一次函数与反比例函数
一、单选题
1．已知，则函数，的图象大致是下图中的（ ）
A． B． C． D．
2．已知正比例函(k是常数,)中y随x的增大而增大,那么它和函数(k是常数,k≠0)在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是( )
A． B． C． D．
3．如果点和点是直线上两点，当时，，那么直线和函数在同一直角坐标系内的大致图像可能是（ ）
A．B． C． D．
4．关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
5．如果正比例函数y=(k-2)x的函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，那么k的取值范围是______．
6．已知如图，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，不等式ax+b＞的解集为_____．
7．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，点C是第二象限内一点，连接交x轴于点，且，点E是的中点，若E到坐标原点的距离为2，则的值为____________．
8．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点，则当﹣2＜y1＜y2＜时，x的取值范围为_____．
9．如图，直线与坐标轴交于两点，矩形的对称中心为M，双曲线正好经过两点，则直线的解析式为_______．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是_____．
三、解答题
11．在平面直角坐标系中（如图），已知函数的图像和反比例函数的在第一象限交于A点，其中点A的横坐标是1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线平移后与轴相交于点B，且，求平移后直线的解析式．
12．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3与x，y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝交于点C(a，6)，已知△AOB的面积为3，求直线与双曲线的表达式．
14．如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象与反比例函数的y＝的图象交于A（1，m）、B（n，﹣1）两点，与y轴交于C点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的值．
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求的面积．
16．如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点，过点C的直线（，b为常数）与x轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求的面积．
17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD//x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．
18．在平面直角坐标系平面中，直线经过点，反比例函数的图像经过点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在轴上找一点，当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
19．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为的点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果点恰好是的中点，求点的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，点B在射线上，轴，垂足为C，与反比例函数的图像相交于点D，连接，．
（1）当点B的横坐标为6时，求线段的长；
（2）若，求点的坐标．
21．已知直线经过点，且与轴交于点，
（1）求点的坐标：
（2）如果一个反比例函数的图像与线段的延长线交于点，且，求这个反比例函数的解析式．
22．已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，点在轴正半轴上，点在轴上（点在点的左侧)，点在第一象限，，梯形的高为．双曲线经过点，直线经过两点．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
23．如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图像上．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．
24．如图，正比例函数y＝x的图像与反比例函数y＝（k≠0）的图像交于A（a，﹣2）、B两点．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．
（2）点P为第一象限内反比例函数图像上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果△POC的面积为3，求点P的坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求和的值；
（2）点在轴正半轴上，且的面积为1，求点坐标；
（3）在（2）的条件下，点是一次函数上一点，点是反比例函数图像上一点，且点、都在轴上方．如果以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标．
26．如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于点B（2，m），点P（a，0）在x轴上，a＜2，已知．
（1）m＝______，k＝______；
（2）求出点P的坐标；
（3）将△ABP向下平移2t个单位，再向左平移t个单位（t＞0），得到△A'B'P'，边BP的对应边B'P'与反比例函数y＝的图象交于点E．当点E为B'P'的中点时，求出实数t的值．
27．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN⊥y轴，求出△MNP的面积；
（3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说明理由．
28．已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点的纵坐标为4，反比例函数的图像也经过点，第一象限内的点在这个反比例函数的图像上，过点作轴，交轴于点，且．
求：（1）这个反比例函数的解析式；
（2）直线的表达式．
29．已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数 的图像上．
（1）求的面积；
（2）如果的值为6 (即反比例函数为)，求点的坐标；
（3）如果四边形是梯形，求的值．
30．如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作于点，求的值；
（3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案
一、单选题
1．C
【思路指引】
根据正比例函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【详解详析】
∵k＞0，
∴-k＜0，
∴函数y=-kx的图象过原点、第二、四象限，y=-的图象在第二、四象限，四个选项中只有C符合．
故选C．
2．D
【思路指引】
根据正比例函(k是常数,)的图象y随x的增大而增大，可以得到k的正负，从而可以判断反比例函数（k是常数，k≠0）的图象所在的象限，从而可以解答本题．
【详解详析】
∵正比例函(k是常数,)的图象y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴反比例函数（k是常数，k≠0）的图象分布在第一、三象限，
故选D．
3．A
【思路指引】
根据一次函数的增减性判断出k的符号，再根据反比例函数的性质解答即可．
【详解详析】
∵点和点是直线上两点，
当时，，
∴，
直线经过一、三象限，
∴函数图象在一、三象限，
只有A选项符合题意，
故选：A．
4．D
【详解详析】
试题分析：当k＞0时，函数y=的图像在一三象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过一二三象限，所以选项A、C错误；当k＜0时，函数y=的图像在二四象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过二三四象限，所以选项B错误，选项D正确，故选D.
