2024贵阳中考数学二轮中考题型研究
题型七 抛物线的交点问题
类型一 利用“数形结合”思想解决抛物线交点问题
典例精讲
例 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－3，1，则抛物线与x轴的交点坐标为________；
(2)若抛物线与x轴交于点(3，0)，(－1，0)，且过点(1，－4)，将抛物线沿x轴向上翻折，得到新的函数图象与直线y＝1的交点坐标为________；
(3)已知抛物线与x轴交于点(p，0)，(q，0)(p
(4)已知a<0，且抛物线与x轴的两个交点分别为(－2，0)，(x0，0)，其中－1＜x0＜0.若x1，x2(x1
1. 三个关于x的方程：a1(x＋1)(x－2)＝1，a2(x＋1)(x－2)＝1，a3(x＋1)(x－2)＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是上述三个方程的正根，则下列判断正确的是( )
第2题图
A. x1＜x2＜x3 B. x1＞x2＞x3
C. x1＝x2＝x3 D. 不能确定x1、x2、x3的大小
2. 二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( )
A. －7 B. 7
C. －10 D. 10
类型二 利用“分类讨论”思想解决抛物线交点问题
典例精讲
一、含参解析式
二次项系数a确定
二次项系数a为定值，抛物线的开口方向和开口大小确定；
2．对称轴确定时，抛物线顶点在对称轴上上下移动；
3．对称轴不确定时，看顶点坐标. 顶点纵坐标确定，抛物线顶点左右移动；顶点纵坐标不确定时，当顶点纵坐标与横坐标满足一次函数关系(或二次函数关系)时，顶点在一条直线上移动(或一条抛物线上移动)；
4．画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况在同一平面直角坐标系中分别画出抛物线过点(0，1)和点(0，－2)时的函数图象．
例1 已知抛物线y＝2x2－4x－m＋1.
①配方后解析式为________________，
②抛物线对称轴为________________，
③顶点坐标为________________，
④抛物线顶点在________上运动．
例1题图
按照例1的方法分析例2的二次函数解析式并画出相应的函数草图．
例2 已知抛物线y＝x2＋2mx＋m2－1.
①________________________________________________________________________，
②________________________________________________________________________，
③________________________________________________________________________，
④________________________________________________________________________.
在同一平面直角坐标系中分别画出抛物线过点(0，3)时，对称轴在y轴左侧和y轴右侧的函数图象．
例2题图
二次项系数a不确定
1．二次项系数a不确定时，抛物线的开口方向和开口大小不确定. a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；|a|越大开口越小，|a|越小开口越大；
2．看对称轴，当二次项系数a与一次项系数b成倍数关系时，对称轴确定；
3．看是否过定点，将含参数的项合并后进行因式分解，从而求出定点；
4．画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况；
5．二次项系数a不确定时两种常见的抛物线运动变化：①抛物线过定点，顶点在对称轴上上下平移；②抛物线过定点，顶点在其他抛物线上运动．
例3 已知抛物线y＝mx2＋2mx＋m＋1(m≠0)．
①________________________________________________________________________，
②________________________________________________________________________，
③________________________________________________________________________.
在同一平面直角坐标系中分别画出抛物线过点(0，2)，和过点(－3，0)时的函数图象．
例3题图
例4 已知抛物线y＝ax2－6ax＋3(a≠0)．
①________________________________________________________________________，
②________________________________________________________________________，
③________________________________________________________________________，
④________________________________________________________________________.
在同一平面直角坐标系中分别画出抛物线顶点在x轴上和第四象限时的函数图象．
例4题图
二、临界点问题
例5 已知二次函数y＝(x－h)2－1，点A(－1，2)，点B(3，2)，点C(－2，0)，完成下列问题：
例5题图
(1)当二次函数的图象与线段AB有唯一公共点时，分以下两种情况讨论：
情况一：二次函数的图象经过点A时，h＝________；
情况二：二次函数的图象经过点B时，h＝________；
综上所述，当二次函数的图象与线段AB有唯一公共点时，h的取值范围是________________________________________________________________________；
(2)当二次函数的图象经过点C时，h＝________；当二次函数图象与线段BC有两个公共点时，h的取值范围是________；
(3)若h＝1，D(m，1)，当二次函数的图象与线段CD有交点时，m的取值范围为__________.
满分技法
对于二次函数中的交点问题，先判断出函数图象的运动状态，①当遇到二次函数与线段的交点问题时，可求出线段所在直线的解析式，联立方程，利用一元二次方程根的判别式求解，也可将线段端点坐标代入二次函数的解析式求解．
针对演练
1. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(－1，4)，B点坐标为(5，4)．已知抛物线y＝x2－2x＋c与线段AB有公共点，则c的取值范围是( )
A. －11
第1题图
2. 在平面直角坐标系内，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y＝x＋上，若抛物线y＝ax2－x＋1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是( )
A. a≤－2 B. a＜
C. 1≤a＜或a≤－2 D. －2≤a＜
第2题图
3. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y＝(x－m)2－m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是( )
A. 4，－1 B. ，－1
C. 4，0 D. ，－1
第3题图
参考答案
类型一 利用“数形结合”思想解决抛物线交点问题
典例精讲
例 (1)(－3，0)，(1，0)；
(2)(1＋，1)，(1－，1),(1＋，1)，(1－，1)；
(3)x1＝m，x2＝n；n
针对演练
1. A 【解析】∵a1＞a2＞a3＞0，∴二次函数y1＝a1(x＋1)(x－2)，y2＝a2(x＋1)(x－2)，y3＝a3(x＋1)(x－2)的开口大小为y1＜y2＜y3，其函数图象大致如解图，∴x1＜x2＜x3.
第1题解图
2. B 【解析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为－7，∴a＞0，－＝－7，即b2＝28a.∵一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，∴b2－4am≥0，即28a－4am≥0，解得m≤7，∴m的最大值为7.
