20.3.2一次函数值的大小比较
一、单选题
1．若点，点都在一次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
2．对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，；如：，，若关于的函数为，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
3．下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．的值随着值的增大而增大
B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时，
D．函数图象经过第二、三、四象限
4．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k<0；②a<0；③当x<3时，y1
5．在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．若点A（-1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数y=-x+1图像上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
7．，图象上有两点，且，，，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．对于实数,，定义符号,其意义为:当时,:当时,,例如,若关于的函数,则该函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点，，，四点在直线的图象上，且，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数若a≤x≤b,m≤y≤n，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，有最小值0.5 B．当时，有最大值1.5
C．当时，有最小值1 D．当时，有最大值2
二、填空题
11．已知直线y1=x，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为______．
12．已知正比例函数：y = (3m-2)x的图像上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1 < x2时，有y1 >y2那么m的取值范围是_____．
13．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，所有正确结论的序号是_________．
①；②；③当时，；④；⑤．
14．已知一次函数（是常数）和．
（1）无论取何值，（是常数）的图像都经过同一个点，则这个点的坐标是_______；
（2）若无论取何值，，则的值是_______．
15．一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2正确的是_____．
16．若点，都在直线上，则__________（填“＞”或“＝”或“＜”）
17．如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为_____，四边形DPQB面积的最大值为_____．
18．已知一次函数和，当时，的取值范围是 _________
19．已知，是一次函数的图像上的两点，则______（填“＞”或“＜”或“=”）．
20．已知函数，，，若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是______．
三、解答题
21．甲、乙两个种子店都销售“黄金1号”玉米种子．在甲店，该种子的价格为 5元 / kg，如果一次购买2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子的价格打8折．在乙店，不论一次购买该种子的数量是多少，价格均为4.5 元 / kg．
（1）根据题意，填写下表：
（2）设一次购买种子的数量为 kg（）. 在甲店购买的付款金额记为元，在乙店购买的付款金额为元，分别求，关于的函数解析式；
（3） 若在同一店中一次购买种子的付款金额是36元，则最多可购买种子______ kg.若在同一店中一次购买种子10 kg，则最少付款金额是________元.
22．A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如表：
两城/两乡 C/（元/t） D/（元/t）
A 20 24
B 15 17
设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．
（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）试比较A、B两城总运费的大小；
（3）若B城的总运费不得超过4800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．
23．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．
24．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
25．2023年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：
活动一：一律打折；
活动二：当购买量不超过瓶时，按原价销售；当购买量超过瓶时，超过的部分打折．
已知所需费用（元）与购买洗手液的数量（瓶）之间的函数图象如图所示．
（1）根据图象可知，洗手液的单价为 元/瓶，请直接写出与之间的函数关系式；
（2）请求出的值；
（3）如果该高校共有名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．
26．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -6 -4 -2 0 -2 -5 -6 …
（1）观察发现：函数图象的顶点（最高点）坐标是________，函数图象的顶点坐标是________，函数图象的对称轴是________．
