两个三角形相似的判定
1、有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,
∠FDE=90°,DF=4,DE=.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.
(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,
则∠EMC=______度；
(2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;
(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=,两块三角板重叠部分面积为,求与的函数解析式,并求出对应的取值范围.
2、如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．
3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点E，AB=CD．
（1）求证：AC=BD；
（2）若F是⊙O上一点，且 ，AF的延长线与DB的延长线交于点P，求证：ED2=EB EP．
4、把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP CQ=
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP CQ的值是否改变？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）
5、（Ⅰ）如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．求证：PQ PR=PS PT；
（Ⅱ）如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ PR=PS PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
（Ⅲ）如图4，ABCD为正方形，A，E，F，G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（Ⅰ）所得结论为依据，求线段FG的长度．
6、取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．
试问：
（1）当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC；
（2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；
（3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．
7、如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）当点E为AB边的中点时（如图2），
求证：①AD+BC=CD；②DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD；
（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．
8、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当：△ABD∽△DCE是等腰三角形时，求AE的长．
9、等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
10、（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；
（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．
11、如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM．
求证：（1）△ACM≌BCM；
（2）AD BE=DE BC；
（3）BM2=MN MF．
12、E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图①
（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）
AQ长度 BQ长度 AQ、BQ间的关系
图①中
图②中
由上表可猜测AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？
（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）
13、操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．
14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的长．
15、如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
（1）若AB=6，求线段BP的长；
（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．
16、已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥FG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是
；
（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是
．
对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．
答案部分
1、有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,
∠FDE=90°,DF=4,DE=.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.
(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,
则∠EMC=______度；
(2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;
(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=,两块三角板重叠部分面积为,求与的函数解析式,并求出对应的取值范围.
解析：
（1）15；（2）在Rt△CFA中,AC=6,∠ACF=∠E=30°,∴FC==6÷
(3)如图(4),设过点M作MN⊥AB于点N,则MN∥DE,∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x
∵MN∥DE
∴△FMN∽FED,∴,即，∴
①当时,如图(4) ,设DE与BC相交于点G ,则DG=DB=4+x
∴
即;
(
题
25
图
(4)
)②当时,如图(5),
即;
(
题
25
图
(5)
)③当时, 如图(6) 设AC与EF交于点H，
∵AF=6－x，∠AHF=∠E=30°
∴AH=
综上所述，当时，
当，
当时，
2、如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）由对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值； （3）如解答图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．
解答： （1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°， ∴∠QAB=∠PAD， 又∵∠ABQ=∠ADP=90°， ∴△ADP∽△ABQ． （2）解：∵△ADP∽△ABQ， ∴，即，解得QB=2x． ∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x． 如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N， ∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，∴点N为QC中点，MN为中位线， ∴MN=PC=（20﹣x）=10﹣x， BN=QC﹣BC=（BC+QB）﹣BC=（10+2x）﹣10=x﹣5． 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10﹣x）2+（x﹣5）2=x2﹣20x+125， ∴y=x2﹣20x+125（0≤x≤20）． ∵y=x2﹣20x+125=（x﹣4）2+45， ∴当x=4即DP=4时，y取得最小值为45，BM的最小值为=． （3）解：设PQ与AB交于点E． 如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN． ∵△ADP∽△ABQ， ∴，即，解得QB=a． ∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP， ∴，即，解得BE=． ∵MN为中位线，∴MN=PC=（a﹣8）． ∵BE＞MN，∴＞（a﹣8），解得a＞12.5． ∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：a＞12.5．