类型二 利用“分类讨论”思想解决抛物线交点问题
典例精讲
例1 解：①y＝2(x－1)2－m－1；②直线x＝1；③(1，－m－1)；④直线x＝1(或对称轴)．当抛物线分别过点(0，1)和点(0，－2)时，函数图象如解图所示．
例1题解图
例2 解：①配方后解析式为y＝(x＋m)2－1；②抛物线对称轴为直线x＝－m；③顶点坐标为(－m，－1) ；④抛物线顶点在直线y＝－1上运动．
当抛物线过点(0，3)时，对称轴分别在y轴左侧和y轴右侧的函数图象如解图所示．
例2题解图
例3 解：①配方后解析式为y＝m(x＋1)2＋1(m≠0)；②抛物线对称轴为直线x＝－1；③顶点坐标为(－1，1)．
当抛物线分别过点(0，2)和点(－3，0)时，函数图象如解图所示．
例3题解图
例4 解：①配方后解析式为y＝a(x－3)2＋3－9a(a≠0)；②抛物线对称轴为直线x＝3；③顶点坐标为(3，3－9a)；④抛物线顶点在直线x＝3(或对称轴)上运动．
当抛物线顶点分别在x轴上和第四象限时，函数图象如解图所示(在第四象限的答案不唯一)．
例4题解图
例5 (1)－1或－－1；3＋或3－；－－1≤h＜－1或3－＜h≤3＋；
【解析】当二次函数y＝(x－h)2－1的图象经过点A(－1，2)时，将其代入解析式，可得h＝－1或h＝－－1；当二次函数的图象经过点B(3，2)时，将其代入解析式，可得h＝3＋或h＝3－.当二次函数y＝(x－h)2－1的图象与线段AB有唯一公共点时，－－1≤h＜－1或3－＜h≤3＋.如解图①所示(只呈现一种临界状态)．
例5题解图①
(2)－3或－1；－1≤h≤3－；
【解析】当二次函数的图象经过点C(－2，0)时，将其代入解析式，可得h＝－3或h＝－1.当h＝－3时，二次函数的图象右侧经过点C，此时只有一个交点，不符合题意，舍去；当二次函数的图象经过点B(3，2)时，由(1)可得h＝3＋或h＝3－，当h＝3＋时，二次函数的图象左侧经过点B，此时只有一个交点，不符合题意舍去，∴当二次函数的图象与线段BC有两个公共点时，－1≤h≤3－.如解图②所示．
例5题解图②
(3)m≥1－.
【解析】由题意得，y＝(x－1)2－1，当点D恰好在抛物线上时，令y＝1，得(x－1)2－1＝1，解得x1＝1－，x2＝1＋，∴m1＝1－，m2＝1＋，当二次函数的图象与线段CD有交点时，m的取值范围为m≥1－，如解图③所示．
例5题解图③
针对演练
1. B 【解析】∵y＝x2－2x＋c＝(x－1)2＋c－1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，c－1)，对称轴为直线x＝1，如解图①，当c－1＝4时，c＝5，抛物线顶点落在线段AB上，满足题意；c减小，图象向下移动，当抛物线的图象经过点B时，如解图②，把(5，4)代入y＝x2－2x＋c中，得4＝25－10＋c，解得c＝－11，∴－11≤c≤5.
图①
图②
第1题解图
2. C 【解析】∵抛物线y＝ax2－x＋1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，令x＋＝ax2－x＋1，则2ax2－3x＋1＝0，∴Δ＝9－8a＞0，∴a＜.①当a＜0时，抛物线开口向下，在x＝－1时y≤0，在x＝1时y小于等于1.代入A、B的坐标得解得a≤－2，∴a≤－2；②当a＞0时，抛物线开口向上，在x＝－1时y≥0，在x＝1时y大于等于1，代入A、B的坐标得解得a≥1，∴1≤a＜.由－1＜＜1得a＜－或a＞.综上所述，a的取值范围为a≤－2或1≤a＜.
3. D 【解析】由正方形的性质可知，B(2，2)．若互异二次函数y＝(x－m)2－m与正方形OABC有交点，则共有以下四种情况：①当m≤0时，则当点A在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有解得－1≤m≤0；②当0＜m≤1时，则当点C在点抛物线上或下方时，它们有交点，此时有解得0＜m≤1；③当1＜m≤2时，则当点O位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有解得1＜m≤2；④当m>2时，则当点O在抛物线上或下方且点B在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有解得2＜m≤.综上所述，m的最大值和最小值分别是，－1.
