柳州市2023-2024学年高一下学期4月联考
数学
（考试时间120分钟 满分150分）
注意：
1．请把答案填写在答题卡上，否则答题无效。
2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。
3．选择题，请用2B铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。非选择题，请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．记复数z，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．若△OAB的直观图如图所示，，，则顶点B到x轴的距离是（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数恒过定点，则函数不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知，，，则的最小值为（ ）．
A．4 B． C．6 D．
7．假设甲和乙刚开始的“日水平值”相同，之后甲通过学习，“日水平值”都在前一天的基础上进步了2%，而乙懈怠，“日水平值”都在前一天的基础上退步了1%，大约经过（ ）天，甲的“日水平值”是乙的10倍．（参考数据，）
A．77 B．92 C．100 D．123
8．定义运算，例如，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．下列判断正确的是（ ）
A．若，则，
B．若，那么
C．若，则
D．角为第一或第二象限角的充要条件是
10．将函数，图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．对称中心为
C．一条对称轴为 D．在上单调递增
11．已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．为偶函数
C．的周期为4 D．
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则________．
13．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为4，则该几何体的表面积为________．
14．函数在的最小值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知
（1）若角的终边过点，求；
（2）若，求的值．
16．（15分）已知，，是同一平面内的三个向量，．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角．
17．（15分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
（1）用，表示；
（2）若，，求的值．
18．（17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值；
（3）若△ABC的面积为，，求△ABC的周长和外接圆的面积．
19．（17分）已知函数，若的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有三个不同零点，求实数a取值范围．
柳州市2023-2024学年高一下学期4月联考
数学参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1-4：DBCC 5-8：BBAB
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．选1个（B或C或D）2分；选2个（BC或BD或CD）4分；选3个（BCD）6分
10．选1个（A或C或D）2分；选2个（AC或AD或CD）4分；选3个（ACD）6分
11．选1个（A或B或D）2分；选2个（AB或AD或BD）4分；选3个（ABD）6分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12． 13． 14．
三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）解：
（1）
若角的终边过点，则，
所以
（2）若，
所以
16．（15分）解：
（1）设向量，
由，，，
所以解得或
所以或．
（2）因为与垂直，则，
又，，所以，得，
所以，又，故．
17．（15分）（1）（2）4．
【详解】（1）在△ABD中，由，
又，所以
所以
（2）因为，又，
所以，，
所以
又D，E，F三点共线，且A在线外，
所以有：，即
18．（17分）（1）（2）（3），
【详解】（1）由，
由正弦定理，
从而有，
，，
，．
（2）因为
所以，
（3）因为，所以，
由余弦定理得：，
即，解得，
所以△ABC的周长为，
由
所以外接圆的面积．
19．（17分）（1）；（2）①；②
【详解】（1）
因为的最小正周期为，
所以，即，
所以；
（2）①由（1）知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
也就是关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在，
当一个根在，另一个实根在，令
所以
即解得：
当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意，
当一个根是即，解得，
此时可求得另一根，所以符合题意，
当一个根是1，另一个实根在，由得，
此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意，
综上a的取值范围是．