二、填空题
5．
【思路指引】
先根据正比例函数y=（k-2）x的函数值y随x的增大而减小，可知k-2＜0；再根据它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，说明反比例函数y=
的图象经过一、三象限，k＞0，从而可以求出k的取值范围．
【详解详析】
∵y=（k-2）x的函数值y随x的增大而减小，
∴k-2＜0
∴k＜2
而y=（k-2）x的图象与反比例函数y=
的图象没有公共点，
∴k＞0
综合以上可知：0＜k＜2．
故答案为0＜k＜2．
6．x＞1或﹣3＜x＜0．
【思路指引】
观察函数图象即可求解．
【详解详析】
解：观察函数图象，当x＞1或﹣3＜x＜0时，ax+b＞，
故答案为x＞1或﹣3＜x＜0．
7．
【思路指引】
利用三角形中位线定理求得，推出BD=DO=3，过B作，设，则，，在Rt△BDF中利用勾股定理可求得的值，即可求解．
【详解详析】
∵E到坐标原点的距离为2，
∴OE=2
∵一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，
∴OA=OB，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵CD=1，
∴BD=CB-CD=4-1=3，
∴BD=DO，
过B作，
设，则，，
∵，
∴，
∴或0(舍去)，
∴，
∵点B在反比例函数的图像上，
∴．
8．1＜x＜2
【思路指引】
根据函数的图象即可求得．
【详解详析】
解：∵反比例函数y1＝和一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点，
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数为y＝﹣，
把y＝﹣2代入求得x＝1；
∴由图可得，当﹣2＜y1＜y2＜时，x的取值范围是1＜x＜2，
故答案为1＜x＜2．
9．．
【思路指引】
先确定A、B的坐标，用反比例函数解析式表示点C的坐标，用中点坐标表示M，借助点M也在反比例函数上，从而确定C的坐标，用待定系数法计算即可．
【详解详析】
直线与坐标轴交于两点，
令，
得，
的坐标
令，
得，
的坐标．
是矩形的对称中心，
是的中点，
在反比例函数上，
设，
的坐标是，
，
在反比例函数，
，
，
经检验a=2是原方程的根，
，
∵OA2+OB2=AB2，
∴
，
，
又，
设的解析式为，将代入得
，
，
的解析式为：．
故答案为：．
10．
【思路指引】
将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，即可求得D的坐标，进而求得F的坐标，先求得反比例函数的解析式，然后求得直线DE的解析式，进而求得直线OA的解析式．
【详解详析】
解：如图，将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，作DM⊥y轴于M，作EN⊥x轴于N，由旋转可知，∠DOE=∠MON，OD=OE，
∴∠DOM=∠EON，
∴△DOM≌△EON，
∴OM=ON，DM=EN，
∵点E（6，﹣2），
∴D（﹣2，﹣6），
∵∠AOE＝45°，
∴∠AOD＝45°，
∵OD＝OE，
∴OA⊥DE，DF＝EF，
∴F（2，﹣4），
设直线OA的解析式为y＝mx，
把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，
∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，
故答案为y＝﹣2x．
三、解答题
11．
（1）将点A的横坐标1代入y=2x中，得y=2，
∴点A的坐标为（1,2），
设反比例函数解析式为，将点A的坐标代入，得到k=2，
∴反比例函数解析式为；
（2）过点A作AC⊥y轴于C，则AC=1，OC=2，
∵AB=OB，
∴直线y=2x向上平移，
设平移后的直线解析式为+b，则OB=b，
∵，
∴，
解得，
∴平移后的解析式为：.