（2）探索思考：平移函数的图象是否可以得到函数和的图象？如果可以，分别写出平移的方向和距离．如果不行，请说明理由．
（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点（，）和（，）在该函数图象上，且，比较，的大小．
27．已知一次函数y＝﹣2x+4．
（1）在平面直角坐标系内画出函数图象；
（2）函数图象经过两点A（﹣，m），B（﹣1，n），比较m，n的大小？
28．已知，一次函数y＝．
（1）画出这个函数的图像．
（2）判断点P（10，﹣3）是否在这个函数的图像上．
（3）若点Q（a+1，2a﹣1）在这个函数的图像上．求a的值．
（4）这个函数的图像上有两个点A（，y1），B（，y2），请比较y1和y2的大小，并说明理由．
29．对于两个实数a，b，规定Max（a，b）表示a，b两数中较大者，特殊地，当a = b时，Max（a，b）=a．如：Max（1，2）= 2，Max（-1，-2）= -1，Max（0，0）= 0．
（1）Max（-1，0）= ，Max（n，n -2）= ；
（2）对于一次函数，，
①当x≥-1时，Max（y1，y2）= y2，求b的取值范围；
②当x=1-b时，Max（y1，y2）=p，当x=1＋b时，Max（y1，y2）=q，若p≤q，直接写出b的取值范围．
30．已知函数y＝（k≠0）的图象为G．
（1）若点（1，3）在图象G上，则k＝ ；
（2）无论k取何值，图象G上都有点M（x1，y1）点N（x2，y2）（x1＜x2），点P为y轴上任意一点，若四边形OMPN为菱形，求满足条件的x1值；
（3）已知当k﹣1≤x≤k+2时，图象G的最高点纵坐标为y1，最低点的纵坐标为y2，若y1﹣y2＝4，直接写出满足条件的k值．
答案
一、单选题
1．A
【思路指引】
由偶次方的非负性可得出，进而可得出，由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，进而可得出．
【详解详析】
解：，
，
．
，
∴y随x的增大而增大，
．
故选：A．
2．B
【思路指引】
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解详析】
解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴如图，当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；
当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故选：B．
3．D
【思路指引】
根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解详析】
解：一次函数的函数图像如图，
A、∵k=-4＜0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，故选项A不正确；
B、当x=0时，y=-2，函数图象与y轴的交点坐标为（0，-2），故选项B不正确；
C、当x＞0时，，故选项C不正确；
D、∵k＜0，b＜0，图象经过第二、三、四象限，故选项D正确；
故选D．
4．B
【思路指引】
根据一次函数的图象性质进行判断即可．
【详解详析】
①根据图象得，y1随x的增大而减小，
∴k<0，①正确；
②∵直线y2=x+a与y轴交于负半轴，
∴a<0，②正确；
③由图象可知：当x<3时，y1图象在y2图象上方，
∴y1>y2，③错误，
综上所述，正确的个数是2个．
故选：B．
5．C
【思路指引】
根据得y随x的增大而减小，据此可得结论．
【详解详析】
解：∵中
∴y随x的增大而减小，
∵
∴
故选：C
6．A
【思路指引】
根据一次函数图象上点的坐标特征，，则y随的增大而减小，即可求得．
【详解详析】
解：∵在函数中，，
∴y随的增大而减小，
∵，
∴．
故选A．
7．D
【思路指引】
根据一次函数的性质,k＜0时，y随x的增大而减小来判断即可.
【详解详析】
解:当k＜0时，y随x的增大而减小，
若x1＜x2，得y1＞y2,∴＜0；
若x1＞x2，得y1＜y2,∴＜0；
又，∴y1≠y2，∴≠0.
∴t＜0.
故选：D.
8．B
【思路指引】
根据定义分情况列出不等式：①当2x-1≥-x+5时，y=min{2x-1，-x+5}=-x+5；②当2x-1≤-x+5时，y=min{2x-1，-x+5}=2x-1，再根据一次函数的性质可得出结果．
【详解详析】
解：由题意得：
①当2x-1≥-x+5,即x≥2时，y=min{2x-1，-x+5}=-x+5,
∴-1＜0，y随x的增大而减小，
∴当x≥2时，y取得最大值3；
②当2x-1＜-x+5,即x＜2时，y=min{2x-1，-x+5}=2x-1,
∴2＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＜2时，y＜3.
综上可知，函数的最大值为3.
故选：B.
9．B
【思路指引】
利用点D求出直线解析式，再根据函数的性质依据各点的横坐标的大小关系确定纵坐标的大小关系即可.
【详解详析】
将点D代入中，得2k+4=-1，
∴，
∴，
∵<0，
∴y随x的增大而减小，
∵点，，，且，
∴，
故选：B.
10．B
【思路指引】
画出函数图像，在当n-m=1时，当b-a=1时，两种情况下，分别分当a、b均大于1，当a、b均小于等于1，当a≤1，b＞1三种情况分别讨论．
【详解详析】
解：如图，作出函数图，
当n-m=1时，
当a、b均大于1时，b-a=1，
当a、b均小于等于1时，
，
则=，
则b-a=，
当a≤1，b＞1时，
则0＜a≤1，1＜b＜2，
则，
∴，
当a=1，b=2时有解，故不存在，
∴b-a最小值为，b-a的最大值为1；
故A正确，B错误；
当b-a=1时，
当a、b均大于1时，n-m=1，
当a、b均小于等于1时，
，
当0＜a≤1且1＜b＜2时，
，
当时为最大值1，当接近0时取值无限接近2但小于2，
故n-m最大值为2，最小值为1，则C、D正确，
故选B．
二、填空题
11．
【思路指引】
y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
【详解详析】
