每人至少一张，若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为（ ）
A.4 B.6 C.7 D.12
4.已知椭圆的离心率为，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性.动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变.经过5730年，它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则的值为（ ）
A.12302 B.13304 C.23004 D.24034
6.设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A.数列为等差数列
B.
C.数列的前10项和为30
D.数列的前20项和为284
10.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A.在上单调递增
B.若且，则
C.若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D.存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数
11.如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则（ ）
A.若在线段上，则的最小值为
B.平面被正方体内切球所截，则截面面积为
C.若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆
D.对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为
三 填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.二项式的展开式中含的系数为__________.（用数字作答）
13.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为__________.
14.已知长方体的表面积为8，所有棱长和为16，则长方体体积的最大值为__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点.
（1）证明：直线平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
16.（15分）
记的内角的对边分别为，若，且的面积为.
（1）求角；
（2）若，求的最小值.
17.（15分）
甲 乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输贏则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜 平局 负的概率均为，且各局比赛结果相互独立.
（1）若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；
（2）规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数的分布列与数学期望.
18.（17分）
已知焦点在轴上，中心在坐标原点的等轴双曲线经过点，过点作两条互相垂直的直线分别交双曲线于两点.
（1）若为等腰直角三角形，求边所在的直线方程；
（2）判断原点与的外接圆的位置关系，并说明理由.
19.（17分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在正数，使成立，求的取值范围；
（3）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立.
2024年数学学科调研测试试卷参考答案
1.C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.B
9.AC 10.ACD 11.ABD
12.-80 13. 14.
15.（1）取的中点为，连接，
分别为的中点
且又，
故且，故四边形为平行四边形，，
平面平面，故直线平面
（2）底面四边形为正方形，底面
以为轴建立如图所示空间直角坐标系
则，
设平面的法向量为，
则，
取得到
设平面的法向量为，
则，
取得到
设平面与平面的夹角的为
则
答：平面与平面的夹角的余弦值为
16.（1）
结合余弦定理得
法一：即故
法二：
故
法三：由平方得：
故
（2）由（1）知：
当且仅当时，长取最小值，此时
长的最小值为.
注：其它解法相应给分.
17.（1）设“三局比赛后，甲得3分”为事件
甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负
所以
答：三局比赛后，甲得3分的概率为
（2）依题意知的可能取值为
故其分布列为：
2 3 4 5
期望
18.（1）设双曲线的方程为，则，
所以双曲线的方程为
法一：设
设
又，所以
化简得：
又不过点，，
设中点为，则
.
法二：当的斜率一个为0，一个不存在时，可得，不合题意；
设的斜率为，不妨设且，联立
以替换中的得
为等腰直角三角形，
可得
.
（2）在的外接圆的内部
理由如下：法一：当时，直线与双曲线方程联立可得：
，所以在的外接圆的内部.
法二：
，所以在的外接圆的内部
19.解：
（1）
当时在上恒成立，在上单调递增
当时，由得
在上单调递增，在上单调递减
（2）由得，令
若存在正数使成立，则
当时递增，当时递减
当时
（3）证明：令
则
所以在区间上单调递减
令，则，所以当时，单调递减.
时，单调递增，所以
又，所以，所以恒成立，
又.所以
同理可得，由时等号成立
又，所以，所以恒成立，
又，所以
所以区间上存在唯一的实数，使得
所以对任意，存在唯一的实数，使得成立