12．
解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴＝＝1，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴OH＝OA＝2，
∵点C的纵坐标为4，
∴点C的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，
解得，
∴直线AB的表达式y＝x+2；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点C（2，4），
∴m＝2×4＝8，
∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，2），
∵BD∥x轴，
∴点D纵坐标为2，
当y＝2时，＝2，解得x＝4，
∴点D坐标为（4，2），
∴CD＝＝2．
13．
当x＝0时，y＝kx+3＝3，则B（0，3），
∵△AOB的面积为3，
∴×3×OA＝3，解得OA＝2，
∴A点坐标为（2，0），
把A（2，0）代入y＝kx+3得2k+3＝0，解得k＝﹣，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+3，
把C（a，6）代入得﹣a+3＝6，解得a＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，6），
把C（﹣2，6）代入y＝得m＝﹣2×6＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
14．
（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
又∵A(1,m)、B(n,﹣1)在反比例函数y=的图象上
∴m=，-1=，
∴m＝3，n＝﹣3，
∴A(1,3)、B(﹣3,﹣1)，
一次函数y＝kx+b的图象过A(1,3)、B(﹣3,﹣1)，
∴，
∴，
∴所求一次函数的解析式是y＝x+2；
故答案为：y＝x+2
（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，过点B作BF垂直于AD的延长线于点F，BF交y轴于点G
∵y＝x+2
令x=0
得y=2
∴OC=2
则AF∥BE，
∴，
∴
故答案为：
15．
解：（1）分别把代入得，
解得，
所以A点坐标为，B点坐标为，
分别把代入得，
解得，
所以一次函数解析式为；
（2），即 ，即要找一次函数图象低于反比例函数图象的部分对应的x的取值范围，所以当或时，；
（3）一次函数图象分别与x轴和y轴交于点D、C，如图，
当时，，则C点坐标为，
当时，，解得，则D点坐标为，
所以
=8．
16．
（1）∵点在反比例函数图象在第一象限的分支上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）当时，，
∴交点坐标为，
∵和在直线上，
∴，解得，
∴，
∵在直线上，
∴令，则，
∴，
∴S．
17．
解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴＝1，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴OH＝OA＝2，
∵点C的纵坐标为4，
∴点C的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，
解得，
∴直线AB的表达式y＝x+2；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点C（2，4），
∴m＝2×4＝8，
∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，2），
∵BD//x轴，
∴点D纵坐标为2，
当y＝2时，＝2，解得x＝4，
∴点D坐标为（4，2），
∴CD＝．
18．
解：（1）把代入，得
，
∴m=4，
把代入，得
，
∴k=8，
∴；
（2）把代入，得
，
∴，
设C(x，0)，
∵，
∴，
∴，
经检验是原方程的根，
∴C(，0)；
（3）连接AC，BC，作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，
∵，，C(，0)，
∴AE=2，BF=1，EF=8-4=4，CE=-4=，CF=8-=，
∴S△ABC=S梯形ABFE-S△ACE-S△BCF
=
=．
19．
解：（1）点在反比例函数图像上且横坐标为，则，
由题意得，
，
一次函数解析式；
（2）设，，
又点在一次函数图像上，
，
解得或（舍去）．
．
20．
解：（1）将点代入反比例函数中，
∴反比例函数解析式为：
设射线OA的解析式为：
将点代入中，，解得：
∴射线OA的解析式为：
在中，当x=6时，y=4
∴B点坐标为（6，4）
在中，当x=6时，y=1
∴D点坐标为（6，1）
过点A作AE⊥BC
∵，B（6，4），D（6，1）
∴AE=3，DE=1
在Rt△ADE中，
（2）设B点坐标为（x，），
∴D点坐标为（x，）
∴
解得：；
∴B点坐标为（18，12）或
21．
解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（2，3），
∴2+m＝3，
解得m＝1，
∵直线y＝x+1与x轴交于点B．
∴x＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，0）；
（2）过点A，D作x轴的垂线，垂足分别为点G，H，
∴AG∥DH，