如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A
当
当
当
当
∵y总取y1，y2，y3中的最小值，
∴y最大
故答案为
12．m＜
【思路指引】
由当x1＜x2时，有y1＞y2，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质可得出3m-2＜0，解之即可得出m的取值范围．
【详解详析】
解：∵当x1＜x2时，有y1＞y2，
∴y随x的增大而减小，
∴3m-2＜0，
解得：m＜．
故答案为：m＜．
13．②④⑤
【思路指引】
仔细观察图象：①根据一次函数y＝ax＋b图象从左向右变化趋势及与y轴交点即可判断a、b的正负；②根据一次函数y＝cx＋d图象从左向右变化趋势及与y轴交点可判断c、d的正负，即可得出结论；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④由两个一次函数图象的交点坐标的横坐标为1可得出结论；⑤由一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（，0），可得＞-1，解此不等式即可作出判断．
【详解详析】
解：①由图象可得：一次函数y＝ax＋b图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，故①错误；
②由图象可得：一次函数y＝cx＋d图象经过一、二、三象限，
∴c＞0，d＞0，
∴ac＜0，故②正确；
③由图象可得：当x＞1时，一次函数y＝ax＋b图象在y＝cx＋d的图象下方，
∴ax＋b＜cx＋d，故③错误；
④∵一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象的交点P的横坐标为1，
∴a＋b＝c＋d，故④正确；
⑤∵一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（，0），且＞-1，c＞0，
∴c＞d．故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
14．（2，0） -1
【思路指引】
（1）解析式变形为y＝k（x﹣2），即可得到无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过点（2，0）；
（2）由题意可知，y1的图象始终在y2上方，得到两函数不相交，平行，即可得出k＝﹣1．
【详解详析】
解：（1）∵y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴当x＝2时，y＝0，
∴这个点的坐标是（2，0），
故答案为（2，0）；
（2）∵无论x取何值，y1＞y2，
∴y1的图象始终在y2上方，
∴两个函数平行，
∴k＝﹣1，
故答案为﹣1．
15．①
【思路指引】
根据一次函数的图象和性质即可判断出k和a的取值范围；由图象的交点横坐标即可得到③的结论．
【详解详析】
解：①y1＝kx＋b的图象过一、二、四象限，则k＜0；故此选项正确；
②y2＝x＋a的图象过一、三、四象限，则a＜0；故此选项错误；
③由于两函数图象交点横坐标为3，则当x＜3时，y1＞y2；故此选项错误．
故答案为：①．
16．＞
【思路指引】
由y＝ x＋2可知k＝ 1＜0，故y随x的增大而减小，由 4＜2，可得y1，y2的大小关系．
【详解详析】
解：∵k＝ 1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵ 4＜2，
∵y1>y2
故答案为：>
17．
【思路指引】
根据垂线段最短可知当DP⊥AC时，DP最短，利用等边三角形的性质和勾股定理求出此时DP的长即可，再设AP=x，利用S△ABC-S△ADP-S△BQC表示出四边形DPQB的面积，构建一次函数，利用一次函数的性质求出最大值即可．
【详解详析】
解：当DP⊥AC时，DP最短，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴AD=2AP=2，
∴AP=1，
∴DP==；
∵AB=AC=BC=6，
∴△ABC的高为，
设AP=x，
则四边形DPQB的面积=S△ABC-S△ADP-S△BQC
=
=
∵x的最大值为6-1=5，
∴当x=5时，四边形DPQB的面积最大，最大值=，
故答案为：，．
18．
【思路指引】
根据函数解析式列出不等式求解即可；
【详解详析】
①当，时，，解得：；
②当时，，，解得 ；
综上；
故答案是：．
19．>
【思路指引】
先根据一次函数中k=-1判断出函数的增减性，再根据-1<2进行解答即可．
【详解详析】
解：∵一次函数中k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵-1<2，
∴y1>y2．
故答案为>．
20．
【思路指引】
分别求出三条直线两两相交的交点，然后观察函数图象，利用一次函数的性质易得当当x≤﹣时，y3最大；当﹣＜x＜时，y1最大；当x≥时，y2最大，于是利用图象可求y的最小值．
【详解详析】
解：把y1＝x+2与y2＝5x﹣5联立方程组得，，解得，，直线y1＝x+2与直线y2＝4x﹣4的交点坐标为B（，）；
同理，直线y2＝5x﹣5与直线的交点坐标为（，），直线y1＝x+2与直线的交点坐标为A（﹣，），
当x≤﹣时，y3最大；当﹣＜x＜时，y1最大；当x≥时，y2最大，与x的函数图象如图所示：此时，点A是最低点，所以y的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
21．
解：（1）甲店付款金额为=18，故填18；
乙店付款金额为=7.2，故填7.2；
（2）设一次购买种子的数量为 kg（），
甲店，当0＜x≤2时，y1=5x，
当x＞2时，y1=2×5+(x-2)×5×0.8=4x+2，
∴
乙店，
（3）在甲店，当y=36时，代入y1=4x+2，求得x=8.5，
当x=10时，代入y1=4x+2，得y=42，
在乙店，当y=36时，代入y2=4.5x，求得x=8，
当x=10时，代入y2=4.5x，求得y=45，
∴若在同一店中一次购买种子的付款金额是36元，则最多可购买种子8.5kg；
若在同一店中一次购买种子10 kg，则最少付款金额是42元；
故填：8.5,42.
