第4章 相似三角形（A卷·基础巩固）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
满分：120分 考试时间：100分钟
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021 安徽模拟）如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．2
2．（2021 锦江区校级开学）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝3，BC＝5，EF＝4，那么DE的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021 金安区校级开学）已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（ ）
A．2cm B．4cm C．12cm D．±2cm
4．（2021 沙坪坝区校级开学）若两个相似多边形的面积比为25：36，则它们的对应边的比是（ ）
A．5：6 B．6：5 C．25：36 D．36：25
5．（2021 丽水模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，若＝，则下列说法不正确的是（ ）
A．＝
B．
C．＝
D．＝
6．（2021 庆阳一模）如图，平行四边形ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点F，若△AEF的面积为2，则△FBC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．（2021春 芝罘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021春 任城区期末）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°，若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，则BG的长为（ ）
A．8.5 B．9 C．9.5 D．10
9．（2020秋 随县期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
10．（2021春 黄石期末）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝AD，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH＝DF；②∠AEF＝45°；③S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH．其中不正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021春 鲤城区校级期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是 ．
12．（2021 丽水模拟）若＝，则的值为 ．
13．（2021春 莱州市期末）若点C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝8，且AC＞BC，则AC＝ （结果保留根号）．
14．（2021 雁塔区校级开学）△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ．
15．（2021 徐汇区二模）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 米．
16．（2021春 濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021 赣州模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．
18．（8分）（2021 安徽模拟）如图，AB为半圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点P是弧AC的中点，连接PB交AC于D．
（1）求证：AB BC＝BD PB；
（2）若BC＝6，AB＝10，求PB的长．
19．（8分）（2020秋 潜山市期末）如图，在锐角三角形OAB中，点C，D分别在边OA，OB上，OG⊥AB于点G，OH⊥CD于点H，∠COH＝∠GOB．
（1）求证：△ODC∽△OAB；
（2）若OD＝3，OA＝7，求的值．
20．（10分）（2021 唐山开学）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
21．（10分）（2021 福建模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E恰好落在AC上，设DE与AB交于点F，连接AD．
（1）求证：四边形ACBD是平行四边形；
（2）求的值．
22．（12分）（2020秋 犍为县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AC上一点，射线BE与CD的延长线交于点P，与边AD交于点F，连接FC．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF EP；
（2）若点D是CP中点，BE＝2，求EF的长．
23．（12分）（2020秋 长丰县期末）如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB的中点时，直接写出＝ ．
（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．
第4章 相似三角形（A卷·基础巩固）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021 安徽模拟）如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．2
【思路点拨】利用比例的性质由已知条件得到3（a﹣b）＝a，则可用b表示a得到a＝b，然后把a＝b代入中进行分式的运算即可．
【答案】解：∵，
∴3（a﹣b）＝a，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握常用的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
2．（2021 锦江区校级开学）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝3，BC＝5，EF＝4，那么DE的长是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【答案】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝3，BC＝5，EF＝4，
∴，
∴DE＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
3．（2021 金安区校级开学）已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（ ）
A．2cm B．4cm C．12cm D．±2cm
【思路点拨】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【答案】解：设线段c是a、b的比例中项，
∵线段a＝2cm，b＝6cm，
∴c2＝ab＝2×6＝12，
∴c＝2，c＝﹣2（舍去）．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段；解决问题的关键是理解比例中项的概念，这里需要注意线段长不能是负数．
4．（2021 沙坪坝区校级开学）若两个相似多边形的面积比为25：36，则它们的对应边的比是（ ）
A．5：6 B．6：5 C．25：36 D．36：25
【思路点拨】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方解决问题即可．
【答案】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为25：36，
∴对应边的比为5：6，
故选：A．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．
5．（2021 丽水模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，若＝，则下列说法不正确的是（ ）
A．＝ B． C．＝ D．＝
【思路点拨】根据题意可以得到△ADE∽△ABC，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A说法正确；
，故D说法错误；
∴，故B说法正确；
，
∴，故C说法正确；
故A、B、C选项正确，D选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质解答问题．