3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点E，AB=CD．
（1）求证：AC=BD；
（2）若F是⊙O上一点，且 ，AF的延长线与DB的延长线交于点P，求证：ED2=EB EP．
证明：（1）∵AB=CD，AD=AD，∠C=∠D，
∴△ADC≌△DBA．
∴AC=BD．
（2）∵ ，
∴∠CAE=∠DBA．
∵∠AEB=∠PEA，
∴△AEB∽△PEA．
∴EA2=EB EP．
∵EA=ED，
∴ED2=EB EP．
4、把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP CQ=
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP CQ的值是否改变？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）
（1）∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，
∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
∴△APD∽△CQD
（2）成立；如图所示
∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
又∠A=∠C
∴△APD∽△CQD只有∠A=∠C，其它对应角不相等，所以，△APD与△DPQ不相似；
（3）可以，将两三角板改为一个更为一般的条件，但△ABC必须是等腰三角形，且∠EDF=∠A，否则不成立．
5、（Ⅰ）如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．求证：PQ PR=PS PT；
（Ⅱ）如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ PR=PS PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
（Ⅲ）如图4，ABCD为正方形，A，E，F，G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（Ⅰ）所得结论为依据，求线段FG的长度．
证明：（Ⅰ）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD
∴∠1=∠2，∠Q=∠4．
∴△PBQ∽△PDT．
∴ ．
∵AD∥BS，
∴∠3=∠6，∠S=∠5．
∴△PBS∽△PDR．
∴ ．
∴ ．
∴PQ PR=PS PT．
（Ⅱ）PQ PR=PS PT仍然成立．
理由如下：
在△PQB中，
∵DT∥BQ，
∴ ．
在△PBS中，
∵DR∥BS，
∴ ．
∴
∴PQ PR=PS PT．
（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论可得，AE2=EF EG，
∴62=4EG，
∴EG=9．
∴FG=EG-EF=9-4=5（cm）．
所以，线段FG的长是5cm．
6、取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．
试问：
（1）当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC；
（2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；
（3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．
解：（1）如图②，由题意∠CAC'=α，
要使AB∥DC，须∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°．
∴α=∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=45°-30°=15°．
即α=15°时，能使得AB∥DC．（4分）
（2）易得α=45°时，可得图③，
此时，若记DC与AC'，BC'分别交于点E，F，
则共有两对相似三角形：△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE．（6分）
下求△BFC与△ADC的相似比：
在图③中，设AB=a，则易得 ．
在图③中，设AB=a，则易得AC= a．
则BC=（ -1）a，BC：AC=（ -1）a： a=1：（2+ ）
或（2- ）：2．（8分）
注：△C'FE与△ADE的相似比为：C'F：AD=（ - +1）： 或（ + -2）：2．
（3）解法一：
当0°＜α≤45°时，总有△EFC'存在．
∵∠EFC'=∠BDC+∠DBC'，∠CAC'=α，∠FEC'=∠C+α，
∵∠EFC'+∠FEC'+∠C'=180°
∴∠BDC+∠DBC'+∠C+α+∠C'=180°（11分）
又∵∠C'=45°，∠C=30°
∴∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°（13分）
解法二：
在图②中，BD分别交AC，AC'于点M，N，
由于在△AMN中，∠CAC'=α，∠AMN+∠CAC'+∠ANM=180°，
∴∠BDC+∠C+α+∠DBC'+∠C'=180°
∴∠BDC+30°+α+∠DBC'+45°=180°
∴∠BDC+α+∠DBC'=105°（11分）
在图③中，α=∠CAC'=45°
易得∠DBC'+∠BDC=60°
也有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°
综上，当0°＜a≤45°时，总有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°．（13分）
7、如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）当点E为AB边的中点时（如图2），
求证：①AD+BC=CD；②DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD；
（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．
解：（1）∵梯形是直角梯形
∴∠A=∠B=90°
又∵∠DEC=90°
∴∠AED+∠BEC=90°
∵∠BEC+∠BCE=90°
∴∠AED=∠BCE
∴△ADE∽△BEC
（2）过点E作EF∥AD，交CD于F，则EF既是梯形ABCD的中位线，又是Rt△DEC斜边上的中线．
∵AD+BC=2EF，CD=2EF
∴AD+BC=CD
∵FD=FE= CD
∴∠FDE=∠FED
∵EF∥AD
∴∠ADE=∠FED
∴∠FDE=∠ADE，即DE平分∠ADC
同理可证：CE平分∠BCD
（3）设AD=x，由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x，又AE=m
在Rt△AED中，由勾股定理得：x2+m2=（a-x）2化简整理得：a2-m2=2ax①
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得BE=a-m
因为△ADE∽△BEC，所以 ，
即： ，
解得：
所以△BEC的周长=BE+BC+EC=
= =
= ②
把①式代入②，得△BEC的周长=BE+BC+EC=
所以△BEC的周长与m无关．
8、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当：△ABD∽△DCE是等腰三角形时，求AE的长．
解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠BDA+∠CDE=135°．
又∠BDA+∠BAD=135°，
∴∠BAD=∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴ ；
∵BD=x，
∴CD=BC-BD= -x．
∴ ，
∴CE= x-x2．
∴AE=AC-CE=1-（ x-x2）=x2- x+1．
即y=x2- x+1．
（3）∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD=AB=1．
∴BD= -1．
∵BD=CE，
∴AE=AC-CE=2- ．
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．
∵∠ADE=45°，
∴此时有∠DEA=90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE=DE= AC= ．
因此AE的长为2- 或 ．
9、等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
