山东省淄博中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择）两部分，共150分.考试时间120分钟.
第I卷 选择题（11小题，共58分）
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. =（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若，则（ ）
A B. 1 C. D.
3. 已知，是不共线的向量，且，，，则（ ）
A. B，C，D三点共线 B. A，B，C三点共线
C. A，C，D三点共线 D. A，B，D三点共线
4. 下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（ ）
①向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的；
②向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的；
③横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度；
④横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度；
A. ①和③ B. ①和④ C. ②和③ D. ②和④
5. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若⊥，则||= ( )
A. B. C. 3 D.
8. 已知向量，，函数.则下列关于的说法正确的是（ ）
A. 函数最小值为 B.
C. 函数的最小正周期为 D. 在上单调递减
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A.
B. 与垂直的单位向量的坐标为或
C. 在方向上的投影向量的坐标为
D. 是直角三角形
10. 函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的表达式
C.
D. 函数图象是由图象向左平移个单位而得到
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 向是能作为平面内所有向量的一组基底
B.
C. 两个非零向量，若，则与共线且反向
D. 若，且与的夹角为锐角，则
第Ⅱ卷 非选择题（10小题，共92分）
二、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的值为_______________.
13. 已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标_______________.
14. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的部分图象如图所示，则______，的值为______.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，均为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
16. 已知是同一平面内三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标;
（2）若，且与垂直，求与夹角θ.
17. 已知，且与夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角；
（3）若向量与平行，求实数的值.
18. 在中，已知，，在线段上，且，，设，.
（1）用向量，表示；
（2）若，求.
19. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，若，，求的值．山东省淄博中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择）两部分，共150分.考试时间120分钟.
第I卷 选择题（11小题，共58分）
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. =（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角差的正弦公式，可直接求得答案.
【详解】
，
故选:B
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量坐标计算公式求出，再结合向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，解得.
故选：A
3. 已知，是不共线的向量，且，，，则（ ）
A. B，C，D三点共线 B. A，B，C三点共线
C. A，C，D三点共线 D. A，B，D三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量共线定理求解.
【详解】因为，
所以，，，
若B，C，D三点共线，则，即，无解，故A错误；
若A，B，C三点共线，则，即，无解，故B错误；
若A，C，D三点共线，则，即，解得，故C正确；
若A，B，D三点共线，则，即，无解，故D错误.
故选：C.
4. 下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（ ）
①向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的；
②向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的；
③横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度；
④横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度；
A. ①和③ B. ①和④ C. ②和③ D. ②和④
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数图象的平移变换、周期变换进行判断.
【详解】因为，
对于①，函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，故①正确；
对于②，函数图象向左平移个单位长度，得到，
再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到，故②错误；
对于③，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，
再向左平移个单位长度，得到，故③错误；
对于④，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，
再向左平移个单位长度，得到，故④正确故A，C，D错误.
故选：B
5. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的运算以及正六边形的性质求得正确答案.
【详解】A选项，，A选项错误.
B选项，设，则是的中点，
则，B选项错误.
C选项，与的夹角为锐角，与的夹角为钝角，
所以，C选项错误.
D选项，设正六边形的中心为，则，
所以，D选项正确.
故选：D
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系，求得，再利用余弦的差角公式，即可求得结果.
【详解】由，得，则，
．
故选：．
7. 如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若⊥，则||= ( )
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【详解】如图建立平面直角坐标系，设||=a，
则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，
所以=(2，-a)，=(4，a)，
因为⊥，所以·=0，
所以8-a2=0解得a=2，
所以||=2，所以||==2. 选B.
8. 已知向量，，函数.则下列关于的说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为 B.
C. 函数的最小正周期为 D. 在上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为，，
所以
，
因为，所以，
所以，故A错误；
，故B正确；
的最小正周期，故C错误；
当时，因为在上不单调，
所以在上不单调，故D错误.
故选：B
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A.