6．（2021 庆阳一模）如图，平行四边形ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点F，若△AEF的面积为2，则△FBC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【思路点拨】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，且AD∥BC，从而利用相似三角形的判定定理推出△AEF∽△CBF，再根据线段中点的性质得到＝，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝（）2，
∵点E为AD边中点，
∴AE＝AD＝BC，
∴＝，
∴＝（）2，
解得S△CBF＝8，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，解题的关键是结合图形利用线段中点的性质推出＝，注意数形结合思想方法的运用．
7．（2021春 芝罘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】设CF＝x，则＝，求出CF，由EF∥DB可求出的值．
【答案】解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴CF＝，
∵EF∥DB，
∴＝＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8．（2021春 任城区期末）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°，若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，则BG的长为（ ）
A．8.5 B．9 C．9.5 D．10
【思路点拨】由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF；求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，求出CG＝6，即可得出答案．
【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
∵∠ABE+∠AEB＝∠DEF+∠EBA＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3，
∴＝，
∴＝
解得：DE＝2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴＝，
∴＝，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝4+6＝10．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
9．（2020秋 随县期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
【思路点拨】根据相似三角形的判断可得△DOE∽△COA，再根据相似三角形的性质可得，从而可得BE：EC＝1：2，即可得到S△BDE与S△CDE的比．
【答案】解：∵DE∥AC，
∴∠DEO＝∠CAO，∠EDO＝∠ACO，
∴△DOE∽△COA，
∴，
∵S△DOE：S△COA＝1：9，
∴，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：2，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
10．（2021春 黄石期末）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝AD，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH＝DF；②∠AEF＝45°；③S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH．其中不正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【思路点拨】先证明△ADE≌△CDE，可得∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再证明△ABH≌△DCF，从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出②正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出③错误．
【答案】解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC＝AD＝DC．
∵BE＝AD，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中，
，
∴△ABH≌△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故①②正确；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故③错误，
∴正确的是①②，③不正确，
故选：A．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和、三角形外角的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021春 鲤城区校级期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是 4 ．
【思路点拨】直接利用相似三角形的性质得出＝，即可得出答案．
【答案】解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的关系是解题关键．
12．（2021 丽水模拟）若＝，则的值为 ．
【思路点拨】设a＝5x，则b＝3x，代入代数式再化简即可．
【答案】解：∵
∴设a＝5x，则b＝3x，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简，设出参数并代入化简是解题关键．
13．（2021春 莱州市期末）若点C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝8，且AC＞BC，则AC＝ 4﹣4 （结果保留根号）．
【思路点拨】根据黄金分割的定义列式计算即可得解．
【答案】解：由题意得，AC＝AB＝×8＝4﹣4．
故答案为：4﹣4．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟记定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比是解题的关键．
14．（2021 雁塔区校级开学）△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 （2，4）或（﹣2，﹣4） ．
【思路点拨】根据位似变换的性质解答即可．
【答案】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（﹣），6×（﹣）），即（2，4）或（﹣2，﹣4），
故答案为：（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．（2021 徐汇区二模）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 5.4 米．
【思路点拨】依据题意可得∠AOC＝∠BOD，通过说明△ACO∽△BDO，得出比例式可求得结论．
【答案】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
∴△ACO∽△BDO．
∴．
即．
∴BD＝5.4（米）．
故答案为：5.4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知条件得出相似三角形是解题的关键．
16．（2021春 濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 或 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．
【思路点拨】分两种情形①当＝时，②当＝时，分别构建方程求解即可．
【答案】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，
∴AD＝6﹣t，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当＝时，
即＝，解得：t＝；
②当＝时，
即＝，解得：t＝；
综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（2021 赣州模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．
【思路点拨】根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