（1）证明：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，所以∠B=∠C=30°，
因为∠B+∠BPE+∠BEP=180° 所以∠BPE+∠BEP=150°
因为∠EPF=30°，又因为 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°
所以∠BPE+∠CPF=150°
所以∠BEP=∠CPF
所以△BPE∽△CFP
（2）①△BPE∽△CFP
②△BPE与△PFE相似。
下面证明结论
同（1）可证△BPE∽△CFP得EP/BP=PF/FC，而CP=BP
因此EP/CP=PF/FC，
又因为∠EBP=∠EPF，
所以△BPE∽△PFE
③ 由②得 △BPE∽△PFE
所以∠BEP=∠PEF
分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM =PN
连AP，在Rt△ABP中，由∠B =30°，AB=8可得AP=4，
所以PM=2√3 ， 所以PN=2√3
所以S= 1/2× PN×EF= √3m
10、（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；
（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．
证明：（1）∵△ABC和△EDC是等边三角形
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=CB，EC=DC，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠EAC，
∴AE∥BC；
（2）仍平行；
∵△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD， ，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△AEC∽△BDC，
∴∠EAC=∠B，
又∵∠ACB=∠B，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．
11、如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM．
求证：（1）△ACM≌BCM；
（2）AD BE=DE BC；
（3）BM2=MN MF．
证明：（1）∵直径CD⊥AB，
∴AC=BC．
∴∠ACM=∠BCM．
∴△ACM≌△BCM．（4分）
（2）∵∠DAB=∠ECB∠ADC=∠EBC，
∴△ADE∽△CBE．
∴ = ．
∴AD BE=DE BC．
（3）连接AF，
∵BF=AC，
∴ ．
∴ ．
∴∠F=∠FBC．
又∵∠CAM=∠CBM，
∴∠F=∠MAN．
∵∠AMF=∠NMA，
∴△AMF∽△NMA．
∴ ．
∴AM2=MN MF．（9分）
又∴BM=AM．
∴BM2=MN MF．（10分）
12、E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图①
（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）
AQ长度 BQ长度 AQ、BQ间的关系
图①中
图②中
由上表可猜测AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？
（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）
解：（1）
注：测量数据基本接近上表中的数据，均可得分
猜想：AQ=3QB；
（2）成立
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB
∴△PDF∽△QBF，
∴ ，
∵E F为BD三等分点
∴ ，
同理 ，
∴ =4，
∴ =3，
即AQ=3BQ；
（3）成立．
13、操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．
解：（1）连接PC．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；
（2）共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；
②CE=2- ，此时PB=BE；
③当CE=1时，此时PE=BE；
④当E在CB的延长线上，且CE=2+ 时，此时PB=EB；
（3）MD：ME=1：3．
过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．
∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四边形CFMH是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵ ，HB=MH，
∴ ．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴ ．
14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的长．
证明：（1）过点D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四边形BCDM为矩形．
∴DC=MB．
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC．
∵DM⊥AB，
∴AD=BD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，
∴四边形ABFE是等腰梯形．
解：（2）∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF．
∴ = = ．
∵CF=4cm，
∴AF=8cm．
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
∴△ABF∽△BCF，即 = ，
∴BF2=CF AF．
∴BF=4 cm．
∴AE=BF=4 cm．
15、如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
（1）若AB=6，求线段BP的长；
（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．
解：（1）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形
∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE
∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED
∴△ABP∽△ADE
∴
∴BP= DE= ×6=2；
（2）图中的△EGP与△ACQ全等
证明：∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
∴AB=BC=EF=FG
∴AB+BC=EF+FG
∴AC=EG
∵AD∥HE
∴∠1=∠2
∵BG∥CF
∴∠3=∠4
∴△EGP≌△ACQ．
16、已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥FG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是
；
（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是
．
对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．
解：（1）∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC．
∴ ．
∴ ．
又∵BF=EA，
∴ ．
∴ ．
∴AC=FH+EG．
（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG+FH=AC．
证明（2）：过点E作EP∥BC交AC于P，
∵EG∥AC，
∴四边形EPCG为平行四边形．
∴EG=PC．
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP．
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA．
∴HF=AP．
∴AC=PC+AP=EG+HF．
即EG+FH=AC．
（3）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG-FH=AC．
如图，过点A作AP∥BC交EG于P，
∵EG∥AC，
∴四边形APGC为平行四边形．
∴AC=PG．
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠E，∠FBH=∠ABC=∠PAE．
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA．
∴HF=EP．
∴AC=EG-EP=EG-HF．
即EG-FH=AC．
