2023-2024学年福建省泉州市惠南中学高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，那么向量可以是( )
A. B. C. D.
2.已知与为非零向量，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
3.若向量，，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.三个数，，的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
5.在中，若，，，则角的大小为( )
A. B. C. D. 或
6.已知函数则方程有四个实根的充要条件为( )
A. B. C. D.
7.设向量与的夹角为，定义已知向量为单位向量，，，则( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象如图所示，下列结论中错误的是( )
A.
B. 的数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10.在中，若，则的形状可能为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不存在
11.已知函数，则( )
A. 的定义域为
B.
C. 当时，
D. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知的内角、、的对边分别为、、，且若，则的外接圆半径为______．
14.如图所示，在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，则山高 ______米
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
在三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，若向量 ， ，且 ．
求 ；
若 ，且 ，求 ， 的值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求；
若的中线长为，求面积的最大值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；
解关于的不等式；
将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域．
19.本小题分
在中，为的中点，在边上，交于，且，设，．
试用，表示；
若，求的余弦值；
若在上，且，设，若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设向量，
由，得，
，
向量可以是．
故选：．
利用平面向量的共线定理，列方程求得向量满足的条件．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
则，
因为，，三点共线，所以，解得．
故选：．
结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以，解得，
所以，
又，
所以，
，
所以在上的投影向量为
故选：．
根据投影向量的定义进行计算．
本题考查了向量的运算，投影向量，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由正弦定理，得，
所以，所以，
因为，所以，
故B为锐角，所以．
故选：．
由已知结合正弦定理先求出，然后结合三角形的大边对大角求解即可．
本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角在求解三角形中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
图象如右图所示，
要使方程有四个实根，
需满足．
故选D．
由题意，求分段函数的极值，从而作出其简图，从而得到答案．
本题考查了方程的根与函数的零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：已知向量为单位向量，
则，
又，
解得，
又，
，
，
故选：．
先阅读题意，然后结合平面向量数量积的运算及平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据函数的图象，，，即，
所以，
当时，，
所以，，
由于，所以，
故函数，故A正确；
当时，，故函数的对称中心为，
时，对称中心为，故B正确；
由，解得，
时，单调递增区间，故C正确；
将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，故D错误．
故选：．
由函数图象可得和函数周期，进而可求得，由五点法作图求出的值，得的解析式，再利用函数的图象变换规律及性质，逐项判断可得结论．
本题考查正弦型函数的性质，根据三角函数的图象确定三角函数解析式是解题关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：若，则，解得，故A正确；
对于：若，则，解得，故B正确；
对于：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于：若，则，即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选：．
根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可．
本题考查平面向量平行，垂直，数量积的坐标表示，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
所以，整理得，解得或，
当时，是等腰三角形，
当时，是直角三角形，
当且时，是等腰直角三角形．
故选：．
利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以，即恒成立，
所以函数的定义域为，故选项A正确；
，
所以，故选项B正确；
因为，
且函数在上单调递增，又有在上单调递减，
所以在上单调递减，所以，
且无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷，所以，故选项C错误；
记函数，由选项A知的定义域为，
且，所以是奇函数，
因为，且函数在上单调递增，
又有在上单调递减，所以在上单调递减，所以，
因为是奇函数，所以在上单调递减，
所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，
所以对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立，故选项D正确．
故选：．
判断的正负即可判断；判断与的关系即可判断；通过，判断及的单调性；根据复合函数单调性即可判断在上单调性，进而求解值域判断；根据奇偶性及在上单调递减判断在定义域上的单调性，再结合单调性的定义即可判断．
本题主要考查函数的性质的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意知，，
所以，
所以，，
所以．
故答案为：．
根据倍角公式及的取值范围从而可求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了二倍角公式，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据余弦定理由，
而，因此有，
因为，所以，
由正弦定理可知的外接圆半径为．
故答案为：．
运用余弦定理和正弦定理进行求解即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，
所以，
，
，
在中，由正弦定理可得，
即，可得，
在中，．
故答案为：．
由题意可得中，，，，由正弦定理可得的大小，再在中，，可得的值．
本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
15.【答案】解：由，解得，
所以，
当时，由，得，
解得，
所以，
所以；
因为是的充分不必要条件，所以，
由知，
而，
当，即时，，显然不满足题意，
当，即时，，显然不满足题意，
当，即时，，
此时，即，
综上所述，实数的取值范围为
【解析】解一元二次不等式化简集合，，再利用集合的并集运算即可得解；
根据充分不必要关系得到真包含于，再分类讨论的取值范围即可得解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
16.【答案】解：，
，由正弦定理得，
，
，
或．
由知当时，由余弦定理，得．
解得：，即，或，，
当时，由余弦定理，得．
解得：，故，无解，
综上，或，．
【解析】利用向量的数量积以及余弦定理求解即可．
利用角的大小，通过余弦定理，以及已知条件求解即可．
本题考查余弦定理以及向量的数量积，三角形的解法，考查计算能力．
17.【答案】解：因为，由正弦定理可得，
在中，，，
可得，所以
即或，而，
解得；
因为的中线长为，，
可得，
可得
即，可得，当且仅当时取等号，
所以面积的，
所以面积的最大值．
【解析】由正弦定理及两角和的正弦公式的应用，可得角的大小；
由中线的向量性质，及基本不等式的性质，可得的最大值，进而求出面积的最大值．
本题考查正弦定理，余弦定理及向量的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：
，
函数的最小正周期．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
令，解得．
所以的对称轴方程为．
即，
所以，解得．
由题知，
则
，
令，则，
当时，；当时，．
综上可知所求值域为．
【解析】应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴；
结合函数图像解不等式；
应用换元法求值域；
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：由、、共线，则存在使，
，整理得：，
由、、共线，则存在使，
，整理得：，
根据平面向量基本定理：，解得，
；
，，
，，，
，，
故的余弦值是；
由知：，则，
由，共线，设，
而，有，
，
可得，
，，即，
解得，
的取值范围为．
【解析】本题考查平面向量及其应用，属于中档题．
由、、共线，则存在使，由、、共线，则存在使，根据平面向量基本定理求出，再表示即可；
由得，，根据向量的余弦公式，计算即可；
，则，设，得到，结合计算的取值范围即可．
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