B. 与垂直的单位向量的坐标为或
C. 在方向上的投影向量的坐标为
D. 是直角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A；求出向量、以及的模，根据勾股定理逆定理可判断D；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断B.
【详解】因为，所以，A正确；
因为，所以，
所以，即为直角三角形，D正确；
设与同向的单位向量为，，
所以在方向上的投影向量为，C错误；
因为，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
故与垂直的单位向量的坐标为或，B正确，
故选：ABD．
10. 函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的表达式
C.
D. 函数图象是由图象向左平移个单位而得到
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于AB，由图可求得和函数表达式即可判断；对于C，代入检验即可判断；对于D，由函数平移法则验算即可.
【详解】对于A，由图可知函数的最小正周期满足，解得，
即函数的最小正周期为，故A错误；
对于B，由得，由图可知，且，
解得，又因为，所以只能，
所以函数的表达式，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由图象向左平移个单位得到图象所对应的函数解析式为，故D正确.
故选：BD.
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 向是能作为平面内所有向量的一组基底
B.
C. 两个非零向量，若，则与共线且反向
D. 若，且与的夹角为锐角，则
【答案】BC
【解析】
【分析】直接利用向量的共线、向量的基底的定义，两角和与差的余弦公式，向量的数量积公式，向量的夹角公式，判断、、、的结论．
【详解】对于：因为，所以不能作为平面内的一组基底，故错误；
对于：，故正确；
对于C，因为，所以，
所以有，所以，即，所以共线且反向，即C正确；
对于：已知，，则，
所以：，且和不共线．
即，且
解得且，故错误；
故选：BC．
第Ⅱ卷 非选择题（10小题，共92分）
二、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的值为_______________.
【答案】##
【解析】
【分析】将两边平方即可得解.
【详解】因为，
所以，即，
即，所以.
故答案为：
13. 已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标_______________.
【答案】
【解析】
【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案.
【详解】解：∵在梯形中，，，，，．
∴．设点D的坐标为．
则，．
∴，即，
∴解得故点的坐标为．
故答案为：．
14. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的部分图象如图所示，则______，的值为______.
【答案】 ①. ##0.5 ②. ##
【解析】
分析】根据函数图象得、、，写出解析式，再由图象平移确定解析式，即可求函数值.
【详解】由图知，且，
结合图象得： ，，两式相减得，即，
则，得：，，又，所以，
所以，
将所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，则，
所以，
把得到的图象的横坐标缩短到原来的，则，
所以
故答案为：，
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，均为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将变形为关于的二次齐次式，然后转化为用表示，代入计算即可；
（2）先通过，求出，再利用展开计算即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，且，均为锐角
，
则由得，
.
16. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标;
（2）若，且与垂直，求与的夹角θ.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设出，再根据条件建立方程组即可求出结果；
（2）利用两向量垂直，数量积为0，得到，再根据条件得到，进而可求出结果.
【小问1详解】
设，
因为，，，
所以，解得或，
所以或
【小问2详解】
因为与垂直，所以，
即，又，，
所以，得到，
所以，又，所以.
17. 已知，且与夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角；
（3）若向量与平行，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用展开计算；
（2）利用公式计算即可；
（3）存在实数使，利用系数对应相等列方程组求解.
【小问1详解】
因为，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，又，
所以，又，
所以与的夹角为；
【小问3详解】
因为向量与平行，
所以存在实数使，
所以，解得.
18. 在中，已知，，在线段上，且，，设，.
（1）用向量，表示；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算直接计算；
（2）利用基底法求向量的数量积.
【小问1详解】
由题得,；
【小问2详解】
已知，,得
由已知得，
.
19. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简解析式，根据的对称轴求出周期从而求出，进而求得的解析式.
（2）根据三角函数图象变换求得，由，求得，，
然后构造方程组结合余弦的二倍角公式，即可求解.
【小问1详解】
由题意知：，
且可得的周期，得：，
所以：，
故：.
【小问2详解】
由题意得：，
因为：，所以：，得：，
因为：，所以：，由，
所以：，
所以：
故：.