22．
（1）根据题意得：y1＝20x+24（200﹣x）＝4800﹣4x，
y2＝15（240﹣x）+17（300﹣240+x）＝2x+4620．
（2）由4800﹣4x＜2x+4620，解得x＞30，
当0≤x＜30时，y1＞y2，B城的总运费较少；
当x＝30时，y1＝y2，两城的总运费相等；
当30＜x≤200时，y1＜y2，A城的总运费较少．
（3）由y2≤4800得2x+4620≤4800，
解得x≤90，
设两城总费用为y，则y＝y1+y2＝﹣2x+9420，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝90时，y有最小值9240．
答：当从A城调往C乡肥料90t，调往D乡肥料110t，从B城调往C乡肥料150t，调往D乡肥料150t，两城总费用的和最少，最小值为9240元．
23．
解：（1）把P(1，b)代入y＝x＋1中得b＝2．
（2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点P的坐标，
即解为：
（3）∵l2：y＝mx＋n经过P(1，2)，∴m＋n＝2，把P(1，2)代入y＝nx＋m，得m＋n＝2，故y＝nx＋m也经过P点．
（4）x+1≥mx+n的解集可理解为直线l1：y＝x＋1的图像在直线l2：y＝mx＋n的图像上方部分，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)观察图像可得：x≥1．
24．
解：（1）由题意可得，y甲=0.8x；
乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙=x，
当x＞100时，y乙=100+（x-100）×0.6=0.6x+40，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=；
（2），
解得，
∴A（200，160），
点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜200时，，选择甲书店更省钱；
当x=200，，甲乙书店所需费用相同；
当x＞200，，选择乙书店更省钱．
25．
解：（1）400元购买100瓶，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，
，
，
，
故答案为4，，．
（2）联立，
解得，
∴；
（3）该高校共有名教职工，教职工购买一批洗手液（每人瓶）．一共买瓶，
当时，即时选活动一：一律打折合算；
∵；；
当时选活动一：活动二均可，
；
当时选活动二合算，
．
26．
（1）由图像可知顶点坐标：
图象的顶点：
图象的顶点坐标：
图象的对称轴是：
（2）可以，理由如下：
由（1）可知顶点为：
图象的顶点：，
的图像的顶点：，
故的图像由函数的图像向上平移2个单位得到；
同理，的图像由函数的图像向左平移2个单位得到
（3）列表
…… 0 1 2 3 4 5 6 ……
…… -5 -3 -1 1 -1 -3 -5
描点，连线，如图：
通过图像观察，当时，
27．
解：（1）列表：
x 0 2
y=-2x+4 4 0
描点、连线如下图：
（2）∵一次函数y=-2x+4中，k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又函数图象经过两点A（，m），B（-1，n），且＞-1，
∴m＜n．
28．
解：（1）列表：
描点连线如下：
；
（2）当时，y＝，
∴点在函数图像上，
故点P（10，﹣3）不在这个函数图像上；
（3）根据题意得：，
解得：；
（4）∵一次函数y＝，，
∴随增大而减小，
∵，
∴．
29．
解：（1）由题意得：，
，
，
故答案为：；
（2）①对于一次函数，，
当时，，
画出两个函数的图象如下所示：
当时，，即，
由函数图象得：，
解得；
②对于一次函数，，
当时，，
当时，，
令，解得，
令，解得，
则分以下三种情况：
（ⅰ）当时，，
则，
由得：，
解得，符合题设；
（ⅱ）当时，，
则，
由得：，
解得，
则此时的取值范围为；
（ⅲ）当时，，
则，
由得：，
解得，
则此时的取值范围为；
综上，的取值范围为或．
30．
解：（1）∵1＞0，
∴把点（1，3）代入得，，解得，
故答案为：-3
（2）∵四边形OMPN为菱形，
∴点M与点N关于y轴对称，
∵x1＜x2，
∴x1＜0，x2＞0，
∴，，
列方程组得，
解得，
满足条件的x1值为-6．
（3）当k﹣1≥0时，函数解析式为，y随x增大而增大，
所以，，，
则，
解得，；
当k﹣1<0且k+2≥0，，或，；
则或
解得，，（舍去）；
当k+2<0，函数解析式为，y随x增大而增大，，，
则，解得；
综上，满足条件的k值为：或或．