18．（2021 安徽模拟）如图，AB为半圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点P是弧AC的中点，连接PB交AC于D．
（1）求证：AB BC＝BD PB；
（2）若BC＝6，AB＝10，求PB的长．
【思路点拨】（1）连接AP，由圆周角定理以及点P是弧AC的中点证明△ABP∽△DBC即可得到AB BC＝BD PB；
（2）连接OP，OP交AC于E点，根据勾股定理、垂径定理以及中位线定理，即可求得PB．
【答案】（1）证明：如图，连接AP，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠APB＝∠ACB＝90°，
∵点P是弧AC的中点，
∴∠CBD＝∠ABP，
∴△ABP∽△DBC，
∴AB BC＝BD PB；
（2）解：连接OP，OP交AC于E点，
在直角△ABC中，BC＝6，AB＝10，
∴AC＝＝8，
∵点P是弧AC的中点，
∴OP⊥AC，AE＝4，
由三角形中位线定理得OE＝BC＝3，
∴PE＝5﹣3＝2，
在直角△APE中，AP＝＝2，
在直角△ABP中，PB＝＝4．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似的判定与性质、勾股定理、中位线定理，解决此题的关键是连接AP构造△ABP∽△DBC，连接OP求得PE．
19．（2020秋 潜山市期末）如图，在锐角三角形OAB中，点C，D分别在边OA，OB上，OG⊥AB于点G，OH⊥CD于点H，∠COH＝∠GOB．
（1）求证：△ODC∽△OAB；
（2）若OD＝3，OA＝7，求的值．
【思路点拨】（1）根据垂线的性质得到∠OHC＝∠OGB＝90°，结合题意∠COH＝∠GOB，从而推出△OHC∽OGB，根据相似三角形的性质得到∠OCH＝∠B，结合图形中的公共角∠DOC＝∠AOB，利用相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据（1）中的结论△ODC∽△OAB，从而利用根据相似三角形的性质进行求解即可．
【答案】（1）证明：∵OG⊥AB于点G，OH⊥CD于点H，
∴∠OHC＝∠OGB＝90°，
又∠COH＝∠GOB，
∴△OHC∽OGB，
∴∠OCH＝∠B，
∵∠DOC＝∠AOB，
∴△ODC∽△OAB；
（2）由（1）得△ODC∽△OAB，
∴＝，
又OD＝3，OA＝7，
∴＝．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，需从题干或图形中寻找相等的角，从而利用相似三角形的判定定理和相似三角形的性质进行证明和求解，注意运用数形结合的思想方法．
20．（2021 唐山开学）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
【思路点拨】方案①：设正方形的边长为xcm，然后求出△AEF和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
方案②：作BH⊥AC于H，交DE于K，构造矩形DKHG和相似三角形（△BDE∽△BCA），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH的长度，则BK＝4.8﹣y；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【答案】解：设方案①正方形的边长为xcm，
∵∠ABC＝90°，四边形BDFE是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
即加工成正方形的边长为cm．
设方案②正方形的边长为ycm，作BH⊥AC于H，交DE于K，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DE∥AC，∠EDG＝∠DGF＝90°．
∴BH⊥DE于K．
∴∠DKH＝90°．
∴四边形DKHG为矩形．
故设HK＝DG＝y．
∴DE∥AC．
∴△BDE∽△BCA．
∴＝．
∵AC＝＝10．
∴S△ABC＝＝×BH．
∴BH＝4.8．
∴BK＝4.8﹣y．
∴＝．
解得y＝．
即方案②加工成正方形的边长为cm．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的对应边成比例，正方形的性质，熟记各性质并列出比例式是解题的关键．
21．（2021 福建模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E恰好落在AC上，设DE与AB交于点F，连接AD．
（1）求证：四边形ACBD是平行四边形；
（2）求的值．
【思路点拨】（1）由AB＝AC和旋转的旋转可得BD＝AB＝AC，再证明BD∥AC，即可证明结论；
（2）先证明△EBF∽△EDB，得，设EF＝x，DF＝BE＝BF＝y，代入比例式后，解出的值即可．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
由旋转可知：BD＝AB＝AC，BC＝BE，∠DBE＝∠ABC＝72°，
∴∠BEC＝∠C＝72°，
∴∠EBC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠DBC＝72°+36°＝108°，
∴∠DBC+∠C＝108°+72°＝180°，
∴DB∥AC，
∵DB＝AC，
∴四边形ACBD是平行四边形；
（2）解：∵∠EBF＝∠ABC﹣∠EBC＝72°﹣36°＝36°，∠EDB＝∠BAC＝36°，
∴∠EBF＝∠EDB＝36°，
∴∠DBF＝36°，
∴∠DBF＝∠EDB，
∴BF＝DF
∵∠BFE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BF＝BE，
∵∠FEB＝∠BED，
∴△EBF∽△EDB，
∴得，
设EF＝x，DF＝BE＝BF＝y，
∴，
∴x2+xy﹣y2＝0，
∴，
解得：＝或（不符合题意，舍去），
∴＝＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握顶角为36°等腰三角形的边角关系是解题的关键．
22．（2020秋 犍为县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AC上一点，射线BE与CD的延长线交于点P，与边AD交于点F，连接FC．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF EP；
（2）若点D是CP中点，BE＝2，求EF的长．
【思路点拨】（1）由平行四边形的性质可得∠ABF＝∠P，从而有∠ACF＝∠P，即可证得△CEF∽△PEC，根据相似三角形的性质：对应边成比例即可得证；
（2）由平行四边形的性质可得∠ABF＝∠P，AB＝CD，AD∥BC，加上对顶角相等得∠AEB＝∠CEP，得△BEA∽△PEC，结合点D是CP的中点，可求得PE＝4；再由D是CP的中点，得点F是BP的中点，从而可求得PF的长度，即可求EF的长度．
【答案】解：（1）∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠P，
∵∠CEF＝∠PEC，
∴△CEF∽△PEC，
∴，
即CE2＝EF PE；
（2））∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠AEB＝∠CEP，
∴△BEA∽△PEC，
∴，
∵点D是CP的中点，
∴CP＝2CD＝2AB，点F是BP的中点，
∴，
解得：PE＝4，
∴PF＝﹣BP
＝（BE+PE）
＝3，
∴EF＝PE﹣PF＝．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件与性质，平行四边形的性质，并灵活运用．
23．（2020秋 长丰县期末）如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB的中点时，直接写出＝ ．
（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．
【思路点拨】（1）先根据DE∥BC推△ADE∽△ABC，再进一步推＝，再根据△ADE与△CED等底同高，求S△ADE＝S△CED，等量代换最后求出；
（2）求＝＝①，再求＝②，①÷②得最后结果．
【答案】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴＝，AE＝EC
∴＝，
∵△ADE与△CED等底同高，
∴S△ADE＝S△CED，
∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，
∴＝．
故答案为：．
（2）∵AB＝4，AD＝x，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
∴＝＝①，
＝，
∴＝，
∵△ADE与△CEDD，AE、EC边同高，
∴＝②，
∴①÷②得，
∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，＝y，
∴y＝﹣x2+x，
∵AB＝4，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积求法，掌握判定和性质的熟练应用是解题关键．