根据题意可知：AG＝2，BG＝3，
∵BA：AD＝3：2，
∴GH＝2，DH＝5，
∴D（4，5），
∴反比例函数的解析式为y＝．
22．
解：（1）如图1，过点作轴于点．
，，
四边形是等腰梯形，
轴，
四边形是矩形，
，，，
在和中，
，
．
，
梯形的高为2，
．
，，
，．
，，，，
双曲线经过点，
．
双曲线的解析式为：，
直线经过、两点，
得：，
解得：．
直线的解析式为：；
（2）如图2，四边形是平行四边形．
且．
点在轴上，
过点作轴的垂线与双曲线的交点即为点．
点的坐标为，
．
，
，
点的坐标为．
23．
解：（1）设反比例函数为，
点和点在的图象上
解得，，
点的坐标为，
设直线的表达式为，
把和代入得，
解得，
直线的表达式为；
（2）设直线与轴的交点为，
在直线为中，令，则，
，
，
，
，
，
．
24．
解：（1）把A（a，2）代入，可得a=4，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入，可得k=8，
∴反比例函数的表达式为，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（4，2）；
（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，
设P（m，），则C（m，），
∵△POC的面积为3，
∴m×|m|=3，，
解得m=或2，
∴P（，）或（2，4）．
25．
解：（1）把点，，代入函数得，
由题意得解得
（2）由题意得，点在一次函数和反比例函数上，
则，
化简得，，解得，，
因为点在第一象限所以
所以点坐标为
设：点坐标为
则，
解得，．
点坐标为
（3）由（2）得，点M为
又∵
∴BM＝2，
∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形，且点、都在轴上方，
∴PQ∥BM且PQ＝BM＝2，
设点P（a，a＋1），
当点Q在点P右侧时，则点Q为（a＋2，a＋1）
将（a＋2，a＋1）代入得
(a＋2)(a＋1)＝2
解得，a＝0或a＝－3（舍去）
∴，
当点Q在点P左侧时，则点Q为（a－2，a＋1）
将（a－2，a＋1）代入得
(a－2)(a＋1)＝2
解得，a＝或a＝（舍去）
∴，．
∴，或，．
26．
解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝3，
故点B（2，3），
将点B的坐标代入y＝kx+2并解得：k＝，
故答案为：3，；
（2）∵，
∴9AB2＝4PB2，即：9×（4+1）＝4×[（a﹣2）2+9]，
解得：（舍去），
∴点P坐标为（，0）；
（3）设BP的中点F（a，b），由a﹣＝2﹣a，b﹣0＝3﹣b，
解得：a＝，b＝，
∴点F坐标为（，），平移后的点E坐标为（，），
∴，
解得：（舍去）．
27．
解：（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），
设反比例函数的表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式得：2＝，解得：k＝2，
故反比例函数表达式为：y＝；
（2）∵MN⊥y轴，故MN∥x轴，
则△MNP的面积S＝S△OMN＝k＝1；
（3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，
故△MNP的面积是不变的常数1．
28．
（1）根据题意，设
∵经过点
∴
∴
∴
∵经过点
∴
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）如下图，过点作轴，交轴于点，连接、
根据题意，设，则
∴，
∵
∴
解得：，（舍去）
∴
设直线解析式为，根据题意得：
解得：
∴直线解析式为．
29．
解：（1）因为直线，
令x=0，则y=-4，令y=0，则x=-2，
，，
，，
△的面积；
（2）设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0），
设直线A′B的解析式为y=kx-4，
把D（2，0）代入得0=2k-4，
解得k=2，
∴直线A′B的解析式为y=2x-4，
由，解得：或，
∴点A′的坐标是（3，2）；
（3）若四边形为梯形，由于点在轴的正半轴．
①证明与不平行；
∵，在中，
令，则，
又，
则，
（由于在中，，即，
所以与不平行；
②当时，可得，
即，，
又，，
所以，
过作垂线，垂足为，过作垂线，垂足为，
∵BC=，AB=8，OC=2，
∴AM==，
∴BM==，
∴，
由旋转易得△，
，，
又，
∴，
，，
又点在反比例函数图象上，
．
30．
（1）过点分别作轴于，轴于，如图，
四边形是矩形，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，
设，
点在直线上，
，
解得，
，
反比例函数（）的图像经过点，
，
，
反比例函数的解析式为；
（2）
,
把代入，解得，
，
，
在中，①，
在中，②，
①-②,得，
（3）①若，，如图，连接，
在与中，
，
，
，
又，
，
即，
，
，
把代入，得，
，
②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，
在与，
，
，
，
设，则，
由，
可得，
解得，
经检验，m是原方程的解，
，
，
，
③若，如图，过点作轴于，过作轴于，
在与中，
，
，
，
设，则，
由，
可得，
解得，
经检验，m是原方程的解，
，
，
，
综上所述，存在点符合题意，其坐标为，，．
